1、高考数学中的放缩技巧证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题 及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：一、裂项放缩例 1.(1)求 的值; (2)求证: .nk1243512nk解析:(1) 因为 ,所以)(112142nkn(2)因为 ,所以2422 nn 35512 nk奇巧积累:(1) (2) 1122 )1()1(21 nCn(3) )(!)(!1 rrnrC
2、Trnr(4) 25123)(5) (6) nn12nn(7) (8) )()( nn2)3(1)2(13(9) kkknk1,1(10) (11)!)(!)( 2121)2( nnn(11) )()(1)()12()(2 nnnn(12) 113 nnn(13) 3212)(32)1(21 n(14) (15) !kk )(1)(15) 1)1)(222 jijijji例 2.(1)求证: )(67)(53122 nn(2)求证: n4123614(3)求证: 126)(532 n(4) 求证： 1)(n解析:(1) 因为 ,所以 22n)123()(2)1( nin(2) 4(436142
3、 (3)先运用分式放缩法证明出 ,再结合 进行裂项,最后就6)531 n可以得到答案(4)首先 ,所以容易经过裂项得到nn2)(2113)再证 而由均值不等式知道这是显然成立212)2(1nnn的，所以 )(13例 3.求证: 3594)2(162nn解析:一方面:因为 ,所以123515321nkn另一方面: 1)1(4294 nn当 时, ,当 时, ,n)(62946当 时, ,所以综上有221)1(359462nn例 4.(2008 年全国一卷) 设函数 .数列 满足 . .设 ，()lnfxna10()nfa1)b，整数 .证明: .1labk 1k解析:由数学归纳法可以证明 是递增
4、数列,故存在正整数 ,使 ,则n kmb,否则若 ,则由 知k1)(m101ba, ,因为 ,0lnln1baamkmkk aa11lnl )ln(l11bakkm于是 kk)(|1例 5.已知 ,求证: .mnSxNn32, )(11mnS解析:首先可以证明: n1)(所以要证 kmmm 1111 )(0)(只要证: )(1nS nkmmmknk nn11111111 )(2)()()()( 故只要证 ,即等价于 knkm1111 ,即等价于mm)() 1)(,)(mmkk而正是成立的,所以原命题成立.例 6.已知 , ,求证: .na24naT21 23321nT解析: )21(4)(4)
5、(31 nn 所以 3)(23234)2(4 21111 nnnnnn 3从而 21272321 nnT例 7.已知 , ,求证:x)(1Zkn *)(4124532 Nxn证明: ,因为nxn 214)(12,所以 )(412xn 所以 *)1(5432 Nx二、函数放缩例 8.求证： .)(653ln4l32ln*Nn解析:先构造函数有 ,从而xx1lnl)312(3ln43l2n因为 nnn 1987654321 98651n所以 653llln例 9.求证:(1) )2(1l2,2n解析:构造函数 ,得到 ,再进行裂项 ,求和后可以得到答xfl)(2ln2案函数构造形式: ,1ln)(
6、l例 10.求证: n121l32解析:提示: 2lll)l( n函数构造形式: x,当然本题的证明还可以运用积分放缩如图,取函数 ,xf1)(首先: ,从而,niABCFS)ln(|lixinin取 有, ,1i)1l(所以有 , , , ,相加后可以得到: 2n3)1l(nnl)l()l(13另一方面 ,从而有niABDExS )l(|l1ixinin取 有, ,i)l(所以有 ,所以综上有n12)ln( nn12)l(132例 11.求证: 和 .e)!(3! en389(解析:构造函数后即可证明例 12.求证: 2)1()21() n解析: ,叠加之后就可以得到答案3)1(lnFE D
7、CBAn-i nyxO函数构造形式: (加强命题 )013)ln(0132)ln( xx例 13.证明: *,45l4N解析:构造函数 ,求导,可以得到:)()(f,令 有 ,令 有 ,12)( xf 0f2x0(f2x所以 ,所以 ,令 有,)(f)ln(1nl所以 ,所以ln)*(4)l543N例 14. 已知 证明 .121,().nnaa2ne解析: ,n)(然后两边取自然对数,可以得到 nnal)21(l1然后运用 和裂项可以得到答案 )x)1l(放缩思路： nna2nll(21。于是 ，al2.21)l)()(1211 nniiini即 .len注：题目所给条件 （ ）为一有用结论
