1、2014 届高三数学章末综合测试题（3）函数、基本初等函数()、函数的应用一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分1函数 的定义域是（ ） )45(log21xyA1，) B.(45， )C. D.45， 1 (45， 1解析：要使函数有意义，只要得 05x41，即 x1.函数的定义域为 . 45 (45，1答案：D2设 a2 0.3，b0.3 2，clog x(x20.3)(x1)，则 a，b，c 的大小关系是( )Aabc BbacCc b a Dbca解析：a2 0.32 12，且 a2 0.32 01， 1a2. b0.3 20.3 01.x1，c log x(x
2、20.3)log xx22. cab. 答案：B3已知函数 f(x)ln(x )，若实数 a，b 满足 f(a)f(b1)0，则 ab 等于( )x2 1A 1 B0 C1 D不确定解析：观察得 f(x)在定义域内是增函数，而 f(x) ln(x )ln X x2 11x x2 1k b 1 . c o mmf(x)， f(x)是奇函数，则 f(a)f (b1)f (1b)a1b，即 ab1. 答案：C4已知函数 f(x)Error!则不等式 f(x)0 的解集为( )A x|0x1 Bx|1x0Cx|1x1 D x|x1解析：当 x0 时，由log 2x 0，得 log2x0，即 0x1.当
3、 x0 时，由 1x 20，得 1x 0. 故不等式的解集为x|1x1. 答案：C5同时满足两个条件：定义域内是减函数；定义域内是奇函数的函数是( )Af(x)x|x | Bf (x)x 3Cf(x)sin x Df(x) lnxx解析：为奇函数的是 A、B、C，排除 D. A、B、C 中在定义域内为减函数的只有 A. 答案：A6函数 f(x) x与函数 g(x) 在区间(，0) 上的单调性为( )(12)A都是增函数B都是减函数Cf(x)是增函数， g(x)是减函数Df(x)是减函数，g(x )是增函数解析：f(x) x在 x(，0)上为减函数，g( x) 在( ，0)上为增函数. (12)
4、答案：D7若 x(e 1, 1)，alnx ，b 2ln x，cln 3x，则( )Aabc Bc abCbac Dbca解析：alnx，b2lnxlnx 2，cln 3x.x(e1, 1)，xx 2.故 ab，排除 A、B.e1 x1，1lnx ln10.lnxln 3x.ac .故 bac ，选 C. 答案：C8已知 f(x)是定义在(，) 上的偶函数，且在(，0 上是增函数，若af (log47)， ，cf (0.20.6 )，则 a、b、 c 的大小关系是( )Acba Bbc aCc ab Dabc解析：函数 f(x)为偶函数，bf (log 3)f(log 23)，cf(0.2 0
5、.6 )12f(5 0.6)50.62log 23log 49log 47，f(x)在(0 ，)上为减函数，f(5 0.6)f(log 23)f(log 47)，即 cba. 答案：A9某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元) 分别为 L15.06x 0.15x 2和 L22x，其中 x 为销售量(单位：辆) ，若该公司在这两地共销售 15 辆车，则能获得的最大利润为( ) 新 课 标 第 一 网A45.606 万元 B45.6 万元C46.8 万元 D46.806 万元解析：设在甲地销售 x 辆，则在乙地销售(15 x )辆， 总利润LL 1L 25.06 x0.15x 22(1
6、5 x )0.15x 23.06x 30，当 x 10.2 时，L 最大3.0620.15但由于 x 取整数， 当 x10 时，能获得最大利润，最大利润 L0.1510 23.06103045.6( 万元). 答案：B10若 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且满足 f(x3) f (x)，f (2)0，则方程 f(x)0 在区间(0,6)内解的个数的最小值是( )A5 B4 C3 D2解析：f(5)f(23)f(2)0，又 f(2) f (2)0， f(4) f(1)f (2)0，在(0,6)内 x1,2,4,5 是方程 f(x)0 的根. 答案：B11函数 f(x)xlog 2x 的零点所
