1、PADBC2014 届高三理科数学小综合专题练习立体几何一、选择题1已知直线 l、 m,平面 、 ,且 l, m,则 /是 lm的A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件2如图,水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为 2,且侧棱 AA1面 A1B1C1,正视图是边长为 2 的正方形,俯视图为一个等边三角形,该三棱柱的左视图面积为A. 23B.C. 2D.43如右图所示,ADP 为正三角形,四边形 ABCD为正方形,平面 PAD平面 ABCD点 M 为平面ABCD 内的一个动点,且满足 MP=MC则点 M在正方形 ABCD 内的轨迹为 A B C D4已知三条
2、不重合的直线 m、n、l 两个不重合的平面 ,有下列命题,若 /,/,/,/l且 则 ,/,/lml若 且 则若 /则若 ,mn则 nA BCDA BCDA BCDCDA B其中真命题的个数是A4 B3 C2 D 15如图,在正三角形 中, , , 分别为各边的ACDEF中点, , 分别为 , 的中点.将 沿GJAB, , 折成三棱锥以后, 与 所成DEFGJ角的度数为 A90 B60 C45 D0二、填空题6已知 ABC 的斜二测直观图是边长为 2 的等边 ,那么原 ABC 的面积为 1BA7 已知三棱锥 的四个顶点均在半径为 3 的球面上,且 PA、PB、PC 两两互相垂直,则三棱锥PAB
3、的侧面积的最大值为 C8 如图,在三棱锥 O中,三条棱 OA, B, C两两垂直,且 ,分别经过三条棱 , , 作一个截面平分三棱锥的体积,截面面积依次为 1S, 2, 3,则 1S, 2, 3的大小关系为 。9 已知三棱锥 SABC中,底面 为边长等于 2 的等边三角形, SA垂直于底面 BC, SA=3,那么直线 与平面 所成角的正弦值为_10设 是边长为 的正 内的一点, 点到三边的距离分别为 ,则 ;类比PaP123h、 、 123ha+到空间,设 是棱长为 的空间正四面体 内的一点,则 点到四个面的距离之和 = ABCDP1234h三、解答题11. 一个多面体的直观图和三视图如下(
4、其中 NM,分别是 F,中点):(1)求证: /MN平面 CDEF;(2)求多面体 A的体积. 222ABENMFABCDEFABDCE图1 图2EBCAD12如图,四边形 中(图 1) , 是 的中点, , ,ABCDEBC2D1,C5B将(图 1)沿直线 折起,使二面角 为 (如图 2)2. A06(1)求证: 平面 ;E(2)求异面直线 与 所成角的余弦值;AB(3)求点 到平面 的距离.C13如图,多面体 中, 是梯形, , 是矩形,面 面ABCDEFCDAB/FEACFE, , ABCDa2求证: 平面 ;若 是棱 上一点, 平面 ,求 ;M/MF求二面角 的平面角的余弦值EF14如
5、图,已知直角梯形 ABCD的上底 2, 1/,2BCDA, CD,平面PDC平面 AB, PCD是边长为 2的等边三角形。(1 )证明: ;(2 )求二面角 的大小。(3 )求三棱锥 的体积。15如图,已知 BC 是半径为 1 的半圆 O 的直径,A 是半圆周上不同于 B,C 的点,又 DC 面 ABC,四边形 ACDE 为梯形,DE/AC,且 AC2DE,CD2,二面角 BDEC 的大小为 , 。43tan(1 )证明:面 ABE 面 ACDE;(2 )求四棱锥 BACDE 的体积。16. 如图,在直三棱柱 ABCA1B1C1 中,ABBC,P 为 A1C1 的中点,AB=BC=kPA。(1
6、)当 k=1 时,求证 PAB 1C;(2)当 k 为何值时,直线 PA 与平面 BB1C1C 所成的角的正弦值为 ,并求此时二面角 APCB 的余4弦值。17一个多面体的直观图和三视图如图所示,点 是 的中点,点 是 的中点MABGDF(1 )求证:平面 平面 ;FACBD(2 )求多面体 的体积;ME(3 )在 上探求一点 ,使得 平面 DP/GFMC2014 届高三理科数学小综合专题练习立体几何参考答案一、选择题15:BADCA二、填空题6. 7. 18 8. 9. 10.62312S463a三、解答题11.解:由三视图可知,该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱 ADE-BCF,且 AB
