1、1函数的概念和性质基础知识梳理一、函数的概念与表示1、映射：设 A、B 是两个集合，如果按照某种映射法则 f，对于集合 A 中的任一个元素，在集合 B 中都有唯一的元素和它对应，则这样的对应（包括集合 A、B 以及 A 到 B 的对应法则 f）叫做集合 A 到集合 B 的映射，记作 f：AB。注意点：（1）对映射定义的理解。（2）判断一个对应是映射的方法。一对多不是映射，多对一是映射2、函数：设 X 是 一 个 非 空 数 集 ， Y 是 非 空 数 集 ， f 是 个 对 应 法 则 ， 若 对 X 中 的 每 个 x， 按 对 应 法则 f， 使 Y 中 存 在 唯 一 的 一 个 元 素
2、 y 与 之 对 应 ， 就 称 对 应 法 则 f 是 X 上 的 一 个 函 数 ， 记 作y f（ x） ， 称 X 为 函 数 f（ x） 的 定 义 域 ， 集 合 y|y=f（ x） ， xR为 其 值 域 （ 值 域 是 Y 的 子 集 ） ， x叫 做 自 变 量 ， y 叫 做 因 变 量 ， 习 惯 上 也 说 y 是 x 的 函 数 。构成函数概念的三要素 定义域对应法则值域两个函数是同一个函数的条件: 定义域和对应法则相同1、下列各对函数中，相同的是 （ ）A、 B、 xgxfl2)(,l)(2 )1lg()l(),1lg)( xxfC、 D、f（x）=x，vu1,1
3、2(f2、 给出下列四个图形，其中能表示从集合 M 到集合 N 的函30|0|yNM数关系的有 （ ）A、 0个 B、 1个 C、 2个 D、3个x x x x1 2 111 22211112222y y yy3O OOO二、函数的解析式与定义域1、求函数定义域的主要依据：（1）分式的分母不为零；（2）偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义；（3）对数函数的真数必须大于零；（4）指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于 1；6.（05 江苏卷）函数 的定义域为20.5log(43)yx2 求函数定义域的两个难点问题2（1） ()x已 知 f的 定 义 域 是 -2,5求 f(x+3)
4、的 定 义 域 。（2） (21)x已 知 f 的 定 义 域 是 -1,求 f()的 定 义 域例 2 设 ，则 的定义域为_2()lgxf2()ffx变式练习： ，求 的定义域。24)2(xf )(f三、函数的值域1 求函数值域的方法直接法：从自变量 x 的范围出发，推出 y=f(x)的取值范围，适合于简单的复合函数；换元法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域，适合根式内外皆为一次式；判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出 y 的取值范围；适合分母为二次且 R 的分式；x分离常数：适合分子分母皆为一次式（x 有范围限制时要画图）；单调性法：利用函数的单调性求值域；图象法：二次函数
5、必画草图求其值域；利用对号函数几何意义法：由数形结合，转化距离等求值域。主要是含绝对值函数1（直接法） 213yx2 2()4fx3（换元法） 1xy4. （ 法） 432xy35. 1y2x6. (分离常数法) 1xy 31(24)xy7. (单调性) 3(1,)2yx8. ， (结合分子 /分母有理化的数学方法)1yx1yx9(图象法) 23(1)yx10(对号函数) 82(4)yx11. (几何意义) 1yx四函数的奇偶性1定义: 设 y=f(x)，xA，如果对于任意 A，都有 ，则称 y=f(x)为偶函数。x()fxf如果对于任意 A，都有 ，则称 y=f(x)为奇函数。()2.性质：
