1、立体几何初步1理解平面的基本性质，会用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图、能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形，能根据图形想象它们的位置关系2了解空间两条直线、直线和平面、两个平面的位置关系3掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理；理解直线和平面垂直的概念；掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理；掌握三垂线定理及其逆定理4掌握直线和直线、直线和平面、平面和平面所成的角、距离的概念；掌握两个平面平行、垂直的判定定理和性质定理5了解多面体、凸多面体、正多面体的概念6了解棱柱，棱锥的概念；了解棱柱，棱锥的性质；会画其直观图7了解球的概念；掌握球的性质；掌握球的表面积、体积公式本章
2、的定义、定理、性质多，为了易于掌握，可把主要知识系统化首先，归纳总结，理线串点，可分为四块：A、平面的三个基本性质，四种确定平面的条件；B、两个特殊的位置关系，即线线，线面，面面的平行与垂直C、三个所成角；即线线、线面、面面所成角；D、四个距离，即两点距、两线距、线面距、面面距其次，平行和垂直是位置关系的核心，而线面垂直又是核心中的核心，线面角、二面角、直线、平面、简单几何体三个公理、三个推论平面平行直线异面直线相交直线公理 4 及等角定理异面直线所成的角异面直线间的距离直线在平面内直线与平面平行直线与平面相交空间两条直线概念、判定与性质三垂线定理垂直斜交 直线与平面所成的角空间直线与平面空间
3、两个平面棱柱棱锥球两个平面平行两个平面相交距离两个平面平行的判定与性质两个平面垂直的判定与性质二面角定义及有关概念性质综合应用多面体面积公式体积公式正多面体知识网络考纲导读高考导航RP QCBA距离等均与线面垂直密切相关，把握其中的线面垂直，也就找到了解题的钥匙再次，要加强数学思想方法的学习，立体几何中蕴涵着丰富的思想方法，化空间图形为平面图形解决，化几何问题为坐标化解决，自觉地学习和运用数学思想方法去解题，常能收到事半功倍的效果第 1 课时 平面的基本性质公理 1 如果一条直线上的 在同一个平面内，那么这条直线上的 都在这个平面内 (证明直线在平面内的依据) 公理 2 如果两个平面有 个公共
4、点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是 (证明多点共线的依据 )公理 3 经过不在 的三点，有且只有一个平面(确定平面的依据) 推论 1 经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面推论 2 经过两条 直线，有且只有一个平面推论 3 经过两条 直线，有且只有一个平面例 1正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，对角线 A1C 与平面 BDC1 交于 O，AC、BD 交于点M求证：点 C1、O、M 共线证明：A1ACC 1确定平面 A1CA1C面 A1C O面 A1COA 1C面 BC1D直线 A1CO O面 BC1DO 在面 A1C 与平面 BC1D 的交线 C1M 上C 1、O、M
5、 共线变式训练 1：已知空间四点 A、B、C、D 不在同一平面内，求证：直线 AB 和 CD 既不相交也不平行提示：反证法例 2. 已知直线 l与三条平行线 a、b、c 都相交求证： l与 a、b、c 共面证明：设 alA blB clCab a、b 确定平面 lAa, Bb bc b、c 确定平面 同理可证 l 所以 、 均过相交直线 b、l 、 重合 c a、b、c、l 共面变式训练 2：如图，ABC 在平面 外，它的三条边所在的直线 AB、BC、CA 分别交平面 于 P、Q、 R 点求证：P、Q、R 共线证明：设平面 ABCl，由于 PAB，即 P平面 ABCl ，即点 P 在直线 l