8、，可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用；l()x0当然，本题还可用结论 来放缩：)1)(1ann 1(nna.)(ll，1)ll 2212 niniii即 .3l)l(eaann例 15.(2008 年厦门市质检) 已知函数 是在 上处处可导的函数,若(xf)0在 上恒成立.xf0(I)求证：函数 上是增函数；,(在fg(II)当 ；)():, 212121 xfx证 明时(III)已知不等式 时恒成立，0)ln且在求证： ).()(ln)(43*222 Nn解析:(I) ,所以函数 上是增函数)(xfg,0在xfg(II)因为 上是增函数,所以0在fx)()(212121fxf )()()
9、212212 xfxffx两式相加后可以得到 1(3) )()() 212121 nnn xfff 2 xxxf )()() 212121 nnnn xfff 相加后可以得到:)(nxfxfx所以 令)l()(lll 2121321 nnn xx ,有 2)(n 2l)42221(3l)1(43n )n212(2所以 ).(2)1(ln)14l3l *22 Nn(方法二) 4()(n12所以 )(4ll)ll43l222 n又 ,所以4n .21)(n13*22 N例 16.(2008 年福州市质检)已知函数 若.l)(xf)(l:,0bfafba证 明解析:设函数 (),gxfk.201,0
10、)(,ln)l(n.,l kxkxgf 则 有令函数 ）上单调递增，在 上单调递减.2在 ,( 的最小值为 ，即总有)()g).gx而 ,2ln(l(n2l(kfkfkg,)(x即 .lff令 则,bka.2ln)()(bafbaf2lnf三、分式放缩姐妹不等式: 和)0,(mab)0,(mba记忆口诀”小者小,大者大”解释:看 b,若 b 小,则不等号是小于号,反之.例 19. 姐妹不等式: 和12)()513(n也可以表示成为2)641(2n和53n 12)(n解析: 利用假分数的一个性质 可得)0,mab1264 67453 (53即)5312(n .12)1()(n例 20.证明: 3
11、7(3n解析: 运用两次次分式放缩:(加 1)18956.23178452n(加 2)n304相乘,可以得到: )13(287541857.23178452 nn所以有 .3)()(n四、分类放缩例 21.求证: 21321n解析: )21()41332()( nnn例 22.(2004 年全国高中数学 联赛加试改编) 在平面直角坐标系 中, 轴正半轴上的点列 与曲xoynA线 （ 0）上的点列 满足 ，直线 在 x 轴上的截距为 .点 的横坐标xy2nBOAn1nBAnaB为 , .nbN(1)证明 4， ; (2)证明有 ，使得对 都有 0,b0,求证： .12nnb解析: 因为 a+b=
12、1,a0,b0,可认为 成等差数列，设 ，, dba21,从而 nnnd1221例 47.设 ，求证 .N, )2(18)3(n解析: 观察 的结构，注意到 ，展开得n)(，86)2(12121( 3 nCn即 ，得证.8)n例 48.求证: .nl)1l(3l解析:参见上面的方法,希望读者自己尝试!)例 42.(2008 年北京海淀 5 月练习) 已知函数 ，满足：*(),yfxyN对任意 ，都有 ；*,abN)()(abffa对任意 都有 .n()3fn（I）试证明： 为 上的单调增函数；x*（II ）求 ；)28(6)1(ff（III ）令 ，试证明：.*3,na12144nna解析:本
13、题的亮点很多,是一道考查能力的好题.(1)运用抽象函数的性质判断单调性:因为 ,所以可以得到 ,)()(bff 0)()(bffb也就是 ,不妨设 ,所以,可以得到 ,也就是说 为0aaa)(xf上的单调增函数.*N(2)此问的难度较大,要完全解决出来需要一定的能力!首先我们发现条件不是很足,尝试探索看看按(1)中的不等式可以不可以得到什么 结论,一发现就有思路了!由(1)可知 ,令 ,则可以得到0)()(bfa)1(fa,又 ,所以由不等式可以得到 ,又1fxf 3f 3)1(f,所以可以得到 *)1N2接下来要运用迭代的思想:因为 ,所以 , , 2(f)(ff 6)2(ff 9)(ff,