7、在区间为 ( )A0， B ， 18 18 14C ， D ，114 12 12解析：因为 f(x)在定义域内为单调递增函数，而在四个选项中，只有 f f 0，所以零(14) (12)点所在区间为 . 14，12答案：C12定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x2) 3f (x)，当 x0,2时，f(x) x 22x，则当x 4 ，2时，f(x)的最小值是( )A B 19 13C. D119解析：f(x2)3f(x )，当 x0,2时，f(x )x 22x ，当 x1 时， f(x)取得最小值所以当 x4 ，2时，x40,2 ，所以当 x41 时，f( x)有最小 值，即 f(3) f(
8、32) f(1) f(1) . 13 13 19 19答案：A第卷 (非选择 共 90 分)二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分13若函数 f(x)ax 2x 1 的值域为 R，则函 数 g(x)x 2ax1 的值域为_解析：要使 f(x)的值域为 R，必有 a0.于是 g(x)x 21，值域为1， )答案：1，)14若 f(x)是幂函数，且满足 3，则 f _.f(4)f(2) (12)解析：设 f(x)x ，则有 3，解得 23，log 23，42答案：1315若方程 x2( k2)x2 k10 的两根中，一根在 0 和 1 之间，另一根在 1 和 2 之间，则实
9、数 k 的取值范围是_解析：设函数 f(x)x 2( k2)x2k1， 结合图像可知，Error!即Error!解得Error!故实数 k 的取值范围是 .(12，23)答案： (12， 23)16设函数 f(x)Error!若 f(x)为奇函数，则当 0x2 时，g(x)的最大值是_解析：由于 f(x)为奇函数，当2x 0 时，f (x)2 x有最小 值为 f(2) 2 2 ，故当140x2 时，f(x)g( x)log 5(x )有最大值为 f(2) ，而当 0x2 时，ylog 5(x5 x214)为增函数，考虑到 g(x)f(x)log 5(x )，结合当 0x2 时， f(x)与5
10、x2 5 x2ylog 5(x )在 x2 时 同时取到最大值，故g( x)maxf(2)log 5(2 )5 x2 5 22 1 .14 34答案：34三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分17(10 分) 已知函数 f(x) ( )x，x 1,1，函数 g(x)f 2(x)2af(x) 3 的最小值为13h(a)，求 h(a)解析：x 1,1， x .(13) 13，3设 t x，t ，(13) 13，3则 (t)t 22at3(ta) 23a 2，当 a 时，g(x )minh(a) ；13 (13) 289 2a3当 a3 时，g(x )minh(a)(a)3a 2；13当 a3
11、 时，g(x )minh(a)(3)126a.h(a)Error!18(12 分) 设直线 x1 是函数 f(x)的图像的一条对称轴，对于任意 xR ，f (x2)f (x)，当1x1 时，f (x)x 3.(1)证明：f(x) 是奇函数；(2)当 x3,7时，求函数 f(x)的解析式解析：(1)x1 是 f(x)的图像的一条对称轴，f(x2)f(x)又 f(x 2)f (x)，f(x)f(x2)f( x)，即 f(x)f (x)f(x)是奇函数(2)f(x2)f(x)，f(x4)f(x2) 2f(x2) f (x)，若 x3,5，则(x4)1,1， w w w .x k b 1.c o mf
12、(x4)(x4) 3.又 f(x 4)f(x)，f(x)(x4) 3，x3,5若 x(5,7，则(x4)(1,3 ，f(x4)f (x)由 x1 是 f(x)的图像的一条对称轴，可知f2(x4)f( x4)，且 2(x4)(6x )1,1，故 f(x)f(x4)f(6x) (6 x )3(x6) 3，x(5,7综上，可知 f(x)Error!19(12 分) 已知函数 f(x) ，常数 a0.2a 1a 1a2x(1)设 mn0，证明：函数 f(x)在 m，n上单调递增；(2)设 0mn ，且 f(x)的定义域和值域都是m ，n，求 nm 的最大值解析：(1)任取 x1，x2m，n，且 x1x
13、 2，则f(x1)f (x2) ，1a2x1 x2x1x2因为 x1x 2，x1，x2m，n，且 mn0所以 x1x20，即 f(x1)f(x 2)，故 f(x)在m ，n上单调递增(2)因为 f(x)在m，n上单调递增，f (x)的定义域、 值域都是m，nf(m) m，f (n)n，即m，n 是方程 x 的两个不相等的正根a 2x2 (2a2a)x10 有两个不相等的2a 1a 1a2x正根，所以 (2a2a) 24a 20， 0a .2a2 aa2 12n m ，a ，a 时， nm 取取最大值1a4a2 4a 3 3(1a 23)2 163 (12， ) 32.43320(12 分) 如