7、=BC=BF=2,DE=CF=2 ,CBF= 22(1 )证明:取 BF 的中点 G,连接 MG、NG ,由 M, N 分别为 AF,BC 的中点可得,NGCF ,MG EF ,平面 MNG平面 CDEF,又 MN平面 MNG,a主视图俯视图左视图EFCDGA M BMN 平面 CDEF(2 )取 DE 的中点 HAD=AE,AHDE,在直三棱柱 ADE-BCF 中,平面 ADE平面 CDEF,平面 ADE平面 CDEF=DEAH 平面 CDEF多面体 A-CDEF 是以 AH 为高,以矩形 CDEF 为底面的棱锥,在ADE 中,AH= 2S 矩形 CDEF=DEEF=4 ,2棱锥 A-CDE
8、F 的体积为V= S 矩形 CDEFAH= 4 = 131328312如图取 BD 中点 M,连接 AM,ME。因 2.ABDBDA因 , 1,C5满足: , 22所以 是 BC 为斜边的直角三角形, , C因 是 的中点,所以 ME 为 的中位线 , EBBDDME21/, DM21是二面角 的平面角 = ACA06, 且 AM、ME 是平面 AME 内两相交于 M 的直线BE平面 AEM平 面 AEBD因 ,2.D为等腰直角三角形 ,A12M23460cos214cos22 AEAEE1BDCBDM面面 ,BDCAE平 面(2 )如图,以 M 为原点 MB 为 x 轴,ME 为 y 轴,建
9、立空间直角坐标系,则由(1)及已知条件可知 B(1,0,0), ,)0,21(E,D ,C)23,0(A)0,1(),(,CDB设异面直线 与 所成角为 ,则 ABcos21由 可知 满足,),0(),231,(CDD)2,03( n是平面 ACD 的一个法向量, ,0 n 记点 到平面 的距离 d,则 在法向量 方向上的投影绝对值为 d BAAB 则 ,所以 d 。 nd721032(2 ) ,(3)解法二:取 AD 中点 N,连接 MN,则 MN 是 的中位线,MN/AB,又 ME/CDABD所以直线 与 所成角为 等于 MN 与 ME 所成的角,即 或其补角中较小之一。ABCDEMN,N
10、 为在 斜边中点EE面面 , ADRt所以有 NE= ,MN= ,ME= ,21211MENcos2= 4214(3)记点 到平面 的距离 d,则三棱锥 B-ACD 的体积 ,BACDACDACDBSdV31又由(1)知 AE 是 A-BCD 的高、 CDBBCDBCDABSEV316231E 为 BC 中点,AE BC 又, , 2A, ,为 等 腰472111212 CDSACD到平面 的距离 B74633ACDBSVd解法三:(1) 因 , 满足: , 。21,522BCDD如图,以 D 为原点 DB 为 x 轴,DC 为 y 轴,建立空间直角坐标系,则条件可知 D(0,0,0), B(
11、2,0,0),C(0,1,0), , A(a,b,c) (由图知 a0,b0,c0) (0)2E得 2.AB 22 21,abcabcabc平面 BCD 的法向量可取 ,1(0)nur,所以平面 ABD 的一个法向量为(1,),Dbcur 1(0,)ncur则锐二面角 的余弦值ABC12122cos, os6bnrur从而有 ,13,2bc3(1,)(0,),(0,)2EADCrr所以 平面0, ,EADCBBurruAEB(2)由(1 ) ,D(0,0,0), B(2,0,0),C(0,1,0), () ),01(),231,(CD设异面直线 与 所成角为 ,则 ABCcos41(3)由 可
12、知 满足,),01(),231,(CDAD)2,03( n是平面 ACD 的一个法向量,0 , n 记点 到平面 的距离 d,则 在法向量 方向上的投影绝对值为 d BACDAB n则 13 分 所以 dnd72103213证明与求解: 面 , ,从而 。ACBDACFE2BAC又因为 面 ,面 面 ,所以 平面 。FEDBFE 连接 ,记 ,在梯形 中,因为 , ,所以OaCBDDA/, ,从而 ,23 ACABCAB 66O又因为 , ,所以 。2aa连接 ,由 平面 得 ,FO/MDFO/因为 是矩形,所以 。ACEaC3 以 为原点, 、 、 分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系,
