1、新乡许昌平顶山 2016 届高三第二次调研考试理科数学本试卷分第卷(选择题)和第卷(必考题和选考题两部分)考生作答时,将答案答在 答题卡上,在本试卷上答题无效第卷一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1复数 z 的共轭复数是2iA1i B1 i C1i D1i2设集合 Ax1x2,Bxxa ,若 ABA,则 a 的取值范围是Aaa2 Baa 1 Caa 1 Da a23实数 a3 是直线 ax2y3a 0 和直线 3x(a1)ya 7 平行的A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件4设向量
2、 a(1,m),b(m 1,2),且 ab,若(ab)a,则实数 mA2 B1 C D3125已知焦点在 x 轴上的椭圆方程为 ,随着 a 的增大该椭圆的形状214xya A越接近于圆 B越扁C先接近于圆后越扁 D先越扁后接近于圆 6设 a ,则二项式 的常数项是20(1)xd 26()xA240 B240 C60 D607执行如图(1)所示的程序框图,则输出的结果为A189 B381 C93 D458某几何体的三视图如图(2)所示,则该几何体的体积为A B5 C5 D 3231329若函数 f(x)4sinx cos2x(0)在 , 上是增函sin()4数,则 的取值范围是A(0,1 B(0
3、, C1,) D ,)33410若函数 f(x) a x 在0 ,)上单调递增,则实数 a 的取值范围是21A2,0 B4,0 C 1,0 D ,01211如图(3)所示,侧棱与底面垂直,且底面为正方形的四棱柱 ABCDA 1B1C1D1 中,AA12,AB1,M、N 分别在 AD1、BC 上移动,始终保持 MN平面 DCC1D1,设BNx,MN y,则函数 yf(x)的图像大致是12若函数 f(x) (a2e)x 有三个不同的零点,则实数 a 的取值范围是2xe2A(e,) B(0,e) C1,e) D(0,)第卷本卷包括必考题和选考题两部分第 1321 为必考题,每个试题考生都必须作答第2
4、2第 24 题为选考题,考生根据要求作答二、填空题:本大题共 4 小题每小题 5 分13ABC 的内角 A,B ,C 的对边分别为 a,b,c 且 ac ,A ,则2ba 6B_14某校高二年级有 5 个文科班,每班派 2 名学生参加年级学生会选举,从中选出 4 名学生 进入学生会,则这 4 名学生中有且只有两名学生来自同一个班级的概率为_15设 x,y 满足约束条件 ,若 恒成立,则实数 a 的最大值为2341xy 2xya 9_16在双曲线 (a0,b0)中,A 1,A 2 是左、右顶点,F 是右焦点,B 是2xy 虚轴的上端点,若在线段 BF 上存在点 P,使得PA 1A2 构成以 A1
5、A2 为斜边的直角三角形,则双曲线离心率 e 的取值范围是_三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤17(本小题满分 12 分)已知 是等差数列, 是各项都为正数的等比数列,且nanba12,b 13,a 3b 556,a 5b 326()求数列 , 的通项公式;n()若 3x 对任意 nN恒成立,求实数 x 的取值范围2x1n18(本小题满分 12 分) 某校高二年级共有学生 1000 名,其中走读生 750 名,住宿生 250 名,现采用分层抽样的方法从该年级抽取100 名学生进行问卷调查根据问卷取得了这 100 名学生每天晚上有效学习时间(单位:分钟)的数据,按照以下区间分为八
6、组:0,30),30,60),60,90),90,120),得到频率分布直方图(部分)如图(4)()如果把“学生晚上有效时间达到两小时”作为是否充分利用时间的标准,对抽取的 100 名学生,完成下列 22 列联表;并判断是否有 95的把握认为学生利用时间是否充分与走读、住宿有关?利用时间充分 利用时间不充分 总计走读生 50住宿生 10总计 60 100()若在第组、第组、第组中共抽出 3 人调查影响有效利用时间的原因,记抽到“有效学习时间少于 60 分钟”的学生人数为 X,求 X 的分布列和数学期望19(本小题满分 12 分)在正三角形 ABC 中,E、F、P 分别是 AB、AC、BC 边上