14、图 所示，图 是定义在 R上的二次函数 f(x)的部分图像， 图是函数 g(x)log a(xb) 的部分图像(1)分别求出函数 f(x)和 g(x)的解析式；(2)如果函数 yg(f(x) 在区间 1，m)上单调递减，求 m 的取值范围解析：(1)由题图得，二次函数 f(x)的顶点坐标为(1,2)，故可设函数 f(x)a(x1) 22.又函数 f(x)的图像过点(0,0) ，故 a2.整理，得 f(x)2x 24x.由题图 得，函数 g(x)log a(xb)的图像过点(0,0) 和(1,1) ，故有Error!Error!g(x)log 2(x1)( x1)(2)由(1)得，yg( f(x
15、)log 2(2x 24x1)是由 ylog 2t 和 t2x 24x1 复合而成的函数，而 ylog 2t 在定义域上单调递减，要使函数 yg(f(x)在区 间1 ，m)上单调递减，必须t2x 24x1 在区间1，m )上单调递减，且有 t0 恒成立由 t0，得 x .2 62又 t 的图像的对称轴为 x1，所以满足条件的 m 的取值范 围为 1m .2 6221(12 分) 金融风暴对全球经济产生了影响，温总理在广东省调研时强调：在当前的经济形势下，要大力扶持中小企业，使中小企业健康发 展为响应这一精神，某地方政府决定扶持一民营企业加大对 A、B 两种产品的生产根据市场调查与预测，A 产品
16、的利润与投资成正比，其关系如图，B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图.( 注：利润与投资单位：万元 )(1)分别将 A、B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式；(2)该企业已筹集到 10 万元资金，并全部投入 A、B 两种产品的生产，问：怎样分配这10 万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润约为多少万元？(精确到 1万元 )解析：(1)设投资为 x 万元，A 产品的利润为 f(x)万元， B 产品的利润为 g(x)万元设 f(x)k 1x，g(x)k 2 .x由题 图 知，f(1) ，所以 k1 .14 14又由题图 知，g(4) ，所以 k2 .52 54从而 f(x)
17、 x(x0)，g(x) (x0) 14 54x(2)设 A 产品投入 x 万元，则 B 产品投入(10 x )万元设企业利润为 y 万元，则 yf(x) g(10x) (0x 10) x4 5410 x令 t ，10 x则 y t (t )2 (0t )10 t24 54 14 52 6516 10当 t 时，y max 4.此时 x10 3.75.52 6516 254故当 A 产品投入 3.75 万元，B 产品投入 6.25 万元时，企 业获得的最大利润约为 4 万元22(12 分) 已知函数 f(x) (常数 a0)，且 f(1)f(3)2.a xa x(1)求 a 的值；(2)试研究函
18、数 f(x)的单调性，并比较 f(t)与 2 的大小；2t 2t ( 23 t 32， 且 t 0)(3)设 g(x) m(x 2)2，是否存在实数 m，使得 yg(x) 有零点？若存在，(2 x)f(x)求出实数 m 的取值范围；若不存在，请说明理由解析：(1)由 f( 1)f(3) 2，a 1a 1 a 2a 3得 a(a2) 0.又 a0，所以 a2.来新课标第一网(2)由(1)知，函数 f(x) ，2 x2 x其定义域为(，2) (2， )设 x1，x2(，2)，且 x1x 2，则 f(x1)f(x 2) 2 x12 x1 2 x22 x2 0，4(x1 x2)(2 x1)(2 x2)
19、即 f(x1)f(x 2)，故 f(x)在区间(，2)上是增函数同理，可得 f(x)在区间(2，) 上是增函数令 h(x) 2，2x 2x 2x则函数 h(x)在区间(，0)，(0， )上是减函数当 t 时 ，f(t)f ，h(t)h ( 23，0) ( 23) 12 ( 23)(3)由(1)得，g(x) m( x2) 2.(2 x)2 x2 x函数 g(x)的定义域为x |x2，且 x2故 g(x) m(x2)2(x2，且 x2)，x 2令 t (t 0)，x 2所以 g(x)0 可转化为方程 mt2t 20.要使 g(x)有零点，则方程mt 2t20 必有正实数根，当 m0 时，t2， 2， x2，这 与定义域不符x 2当 m0 时， 0， 0，所以如果方程存在实数根， 则必为正实数根，故只需使1m 2m1 8m0 即可故 m0 时，满足条件的 m 的取值范围为 0m ，18当 m0 时，方程有一正根一负根，符合 题意所以 m 的取值范围是(，0) .(0，18