13、则 ,ABxyz )0 ,(C, , , , ,)0 ,3(a)0 ,(a)0 ,2 (aD) ,(aF) ,03(aE设平面 的一个法向量为 ,则有 ,DEF) .(1tsrn1Dn即 ,解得 。0230tasra ) .20(1n同理可得平面 的一个法向量为 ,观察知二面角 的平面角为锐角,所以BEF .2DEFB其余弦值为 。10|cos21n14解:(1)在直角梯形 ABCD中,因为 2, 2BC, ,D所以2()6AB。因为 BCD,平面 PC平面 ABD,平面 PC平面 ABDC,所以 B平面P,因此在 Rt中,26。因为 /,A所以 平面 ,所以在 Rt中,22()1D。所以在
14、PB中, PB,所以 APB。(2)设线段 C的中点为 E,连接 ,因为 是等边三角形,所以 DC,因为平面 PD平面 AB,平面 P平面 ABCD,所有 PE平面 ABCD,因此ABE,由(1)知 ,所以 平面 E,所以 ,因此 就是二面角的平面角,在 RtE中,32sin6P,所以 4PB。(3) PA11S332ABDAPBDBVEADC三 棱 锥 三 棱 锥12623.615解:(1) BC 是直径, BA CA 又 DC 面 ABC,BA DC AC DCC, AC,DC 面 ACDEBA 面 ACDE 且 BA 面 ABE面 ABE 面 ACDE (2 )延长 DE 到 F,使 D
15、FAC,连结 AF,BFDC AC,故四边形 ACDE 为矩形,DF AF 由(1)BA DF,AF BAA,DF 面 BAF, BF DFAFB 为二面角 BDEC 的平面角,即 AFB 在 RT BAF 中, ,243tanBAF得 BA CA ,23792BAC43)7(1ACDES由(1)知,四棱锥 BACDE 的高为 BA873243ACDEBV16.( 1)连接 B1P,因为在直三棱柱 ABCA1B1C1 中,P 为 A1C1 的中点,AB=BC,所以 B1P面 A1C。所以 B1PAP。又因为当 k=1 时,AB=BC=PA=PC, 90ACAPPC。AP平面 B1PC,PAB
16、1C。(2)取线段 AC 中点 M,线段 BC 中点 N,连接 MN、MC 1、NC 1,则 MN/AB,AB平面 B1C,MN 平面 B1C,是直线 PA 与平面 BB1C1C 所成的角,NC1即,4sin1M,41APN设 AB=a, ,2kB1,42ka即 时,直线 PA 与平面 BB1C1C 所成的角的正弦值为21k .41此时,过点 M 作 MH,垂足为 H,连接 BH,AB1平 面由三垂线定理得 BHPC,所以 是二面角 APCB 的平面角。H设 AB=2,则 BC=2,PA=-4, ,2,21PAMC在直角三角形中 AA1P 中,421A连接 MP,在直角三角形中由 ,27MHP
17、CM得又由 ,在直角三角形中 BMH 中,2B解得 ,15H在直角三角形 BMH 中 .15027cosBHM所以二面角 APCB 的余弦值是 .150另解:以点 B 为坐标原点,分别以直线 BA、BC、BB 1 为 x 轴、y 轴建立空间直角坐标 系 Oxyz,(1)设 AB=2,则 AB=BC=PA=2根据题意得: )2,(),0(,2)(,0(1PBCA所以 1,1PBA1,(2)设 AB=2,则 ,kAP2根据题意:A(2 ,0,0) ,C(0,2 ,0)又因为 ,1所以 ,24211 kPACBAkPkB1221)4,(,)4,0(平 面所以由题意得 41|,cos| AP即 ,21
18、,4| kBA即.2,0解 得k即 时,直线 PA 与平面 BB1C1C 所成的角的正弦值为1 .41.1APCB的法 向量平 面 )0(1,B设平面 BPC 的一个法向量为 )4,(),2(),(PCzyxn由 ,得 ,0BP01zyx15|24|,cos11 PBn所以此时二面角 APCB 的余弦值是 .017证明:由三视图可得直观图为直三棱柱且底面 ADF 中 ADDF,DF=AD=DC(1)连接 DB,则 ACDB又 FDAD FDCD,FD面 ABCD FDAC又 ,DBFAC面 FDB ,AC平面 平面FB(2)设多面体 FMBEC 的体积为 V,直三棱柱 FADEBC 的体积为 V1,四棱锥 FMADC 的体积为 V2,则 33214aa(3)点 P 在 A 点处。证明:取 FC 中点为 S,连接 GA,GS,SM。G 是 DF 的中点,GS DC,GS= DC,GS AM,GS=AM,四边形 AMSG 是平行四边形,/21/AG MS/AG 平面 FMC,MS 平面 FMC,AG 平面 FMC/EFCDGA M BS