6、上同理可证点 Q、R 在直线 l 上P、Q、R 共线，共线于直线 l例 3. 若ABC 所在的平面和A 1B1C1 所在平面相交，并且直线 AA1、BB 1、CC 1 相交于一点 O，求证： (1) AB 和 A1B1、BC 和 B1C1 分别在同一个平面内； 典型例题基础过关CODA BMB1C1D1A1(2) 如果 AB 和 A1B1，BC 和 B1C1 分别相交，那么交点在同一条直线上证明：(1) AA 1BB10，AA 1 与 BB1 确定平面 ，又Aa，B，A 1，B 1，AB ，A 1B1 ，AB、A 1B1 在同一个平面内同理 BC、B 1C1、AC、A 1C1 分别在同一个平面
7、内(2) 设 ABA1B1X，BCB 1C1Y ，ACA 1C1Z，则只需证明 X、Y、Z 三点都是平面A1B1C1 与 ABC 的公共点即可变式训练 3：如图，在正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，E 为 AB 中点，F 为 AA1 中点，求证：(1) E、CD 1、F 四点共面；(2) CE、D 1F、DA 三线共点证明(1) 连结 A1B 则 EFA 1B A1BD 1CEFD 1C E、F、D 1、C 四点共面(2) 面 D1A面 CADAEFD 1C 且 EF 2D1CD 1F 与 CE 相交 又 D1F面 D1A，CE 面 ACD 1F 与 CE 的交点必在 DA 上CE、D
8、1F、DA 三线共点例 4.求证：两两相交且不通过同一点的四条直线必在同一平面内证明：(1) 若 a、b、c 三线共点 P，但点 pd，由 d 和其外一点可确定一个平面 又 adA 点 A 直线 a同理可证：b、c a、b、c、d 共面(2)若 a、b、c、d 两两相交但不过同一点abQ a 与 b 可确定一个平面 又 cbE E同理 caF F直线 c 上有两点、在 上 c 同理可证：d 故 a、b、c、d 共面由(1) (2)知：两两相交而不过同一点的四条直线必共面变式训练 4：分别和两条异面直线 AB、CD 同时相交的两条直线 AC、BD 一定是异面直线，为什么?解：假设 AC、BD 不
9、异面，则它们都在某个平面 内，则 A、B、C、D .由公理 1 知AC, BD.这与已知 AB 与 CD 异面矛盾，所以假设不成立,即 AC、BD 一定是异面直线。1证明若干点共线问题，只需证明这些点同在两个相交平面2证明点、线共面问题有两种基本方法：先假定部分点、线确定一个平面，再证余下的点、线在此平面内；分别用部分点、线确定两个(或多个) 平面，再证这些平面重合3证明多线共点，只需证明其中两线相交，再证其余的直线也过交点第 2 课时 空间直线OC1B1A1ABC基础过关A BECDFA1 B1C1D1小结归纳基础过关1空间两条直线的位置关系为 、 、 2相交直线 一个公共点，平行直线 没有
10、公共点，异面直线：不同在任 平面，没有公共点3公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相 4等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两角 5异面直线的判定定理过平面外一点与平面内一点的直线和平面内 的直线是异面直线(作用：判定两条直线是异面直线)6异面直线的距离：和两条异面直线 的直线称为异面直线的公垂线两条异面直线的公垂线在 的长度，叫两异面直线的距离例 1. 如图，在空间四边形 ABCD 中，ADACBCBDa，ABCDb，E、F 分别是AB、CD 的中点(1) 求证：EF 是 AB 和 CD 的公垂线；(2) 求 AB 和 CD 间的距离证明：(1) 连结 C
11、E、DEBEADCDEABCAB面 CDEABEF 同理 CDEFEF 是 AB 和 CD 的公垂线(2) ECD 中，EC 42baEDEF 2ba变式训练 1：在空间四边形 ABCD 中，ADBC2，E，F 分别为 AB、CD 的中点，EF3，求 AD、BC 所成角的大小解：设 BD 的中点 G，连接 FG，EG。在EFG 中 EF 3 FGEG 1EGF120 AD 与 BC 成 60的角。例 2. S 是正三角形 ABC 所在平面外的一点，如图 SASBSC，且 ASB BSC CSA 2，M、N 分别是 AB 和 SC 的中点求异面直线 SM 与 BN 所成的角证明：连结 CM，设