7、的点,满足 AE :EBCF :FACP :PB1 :2,如图(5)将AEF 沿 EF 折起到A 1EF 的位置,使二面角 A1 一 EFB 成直二面角,连结 A1B、A 1P,如图(6)()求证:A 1E平面 BEP;()求二面角 BA1PE 的余弦值20(本小题满分 12 分)如图(7),已知抛物线 C: 2py (p0)的焦点2x为 F,过点 F 的直线 l 交抛物线 C 于 A,B 两点()当直线 l 的倾斜角是 45时,AB 的中垂线交 y 轴于点 Q(0,5),求 p 的值;()以 AB 为直径的圆交 x 轴于 M,N 两点,记劣弧MN的长度为 S,当直线 l 绕点 F 旋转时,求
8、 的最SAB大值21(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)lnxax 1 (a R)x()求函数 f(x)的单调递增区间;()当 a( ,1)时,若对任意 t2 ,3,在 x(0,t时,函数 f(x)的最小3值为 f(t),求实数 a 的取值范围请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分做答时请用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑22(本小题满分 10 分)选修 41:几何证明选讲如图(8),圆 O1 与圆 O2 相交于 A、B 两点,AB 是圆 O2 的直径,过 A 点作圆 O1 的切线交圆 O2 于点 E,并与 BO1 的延长线交于点P,
9、PB分别与圆 O1、圆 O2 交于 C,D 两点()求证:PAPD PEPC;()求证:ADAE23(本小题满分 10 分)选修 44:坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ( 为参数),曲线 C22x cosy in的参数方程为 ( 为参数),以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建2x cosy in立极坐标系()求曲线 C1 和曲线 C2 的极坐标方程;()已知射线 l1: (0 ,将射线 l1 顺时针旋转 得到射线 l2:6 ,且射线 l1 与曲线 C1 交于 O、P 两点,射线 l2 与曲线 C2 交于 O、Q 两点,6求OPOQ的最大值24(本小题满分
10、10 分)选修 45:不等式选讲设 f(x)xa,(aR)()当2x3 时,f(x)4 成立,求实数 a 的取值范围;()若存在实数 x,使得 f(xa)f (xa )2a1 成立,求实数 a 的取值范围新乡许昌平顶山 2016 届高三第二次调研考试理科数学参考答案16 ADCBDD 712 ADBCCD13 14 15 1634791051(,217解:()由题意, , 2 分4116adbq代入得 ,消 得 , 3 分42356dq4280, 是各项都为正数的等比数列, 2(7)0qnb2q所以 , 6 分3d1,32nna()记 8 分12nc10()3nnc所以 最小值为 , 9 分
11、n1所以 ,解得 或23x2,x1所以 . 12 分(,)18.解:(1)2 分K2= 5.556 4 分100(5015-2510)275254060由于 K23.841,所以有 95%的把握认为学生利用时间是否充分与走读、住宿有关6 分(2)设第 i 组的频率为 Pi(i=1,2,8), 则由图可知:P 1= 30= ,P 2= 30= 13000 1100 1750 4100,P 3= 30= ,可得:第 组 1 人,第组 4 人,第 组 10 人。8 分1300 10100则 X 的所有可能取值为 0,1,2,3,3510()(,),iCX035124()9C利用时间充分 利用时间不充
12、分 总计走读生 50 25 75住宿生 10 15 25总计 60 40 10010 分1221305050513 34 2(),(),()999CCCPXPXPX的分布列为:P 0 1 2 3X 249145909129152()03E(或由 X 服从超几何分布, 12 分()1)5EX19. 解:不妨设正三角形 ABC 的边长为 3 .(1)在图 5 中,取 BE 的中点 D,连结 DF AE EB=CF FA=1 2,AF=AD=2,而 A=600,ADF 是正三角形, 又:AE=DE=1,EFAD 在图 6 中,A 1EEF,BEEF , A1EB 为二面角 A1-EF-B 的平面角由