6、y=f(x)是偶函数 y=f(x)的图象关于 轴对称, y=f(x)是奇函数 y=f(x)的图象关于原点对称,y若函数 f(x)的定义域关于原点对称，则 f(0)=0 奇 奇 =奇 偶 偶 =偶 奇 奇 =偶 偶 偶 =偶 奇 偶 =奇 两 函 数 的 定 义 域 D1 ， D2， D1 D2 要 关 于 原 点 对 称 3 奇 偶 性 的 判 断 看 定 义 域 是 否 关 于 原 点 对 称 看 f(x)与 f(-x)的 关 系41 已知函数 是定义在 上的偶函数. 当 时， ，则当)(xf ),()0,(x4)(xf时， .,0(x2 已知定义域为 的函数 是奇函数。R12()xbfa（
7、）求 的值；,ab（）若对任意的 ，不等式 恒成立，求 的取值范围；t22()()0ftftkk3 已知 在（1，1）上有定义，且满足)(xf ),1()()1, xyfxfyx有证明： 在（1，1）上为奇函数；4 若奇函数 满足 ， ，则 _)(Rxf1)2(f )2()2(fxf)5(f五、函数的单调性1、函数单调性的定义：如果函数 yf (x)对于属于定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1、x 2，5当 x121,得 32,故选 A.49.(2009 陕西卷理)定义在 R 上的偶函数 ()fx满足：对任意的 1212,(,0)xx，有2121()0xffx.则当 *nN时,有
8、 (A) )(n (B) ()()fnffn (C) (C) ()fff (D) 1)( 答案：C 1212121,(,0)()()0)(,0() )()()(1)xxxffxfffffnfnffnf解 析 ： 时 ， 在 为 增 函 数为 偶 函 数 在 ， 为 减 函 数而 n+-,52.（2009 全国卷文）已知函数 x的反函数为 10gxx 2l ，则 )(g （A）0 （B）1 （C） 2 （D）4【解析】本小题考查反函数，基础题。解：由题令 l得 ，即 1)(f，又 )(，所以 )(gf，故选择 C。53.（2009 湖北卷文）函数 )21,(21xRy且 的反函数是A. ),(2
9、1xRy且 B. )21,(xRy且C. 1,)(且 D. ,)1(2且【解析】可反解得 12()yxfx故且可得原函数中 yR、y-1 所以1()2f且 xR、x-1 选 D61.（2009 福建卷文）下列函数中，与函数 1yx 有相同定义域的是13A . ()lnfx B. 1()fx C. ()|fx D. ()xfe解析 解析 由 y可得定义域是 0.lnf的定义域 0； 1()f的定义域是 x0；()|fx的定义域是 ;()xxRfe定义域是 R。故选 A.62.（2009 福建卷文）定义在 R 上的偶函数 f的部分图像如右图所示，则在 2,0上，下列函数中与fx的单调性不同的是A
10、21yB. |xC. 32,01yD ,0xeo解析 解析 根据偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反，故可知求在 2,0上单调递减，注意到要与 fx的单调性不同，故所求的函数在 2,0上应单调递增。而函数 1yx在 ,上递减；函数1y在 ,0时单调递减；函数 ,13xy在（ 0,上单调递减，理由如下 y=3x20(x 2f的是A = B. ()fx= 21 C . ()fx=e D ()ln1)fx解析依题意可得函数应在 0,上单调递减，故由选项可得 A 正确。65.（2009 重庆卷文）把函数 3()fx的图像 1向右平移 u个单位长度，再向下平移 v个单位长度后得到图像 2C若对任意的
11、u，曲线 1C与 2至多只有一个交点，则 v的最小值为（ ）A B 4C 6D 8解析根据题意曲线 C 的解析式为 3()(),yxuv则方程 33()()xuvx，即23()0uxv，即 1对任意 0恒成立，于是 14的最大值，令1)(,4gu则 2()3(2)4g由此知函数 ()g在（0，2）上为增函数，在 (2,)上为减函数，所以当 u时，函数 gu取最大值，即为 4，于是 v， B66.（2009 上海卷文） 函数 f(x)=x3+1 的反函数 f-1(x)=_.【解析】由 yx 3+1，得 x 1y，将 y 改成 x，x 改成 y 可得答案 31x。67.（2009 北京文）已知函数 3,()xf若 ()2f，则 . .w.w.k.s.