12、Q 为 CM 的中点，连结 QN 则 QNSMQNB 是 SM 与 BN 所成的角或其补角连结 BQ，设 SCa ，在BQN 中BN 25 NQ 21SM 4a BQ a41COS QNB 502NQB典型例题AEBCFDBMANCSA BCDA1 B1C1D1 EFQNBarc cos 510变式训练 2：正 ABC 的边长为 a，S 为 ABC 所在平面外的一点，SASBSCa ，E，F 分别是 SC 和 AB 的中点(1) 求异面直线 SC 和 AB 的距离；(2) 求异面直线 SA 和 EF 所成角答案：(1) a2 (2) 45例 3. 如图，棱长为 1 的正方体 ABCDA 1B1
13、C1D1 中，M、N、P分别为 A1B1、BB 1、CC 1 的中点(1) 求异面直线 D1P 与 AM， CN 与 AM 所成角；(2) 判断 D1P 与 AM 是否为异面直线？若是，求其距离解：(1) D 1P 与 AM 成 90的角CN 与 AM 所成角为 arc cos 52.(2) 是NP 是其公垂线段, D 1P 与 AN 的距离为 1.变式训练 3：如图，在直三棱柱 ABCA 1B1C1 中，BCA90，M、N 分别是 A1B1 和 A1C1 的中点，若 BCCA CC 1，求 NM 与 AN 所成的角解：连接 MN，作 NGBM 交 BC 于 G，连接 AG，易证GNA 就是
14、BM 与 AN 所成的角设：BCCA CC 12，则 AGAN 5，GNB 1M 6，cosGNA 0356。例 4如图，四棱锥 PABCD 的底面是正方形，PA 底面 ABCD，AEPD ，EFCD ，AMEF(1) 证明 MF 是异面直线 AB 与 PC 的公垂线；(2) 若 PA3AB，求直线 AC 与平面 EAM 所成角的正弦值（1）证明：EFCD AMCD AMEF ，又 AMEF AMFE 为平行四边形 ABPA，ABAD AB 面 PAD ABAE，又 AEMF ， ABMF又AEPD CDAE AE面 PCD AEPC MFPC MF 为 AB 与 PC 的公垂线(2) 设 A
15、B1，则 PA3，建立如图所示坐标系由已知得 AE(0 ， 109， 3)，AB(1，0，0)面 MFEA 的法向量为 k(0，1，3)， AC(1，1，0) ，cos 105 AC 与面EAM 所成的角为 2arc cos 05，其正弦值为 05变式训练 4：如图，在正方体 1BD中，ACBNM A1C1B1PC1D1M B1A1D N CBACDBEFAMPE、F 分别是 1B、CD 的中点（）证明 FDA；（）求 与 1所成的角。（1）证明：因为 AC1 是正方体，所以 AD面 DC1又 DF1DC1，所以 ADD 1F. （2）取 AB 中点 G，连结 A1G，FG， 因为 F 是 C
16、D 的中点，所以 GFAD，又 A1D1AD，所以 GFA 1D1，故四边形 GFD1A1 是平行四边形，A 1GD 1F。设 A1G 与 AE 相交于 H，则A 1HA 是 AE 与 D1F 所成的角。因为 E 是 BB1 的中点，所以 RtA 1AGABE, GA 1A=GAH, 从而A 1HA=90,即直线 AE 与 D1F 所成的角为直角。1求两条异面直线所成角的步骤：(1)找出或作出有关角的图形； (2)证明它符合定义；(3)求角2证明两条直线异面的常用方法：反证法、定义法(排除相交或平行) 、定理法3求异面直线间距离的方法：作出公垂线段，向量法第 3 课时 直线和平面平行1直线和平