13、题设条件知此二面角为直二面角,A 1EBE .3 分又 BEEF=E, A1E平面 BEF,即 A1E平面 BEP 4 分(2)建立分别以 EB、EF、EA 1 为 x 轴、y 轴、z 轴的空间直角坐标系,则 E(0,0,0),A1(0,0,1),B(2,0,0),F(0, ,0), P (1, ,0),则 , 31(0)1(2,0)(1,30)BP设平面 A1BP 的法向量为 , (,0)PE 1nxyz由 平面 ABP 知, ,即1n,nBP1,30.令 ,得 , 8 分13x1,2yz1(,2)n设平面 A1PE 向量为 22(,)n由 平面 A1PE 知, ,即 可得 12,EP2(3
14、,10)n,22222131()cos, 4|()0()n所以二面角 B-A1P-E 余弦值是 12 分420.解:(1) 当 的倾斜角为 时, 的方程为(0,)2pFl5l2pyx设 得12(,)(,)AxyB2pyx220xp得 中点为 3 分121212, 3pAB3(,)D中垂线为 代入得 6 分AB3()yxp0x52yp2(2)设 的方程为 ,代入 得l2Pk2 0Pkx中点为121()yxkAB2(,)PDk令 8 分MDN2SABS到 轴的距离 xPEk10 分 221cos1DkkAB当 时 取最小值20ks的最大值为 故 的最大值为 .12 分3SAB321. 解:(1)
15、(x0)1 分22 211(1)()axaxafx令 ()gxa当 时, ,x(1,+)时,g(x)0 0f(x)单调递增,0() ()f0 时,由 x0,得 0,所以 x(1,+)时,g(x)()a0 0 f(x)单调递增,()f当 0 时, ,若 ,则a1()(gax1a2当 0 , x(1, ), 0, 单调递增,12f()fx当 a= ,f(x)在(0,+)上无递增区间,当 a1 时,x( ,1),f(x)0, 单调递增,121a()fx当 a1 时,x(0,1)时,f(x)0,f(x)单调递增.综上所述, a0 时,单调递增区间为(1,+);0 时,单调递增区间为(1, );21aa
16、= 时, 无单调递增区间;1a1 时, 单调递增区间为( ,1);21aa1 时, 单调递增区间为(0,1).5 分(2)由题知函数 221()() .aaxfx当 时, 0,于是 和 时,1,3a(0,1)x(,)a单调递减; 时, 单调递增;又因为()0,()fxf1(,)ax,ff要对任意实数 ,当 时,函数 的最小值为 只需要12a23t0,t()x(),ft即 ,解得(),fln12aa1l.,ln;27 分当 时, 在 上,恒有 ,有且仅12a21(),(),xaf(0,)()0,fx有 故 在 上单调递减,显然成立。8 分()0,f()fx0,当 时, 于是 和 时,12a112
17、,0,a1,ax1,x单调递减; 时, 单调递增;要对任意实数()0,()fxf (,)x(),()ff,当 时,函数 的最小值为 只需要 即3t,tft2(),af10 分11193ln()1ln2lnln2;aaa 令 9)l,ga()() ,)21g(所以 在 上单调递减,在 上单调递增减,g(a)()a12,32,13 ln2 ,所以此时恒定满足题意.gln( ) 综上所述: 。12 分21,a22.解:(1) 分别是O 2的割线 ,,PEB2 分AD又 分别是O 1的切线与割线,, 4 分2PCB由,得 5 分APE(2)连接 AC,DE, O 1的直径,是6 分09CB由(1)知,
18、 8 分,.PACEDABEAB 是 O 2的直径, 10 分,.23解:(1)曲线 的直角坐标方程为 ,所以 极坐标方程为1 2()4xy1C4cos曲线 的直角坐标方程为 ,所以 极坐标方程为 4 分2C22()4xy2sin(2)设点 极点坐标 ,即P1,4cos1cos点 极坐标为 即Q2(in)62in()6则 =12|4cosi(O 311cosicos)2.8 分8sin()6, ,0,25(,)6当 即 时, 取最大值 4.10 分2,63|OPQ24解:(1) 即 可得()4,fxaxa,故而 ,4xa12即 . 1,2(2) ()(),ffxax又 故而 ,,xa22a存在实数 ,使得 成立, 即可.()()1fxf21a; ;0,21,4a当 时 有 解 得 0,当 时 有 , 矛 盾 , 故 舍 去综上所述,实数 .+4,