1、4 同余式,定义4.1 设 f (x) anxn an1xn1 a1x a0, 其中n 0, ai (i 0, 1, n)是整数. 又设m 0, 则f (x) 0 (mod m) (1) 叫做模m 的同余式. 若 则 n 叫做同余式(1)的次数.,同余式的定义,如果 x0 满足 f (x0) 0 (mod m), 则 x x0 (mod m) 叫做同余式(1)的解.,! 同余式不同的解是指互不同余的解.,解同余式(验算法),同余式 x5 2x4 x3 2x2 2x 3 0 (mod 7) 有3个解: x 1, 5, 6 (mod 7).同余式 x4 1 0 (mod 16) 有8个解: x 1
2、, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 (mod 16).同余式 x2 3 0 (mod 5) 没有解.,多元同余式,定义4.2 设m 0, k 2, F(x1, xk) 是一个k 元整系数多项式, 则称同余式F(x1, xk) 0 (mod m) (2) 为模m 的k元同余式. 它的解为x1 a1 (mod m), , xk ak (mod m). 注:若至少有一个j使得aj bj (mod m), 则(a1, ak)和(b1, bk)被称为不同的解.,同余式解法举例,1.验证法设p为素数, 记 Np 为同余式 y2 x3 1 0 (mod p)的解的个数. 则有: 1. N2 2
3、, 解为(x, y) (0, 1), (1, 0). 2. N3 3, 解为(x, y) (1, 0), (2, 1), (2, 2). 3. N5 5, 解为(x, y) (0, 2), (0, 3), (1, 0), (3, 1), (3, 4). 4. N7 3, 解为(x, y) (1, 0), (2, 0), (4, 0).,一元一次同余式的解,定理4.1 设(a, m) 1, m 0, 则同余式ax b (mod m) (3) 恰有一个解.,一元一次同余式的解,定理4.2 在定理4.1的条件下, x ba(m)1 (mod m) 是同余式(3)的唯一解.,举例,例1：解同余式 17
4、x 19 (mod 25).,解: (1) x 1917 20 1 7 (mod 25). (2) 也可以利用Euclid算法计算 171 (mod 25), 再代入求解.,一元一次同余式解的个数,定理4.3 设m 0, (a, m) d, 则同余式ax b (mod m) (4) 有解的充分必要条件是 d | b. 进一步, 若d | b, 则同余式 (4) 恰有d 个解.,举例,例2：解同余式28x 21 (mod 35).,解: 因为 (28, 35) = 7 | 21， 故原同余式有解, 且有7个解. 原同余式等价于4x 3(mod 5), 而它的解为 x 2(mod 5), 故原同余方程的解为x 2, 7, 12, 17, 22, 27, 32(mod 35).,举例,例3：求下列联立同余式的解x 4y 29 0 (mod 143), 2x 9y 84 0 (mod 143).类似于方程的消元法求解. 消元时注意乘与模数互素的元素.,多元一次同余式解的个数,定理4.4 设k 1, 同余式a1x1 a2x2 ak xk b 0 (mod m) (5) 有解的充分必要条件是 (a1, a2, , ak , m) | b. 若该条件满足, 则同余式(5)的解数为 mk1(a1, a2, , ak , m).,