14、 , ,8)697954188)27f在此比较有技巧的方法就是:,所以可以判断 754815)8(f当然,在这里可能不容易一下子发现这个结论,所以还可以列项的方法,把所有项数尽可能地列出来,然后就可以得到结论.所以,综合有 =)2(6)1(ff69(3)在解决 的通项公式时也会遇到困难.na,所以数列 的方程nnnaffff 3),(3)()3(,)( 11 *(3),nfN为 ,从而 ,n242a一方面 ,另一方面4)(n 2)(10Cnn所以 ,所以,综上有1)13.124nna例 49. 已知函数 fx的定义域为0,1，且满足下列条件： 对于任意 0,1，总有 ，且 ；3fx14f 若
15、则有1210,x122()3.x（）求 f0的值；（）求证：fx4；（）当 时，试证明： .1(,23)n()3fx解析: （）解：令 ，0x由对于任意 0,1，总有 ， 3fx(0)f又由得 即()2,ff(); 03.（）解：任取 且设12,x12,x则 2 1()()()3,ff因为 ，所以 ，即1021320 . x当 0,1时， . ()4fx（）证明：先用数学归纳法证明： 1()(*)3nfN（1） 当 n=1 时， ，不等式成立；003（2） 假设当 n=k 时， 1()(*)3kf由 1()33kkkkf f()63kkf得 1()9.kkf即当 n=k+1 时，不等式成立由（
16、1） 、 （2）可知，不等式 对一切正整数都成立.1()3nf于是，当 时， ，1(,23nx 113()nnxf而 0,1， 单调递增f 所以， 1()3nf1()3.nfx例 50. 已知： 2,0niaa 2,求证： 21131n解析:构造对偶式：令 122321 aAnn1321 aaBn则2n BAaaann,0)()()()( 11321又 （2jiji2,i121321)()BAnn)(41321 aan十一、积分放缩利用定积分的保号性比大小 保号性是指，定义在 上的可积函数 ，则 .,ab0fx0bafxd例 51.求证： .e解析: ， ， lnlnllnee21lex时，
17、， ，,x210x2dx ， .le利用定积分估计和式的上下界定积分产生和应用的一个主要背景是计算曲边梯形的面积，现在用它来估计小矩形的面积和.例 52. 求证： ， .12123n ,N解析: 考虑函数 在区间 上的定积分 .fx,i,3如图，显然 -1idi对 求和，i1nii x1n.12例 53. 已知 .求证： .,4nN117230nn解析:考虑函数 在区间 上的定积分.fx,i, -1ni1ind .1ini1inix1100lndx7l2例 54. （2003 年全国高考江苏卷）设 ，如图，已知直线 及曲线 ： ， 上的aayl:C2xy点 的横坐标为 （ ）.从 上的点 作直
18、线平行于 轴，交直线 于点 ，再从点1Q1a0C1nQxl1nP作直线平行于 轴，交曲线 于点 . 的横坐标构成数列 .1nPyC1nQ,2 na（）试求 与 的关系，并求 的通项公式；1naa（）当 时，证明 ；2,nkk123)(（）当 时，证明 .解析: （过程略）.12()nna证明（II）：由 知 ， ， .21n1a231,46当 时， ，1k236ka .111()()()32nnkkn证明（）：由 知 .2 恰表示阴影部分面积，121()()kkkaa显然 1kxd .212()()nnk1kna20xd31奇巧积累: 将定积分构建的不等式略加改造即得“初等” 证明，如： ；1
19、idxi ；ni11lnli ；21sii1si2i ix .131()kakkd十二、部分放缩(尾式放缩 )例 55.求证: 7421n解析: 1213823313 nn7482例 56. 设 求证：an1.2,3an .n解析: 132又 （只将其中一个 变成 ，进行部分放缩） ，2),1(2kkk1，)(1于是 )()3(322 nnan .2例 57.设数列 满足 ，当 时证明对所有 有Nan11 31a,1n；)(in 2)(21ai解析: 用数学归纳法：当 时显然成立，假设当 时成立即 ，则当k2ka时k，成立。31)()(1 kk利用上述部分放缩的结论 来放缩通项，可得)i 1a