17、面的位置关系 、 、 直线在平面内，有 公共点直线和平面相交，有 公共点直线和平面平行，有 公共点直线与平面平行、直线与平面相交称为直线在平面外2直线和平面平行的判定定理如果平面外 和这个平面内 平行，那么这条直线和这个平面平行(记忆口诀：线线平行 线面平行 )3直线和平面平行的性质定理如果一条直线和一个平面 ，经过 平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行(记忆口诀：线面平行 线线平行)例 1如图，P 是 ABC 所在平面外一点，M PB，试过 AM 作一平面平行于 BC，并说明画法的理论依据解：在平面 PBC 内过 M 点作 MNBC，交 PC 于 N 点，连 AN 则平面 AMN 为所
18、求典型例题BCAPM小结归纳基础过关根据线面平行的性质定理及判定定理变式训练 1：在正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，M、N 分别是 A1B 和 AC 上的点，且A1MAN求证：MN平面 BB1C1C证明：在面 BA1 内作 MM1A 1B1 交 BB1 于 M1在面 AC 内作 NN1AB 交 BC 于 N1易证 MM1 NN1 即可例 2. 设直线 a ，P 为 内任意一点，求证：过 P 且平行 a 的直线 必在平面 内证明：设 a 与 p 确定平面 ，且 a ，则 aa又 al lapa 与 a重合 l 变式训练 2：求证：如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的交线
19、平行解：已知 l a a 求证：al证明：过 a 作平面 交平面 于 b，交平面 于 C，a，ab同理，a ac bc又b 且 c b又平面 经过 b 交 于 lbl 且 ab al例 3. 如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧菱 PD底面ABCD，PDDC，E 是 PC 的中点( 1 ) 证明：PA平面 EDB；( 2 ) 求 EB 与底面 ABCD 所成的角的正切值(1 ) 证明：提示，连结 AC 交 BD 于点 O，连结 EO( 2) 解：作 EFDC 交 DC 于 F，连结 BF设正方形 ABCD 的边长为 a PD底面 ABCD，PDDC EFPD，F 为 D
20、C 的中点EF底面 ABCD，BF 为 BE 在底面 ABCD 内的射影，EBF 为直线 EB 与底面 ABCD 所成的角在 Rt BCF 中，BF aCFB252 EF 21PD a， 在 RtEFB 中，tanEBF 5BFE所以 EB 与底面 ABCD 所成的角的正切值为 5变式训练 3：如图，在四面体中截面 EFGH 平行于对棱AB 和 CD，试问：截面在什么位置时，其截面的面积最大？解：易证截面 EFGH 是平行四边形设 ABa CDb FGH(a 、b 为定值， 为异面直线 AB 与 CD 所成的角)又设 FGx GHy 由平几得 CBGax by bya1 y ab(ax)BAD
21、CEPAEFB HGCDS EFGHFGGHsinx ab(ax)sin absinx(ax)x0 ax0 且 x(ax)a 为定值当且仅当 xax即 x 2时(S EFGH)max 4sinb例 4已知： ABC 中， ACB90，D、E 分别为 AC、AB 的中点，沿 DE 将 ADE折起使 A 到 A的位置，若平面 ADE面 BCDE，M 是 AB 的中点，求证：ME面ACD证明：取 AC 的中点 N，连 MN、DN，则 MN 21BC，DE 21BCMN DE MEND又 ME 面 ACD ND面 ACDME面 ACD变式训练 4： (2005 年北京)如图，在直三棱柱 ABCA 1B
22、1C1 中，AC3，BC4，AB5，AA 14，点 D 是 AB 的中点( 1 ) 求证：ACBC 1；(2) 求证：AC 1平面 CDB1；(3) 求异面直线 AC1 与 B1C 所成角的余弦值解：（1）直三棱柱 ABCA 1B1C1，底面三边长AC3，BC4，AB5ACBC，且 BC1 在平面 ABC 内的射影为BC，AC BC 1；（2）设 CB1 与 C1B 的交点为 E，连结 DE，D 是 AB 的中点，E 是 BC1 的中点， DEAC 1DE 平面 CDB1，AC 1 平面 CDB1，AC 1平面 CDB1；（3）DEAC 1，CED 为 AC1 与 B1C 所成的角，在CED
23、中，ED 21AC1 5，CD 2AB 5，CE 2CB12 ， cosCED = 5228异面直线 AC1 与 B1C 所成角的余弦值为 51证明直线和平面平行的方法有：(1)依定义采用反证法； (2)判定定理；(3)面面平行性质；(4)向量法2辅助线(面)是解、证有关线面问题的关键，要充分发挥在化空间问题为平面问题的转化作用A DBB1C1A1C小结归纳第 4 课时 直线和平面垂直1直线和平面垂直的定义如果一条直线和一个平面的 直线垂直，那么这条直线和这个平面互相垂直2直线和平面垂直的判定定理如果一条直线和一个平面内的 直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面3直线和平面垂直性质若 a ，b
24、 则 若 a ，b 则 若 a ，a 则 过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条4点到平面距离过一点作平面的垂线 叫做点到平面的距离5直线到平面的距离一条直线与一个平面平行时，这条直线上 到这个平面的距离叫做直线到平面距离例 1. OA、OB、OC 两两互相垂直，G 为 ABC 的垂心求证：OG 平面 ABC证明：OA、OB、OC 两两互相垂直OA平面 OBC OABC又 G 为ABC 的垂心 AGBC, BC面 OAGBCOG同理可证：ACOG 又 BCACCOG平面 ABC变式训练 1：如图 SA面 ABC，ABC 90 ，AE SB，且 SBAEE，AFSC ，且AFSCF，求证：(1)
25、 BC面 SAB；(2) AE 面 SBC；(3) SCEF证明：(1) SABCBC面 SAB(2) 由(1)有 EAE面 SBC(3) 由(2)有 SCAFSC面 AEF SCEF例 2 如图，已知 PA矩形 ABCD 所在平面，M、N 分别是 AB、PC 中点(1) 求证：MNCD；(2) 若 PDA45，求证：MN面 PCD证明：(1) 连 AC 取中点 O，连 NO、MO ，并且 MO 交 CD 于 RN 为 PC 中点 NO 为 PAC 的中位线 NOPA而 PA平面 ABCD NO 平面 ABCDMN 在平面 ABCD 的射影为 MO，又 ABCD 是矩形M 为 AB 中点，O
26、为 AC 中点 MO CDCDMN(2) 连 NR，则 NRM 45PDA基础过关典型例题BACOGPMB CDANSABCFE又 O 为 MR 的中点，且 NO MRMNR 为等腰三角形 且NRMNMR 45MNR90 MNNR 又 MNCDMN平面 PCD变式训练 2：PD 垂直于平面 ABCD 所在平面，PBAC，PAAB求证： ABCD 是正方形； PCBC证明：略例 3如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形， PD底面ABCD，ADPD ，E、F 分别为 CD、PB 的中点(1) 求证：EF 平面 PAB；(2) 设 AB 2BC，求 AC 与平面 AEF 所成的角的大
27、小(1) 证明：连结 EPPD 底面 ABCD，DE 在平面 ABCD 中，PD DE，又 CEED ，PDADBC，RtBCERtPDE，PEBEF 为 PB 中点，EFPB由垂线定理得 PAAB ，在 RtPAB 中，PFAF，又 PEBEEA ，EFP EFA，EFFA PB、 FA 为平面 PAB 内的相交直线， EF平面 PAB(2) 解：不防设 BC1，则 ADPD1，AB 2，PA 2，AC 3PAB 为等腰直角三角形且 PB2，是其斜边中点，BF1，且 AFPBPB 与平面 AEF 内两条相交直线 EF、AF 都垂直PB平面 AEF连结 BE 交 AC 于 G，作 GHBP 交
28、 EF于 H，则 GH平面 AEFGAH 为 AC 与平面 AEF 所成的角由EGCBGA 可知 EG 21GB，EG 31EB，AG 32AC 由EGH BGF 可知 GH 3BFsinGAH 6AGHAC 与面 AEF 所成的角为 arc sin 63变式训练 3：如图，在三棱锥 ABCD 中，平面 ABD 平面 BCD， BAD BDC90，ABAD3 2，BC 2CD求：(1) 求 AC 的长；(2) 求证：平面 ABC平面 ACD；(3) 求 D 点到平面 ABC 的距离 d解：(1) 30 (2)略(3)因 VADBC 1( 2DCBD)OA6 3，AB DCPDABC FE又 V