20、)1(1kk.24211 kkkaa.)(11ninini注：上述证明 用到部分放缩，当然根据不等式的性质也可以整体放缩：)(；证明 就直接使用了部分放缩的结论32)(1kka)(i 12ka十三、三角不等式的放缩例 58.求证: .|sin|Rx解析:(i)当 时,0x(ii)当 时,构造单位圆,如图所示:2因为三角形 AOB 的面积小于扇形 OAB 的面积所以可以得到 |sin|ixx当 时|所以当 时 有0i|i|(iii)当 时, ,由(ii)可知: x|sx所以综上有 )(|sn|Rx十四、使用加强命题法证明不等式(i)同侧加强对所证不等式的同一方向(可以是左侧,也可以是右侧) 进行
21、加强 .如要证明 ,只要证明Axf)(,其中 通过寻找分析,归纳完成.)0(BAxf例 59.求证:对一切 ,都有 .*Nn31nk解析: 1)1()()()(123 kkk 211)()( kTPBAOyx1211kkk从而 31215341 kkn 当然本题还可以使用其他方法,如:kkk1)(1212所以 .3)(2 kknnk(ii)异侧加强 (数学归纳法)(iii)双向加强有些不等式,往往是某个一般性命题的特殊情况,这时,不妨”返璞归真”,通过双向加强还原其本来面目,从而顺利解决原不等式.其基本原理为:欲证明 ,只要证明: .BxfA)( ),0()(BACxfA例 60.已知数列 满
22、足: ,求证:nanna1,1).2(32nan解析: ,从而 ,所以有212knn ,所以1)()()()( 212 1n又 ,所以 ,所以有3112knnaa32na所以2)()()()( 2122 n 3an所以综上有 .引申:已知数列 满足: ,求证: .nanna,11k解析:由上可知 ,又 ,所以2233212nn从而 )(531 ank 又当 时, ,所以综上有 .1 11nank同题引申: (2008 年浙江高考 试题) 已知数列 , , , .01a)(122Nnan记 , .求证:当 时.nnaS21 )()(221T(1) ; (2) ; (3) .S3n解析:(1) ,
23、猜想 ,下面用数学归纳法证明:121nna(i)当 时, ,结论成立;(ii)假设当 时, ,则 时,)(kk)1(k212kka从而 ,所以121nkaa01k所以综上有 ,故0nna2(2)因为 则 , , ,相加121n 212331121nna后可以得到: ,所以23)( nnSaa,所以2SnnSn(3)因为 ,从而 ,有 ,所以有211 1nana1,从而23113)()( aann,所以1321 )(n,所以221)()( n 31522432 nn aaT 所以综上有 .n例 61.(2008 年陕西省高考 试题) 已知数列 的首项 , , n132na， ，(1)证明:对任意
24、的 , , ;0x21()nax ， ，(2)证明: .212解析:(1)依题 ,容易得到 ,要证 , , ,nn310x21()3nnax 1， ，即证 22 )()(13xxnn 即证 ,设 所以即证明02t1 )10(2tttnn从而 ,即 ,这是显然成立的.0)(3n所以综上有对任意的 , ,x2()3nax ， ，(法二) 21()n1, 原不等式成立xa2)(2nax (2)由(1)知，对任意的 ，有012222111()3()3()3n nx 21()3nnxx取 ，213nn则 21213nna 原不等式成立十四、经典题目方法探究探究 1.(2008 年福建省高考 )已知函数
25、.若 在区间 上的最小值为xxf)1l()(f*)(,0Nn,令 .求证: .nbnba)1l( 12642534231 naaa证明:首先:可以得到 .先证明n)(方法一) 12)(6)(5222 nn所以 14231n(方法二)因为 ,相乘得: 12,543,2,从而 .6)531 6)(n(方法三) 设 A= ,B= ,因为 A1, 求 a 的1()exf取值范围. 解析:函数 f (x)的定义域为(-, 1)(1, +), 导数为 .axf)(2() 当 0 f (0) =1, 因而这时 a 满足要求. () 当 a2 时, f (x) 在区间 (- , )为减函数, 故在区间(0, ) 内任取一点, 比如取a2a, 就有 x0(0, 1) 且 f (x0) f (0) =1, 因而这时 a 不满足要求 .210x() 当 a0 时, 对于任意 x(0, 1) 恒有 , 这时 a 满足要求.exf1综上可知, 所求 a 的取值范围为 a2.