29、DABC 31( 2ABAC)d 15d，VABCD V DABC ，则 d6 3，解得 d 56.例 4：如图，棱长为 4 的正方体 AC1，O 是正方形 A1B1C1D1 的中心，点 P 在棱 CC1 上，且CC14CP(1) 求直线 AP 与平面 BCC1B1 所成角的大小；(2) 设 O 点在平面 D1AP 上的射影是 H，求证：D 1HAP；(3) 求点 P 到平面 ABD1 的距离答案： (1) APBarctan 74(2) AP 在面 AC 上的射影为 AC 又 ACBDPABD 而 BDB 1D1 B 1D1AP而 B1D1 在平面 D1AP 上的射影为 D1H D 1HAP
30、(3) 面 ABD1面 BC1 过 P 作 PMBC 1 于 M则 PM 23变式训练 4：三棱锥 VABC 的三条侧棱 VA、VC 两两垂直，顶点 V 在底面内的射影是H(1) 求证 H 是 ABC 的垂心；(2) ABCHABVSS2 (1) 证明：连结 AH 交 BC 于 D 点，连接 CH 交 AB 于 E 点，VAVB，VAVC，VBVCV ，VAVBC 面，又 BCVBC 面，BCVAVHABC 面，BC ABC 面，BCVH，又 VAVHA，BCVHA 面又 ADVHA 面，ADBC，同理可得 CEAB，H 是ABC 的垂心(2) 连接 VE，在 RtVEC 中， VE2EHEC
31、41AB2VE2 41AB2EHEC，即 ABCHABVSS线面垂直的判定方法：(1) 线面垂直的定义； (2)判定定理；(3) 面面垂直的性质； (4) 面面平行的性质：若 ，a 则 a 第 5 课时 三垂线定理VE HACBD基础过关A1C1D1A BCDPHOB1小结归纳基础过关1和一个平面相交，但不和这个平面 的直线叫做平面的斜线，斜线和平面的交点叫做 2射影(1) 平面外一点向平面引垂线的 叫做点在平面内的射影；(2) 过垂足和斜足的直线叫斜线在平面内的 斜线上任意一点在平面上的射影一定在 垂线在平面上的射影只是 直线和平面平行时，直线在平面上的射影是和该直线 的一条直线3如图，AO
32、 是平面 斜线，A 为斜足，OB ，B为垂足，AC ，OAB 1， BAC 2，OAC ，则 cos 4直线和平面所成的角平面的斜线和它在这个平面内的 所成的 叫做这条直线和平面所成角斜线和平面所成角，是这条斜线和平面内任一条直线所成角中 5三垂线定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的 垂直，那么它也和 垂直逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条 垂直，那么它也和这条 垂直例 1. 已知 Rt ABC 的斜边 BC 在平面 内，A 到 的距离 2，两条直角边和平面 所成角分别是 45和 30求：(1) 斜边上的高 AD 和平面 所成的角；(2) 点 A 在 内的射影到 B
33、C 的距离答案：(1) 60 (2) 32变式训练 1：如图，道旁有一条河，河对岸有电塔 AB，塔顶 A 到道路距离为 AC，且测得BCA30，在道路上取一点 D，又测得 CD30m，CDB45求电塔 AB 的高度解：BC30，ABBC tan3010 3例 2如图，矩形纸片 A1A2A3A4，B、C 、B 1、C 1分别为 A1 A4、A 2A3 的三等分点，将矩形片沿BB1，CC 1 折成三棱柱，若面对角线 A1B1BC1；求证：A 2CA1B1解：取 A2B1 中点 D1 A 2C1B 1C1 C 1D1A 2B1又 A1A2面 A2B1C1 C 1D1A 1A2C 1D1面 A1A2B
34、1B BD 1 是 BC1 在面 A2B 上的射影由 A1B1BC 1 BD 1A 1B1取 A1B 中点 D 同理可证 A2D 是 A2C 在面 A2B 上的射影A 2D BD1 A 2DBD1 是平行四边形由 BD1A 1B1 A 1B1A 2DA 2CA 1B1 典型例题COBAB1A1 B C A4 A1A2 B1 C1 A3A2 C1CBDABC变式训练 2：如图，在正三棱柱 ABCA 1B1C1 中，AB3，AA 14，M 为 AA1 中点，P是 BC 上一点，且由 P 沿棱柱侧面经过棱 CC1 到 M 的最短路线长 29，设这条最短路线与CC1 交点 N，求：(1) PC 和 N
35、C 的长；(2) 平面 NMP 与平面 ABC 所成二面角 (锐角)大小解：将侧面 BB1C1C 绕棱 CC1 旋转 120使其与侧面AA1C1C 在同一平面上，点 P 运动到点 P1 的位置，连接 MP1，则 MP1 就是由点 P 沿棱柱侧面经过棱 CC1 到点 M 的最短路线设 PC x，则 P1Cx，在 RtMAP 1 中，由勾股定理得 x2PC P1C2 521AMN NC 54(2) 连接 PP1，则 PP1 就是平面 NMP 与平面 ABC 的交线，作 NHPP 1 于 H，又 CC1平面 ABC，连结 CH，由三垂线定理得 CHPP 1NHC 就是平面 NMP 与平面 ABC 所
36、成的平面角(锐角)在 Rt PHC 中 PCH 21PCP 160 CH 2PC1在 Rt PHC 中 tanNHC 54故平面 NMP 与平面 ABC 所成二面角大小为 arctan 54例 3.如图在棱长为 1 的正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，点 E 是棱 BC 的中点，点 F 是棱 CD 上的动点(1) 试确定点 F 的位置，使得 D1E面 AB1F；(2) 当 D1E面 AB1F 时，求二面角 C1EF A 大小解：(1) 连结 A1B，则 A1B 是 D1E 在面 ABB1A1 内的射影AB 1A 1B D 1EAB 1于是 D1E平面 AB1F D1EAF连结 DE，则
37、DE 是 D1E 在底面 ABCD 内的射影D 1EAF DEAFABCD 是正方形，E 是 BC 的中点当且仅当 F 是 CD 的中点时，DE AF即当点 F 是 CD 的中点时，D 1E面 AB1F(2) 当 D1E平面 AB1F 时，由(1) 知点 F 是 CD 的中点，又已知点 E 是 BC 的中点，连结EF，则 EFBD 连 AC，设 AC 与 EF 交点 H，则 CHEF，连 C1H，则 CH 是 C1H 在底面ABCD 内的射影C 1HEF 即C 1HC 是二面角 C1EFC 的平面角在 Rt C1HC 中 C 1C1 CH 41AC 2tanC 1HC 2H D1C1B1A1B
38、A DFCEA1 C1B1MNCPBAC 1HCarctan 2AHC 1 arctan2变式训练 3：正方体 ABCDA 1B1C1D1 中棱长 a，点 P 在 AC 上，Q 在 BC1 上，APBQ a，(1) 求直线 PQ 与平面 ABCD 所成角的正切值；(2) 求证：PQAD (1) 解：过 Q 作 QMCC 1 交 BC 于 M 则 QM面 ABCD QPM 就是所求角 BCM1即 a2 aBC2aAP2 AP PMAB在 Rt PQM 中 PM a21 QM a2tanQPM PMQ a21 1(2) 由(1) 可知 PMBC PQ 在面 ABCD 内的射影是 PM.PQBC 又
39、 ADBC PQAD例 4如图，在长方体 ABCDA 1B1C1D1 中，ADAA 11，AB2，点 E 在棱 AB 上移动(1) 证明：D 1EA 1D；(2) 当 E 为 AB 的中点时，求点 E 到面 ACD1 的距离；(3) AE 等于何值时，二面角 D1EC D 的大小为 4(1) 证明： AE平面 AA1DD1，A 1DAD 1，A 1DD 1E(2) 设点 E 到面 ACD1 的距离为 h，在ACD 1 中，ACCD 1 5，AD 1 2， CAS1 2 25 3，而 ACS 2AEBC 21 ABCDV1 3ABCSDD1 3D1h 21 h， h(3) 过 D 作 DHCE
40、于 H，连 D1H、DE，则 D1HCE，DHD 1 为二面角 D1ECD的平面角设 AEx，则 BE2x在 Rt D1DH 中，DHD 1 4，DH1在 RtADE 中，DE 2x，在 RtDHE 中，EHx，在 RtDHC 中，CH 3，CE 542x，则 x 3 542，解得 x2 3即当 x2 时，二面角为 D1ECD 的大小为 AA1C1D1BCEDB1变式训练 4：如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是边长为 a 的正方形，且PDa，PAPC 2a(1) 求证：PD面 ABCD；(2) 求直线 PB 与 AC 所成角；(3) 求二面角 APBD 大小证明：(1) PC
41、2a PDDCa PD 2DC 2 PC2PDC 是直角三角形 PD DC同理 PDDA 又DADCDPD平面 ABCD(2) 连 BD ABCD 是正方形 ACBD又PD平面 ABCD ACPB( 三垂线定理)PB 与 AC 所成角为 90(3) 设 ACBD0 作 AEPB 于 E，连 OEACBD PD平面 ABCD AC 面 ABCDPDAC AC平面 PDB又OE 是 AE 在平面 PDB 内的射影OEPB AEO 就是二面角 APBO 的平面角又ABa PA a2 PB a3PD面 ABCD DAAB PA AB在 Rt PAB 中 AEPBPAAB AE a36 AO a2sin
42、AEO AEO601求直线和平面所成的角的一般步骤是一找(作) ，二证，三算寻找直线在平面内的射影是关键，基本原理是将空间几何问题转化为平面几何问题，主要转化到一个三角形内，通过解三角形来解决2三垂线定理及逆定理，是判定两条线互相垂直的重要方法，利用它解题时要抓住如下几个环节：一抓住斜线，二作出垂线，三确定射影证明线线垂直的重要方法：三垂线定理及逆定理；线面 线线；向量法第 6 课时 平面与平面平行1两个平面的位置关系： 2两个平面平行的判定定理如果一个平面内有两条 直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行(记忆口诀：线面平行，则面面平行)3、两个平面平行的性质定理如果两个平行平面同时与第
43、三个平面相交，那么它所有的 平行(记忆口诀：面面平行，则线线平行)基础过关PA BCD小结归纳基础过关4两个平行平面距离和两个平行平面同时 的直线，叫做两个平面的公垂线，公垂线夹在平行平面间的部分叫做两个平面的 ，两个平行面的公垂线段的 ，叫做两个平行平面的距离例 1如图，正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，M、N、E、F 分别是棱A1B1、A 1D1、B 1C1、C 1D1 中点(1) 求证：平面 AMN平面 EFDB；(2) 求异面直线 AM、BD 所成角的余弦值解：(1) 易证 EFB 1D1 MNB 1D1 EF MNANBE 又 MNANN EFBEE面 AMN面 EFDB(2)
44、 易证 MNBD AMN 为 AM 与 BD 所成角易求得 cosAMN 10变式训练 1：如图， ，AB 交 、 于 A、B ，CD 交 、 于 C、D，AB CDO，O 在两平面之间，AO5，BO8，CO6求 CD解：依题意有 ACDB DCBA 即 685OD 548 CD 5486 7例 2 . 已知平面 平面 ，AB、CD 是夹在平面 和平面 间的两条线段，点 E、F 分别在 AB、CD 上，且 nmFDCEBA求证：EF 证明：1若 AB 与 CD 共面，设 AB 与 CD 确定平面 ，则 AC BD ACBD 又EFAC BD EF2若 AB 与 CD 异面，过 A 作 AACD在 AA截点 O，使 nmFDCEB1 EOBA OFAD平面 EOF EF 与 、 无公共点EF 变式训练 2：在正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，M、N、P 分别是 CC1、B 1
