1、江苏省扬州中学 2017-2018 学年 高三数学 10 月考2017 年 10 月 07 日一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分）1. 已知集合 ，且 ，则实数 的取值范围是 2|0Axa1Aa2. 设 ，其中 是虚数单位，则 2(1)(,R)iabiib3. 已知 为实数，直线 ， ，则“ ”是m1:lxy2:(3)10lmxy1m“ ”的 条件（请在“充要、充分不必要、必要不充分、既不充分也12/l不必要”中选择一个填空） 4. 抛物线 的焦点到双曲线 的渐近线的距离为_ _ 24yx218xy5. 若曲线 在点 处的切线平行于 轴,则 _ _.lnk(1,)k
2、xk6. 方程 有 个不同的实数根lg(2)x7. 设 、 是椭圆 的两个焦点，点 在椭圆上，且满足 ，1F2142yxP21PF则点 到 轴的距离为 P8. 在三角形 ABC 中， 的值为 CBABsin,7,5,120则9. 已知函数 的值域为 ，则 的取值范围是_ ()fxxab， ， 13， ba_10. 已知圆 过点 ，且圆心在 轴的正半轴上直线 被圆 所截得的C(1,0) :1lyxC弦长为 ，则过圆心且与直线 垂直的直线的方程为 2l11. 已知函数 在区间 上为增函数，且图象关于点 对称，sin()yx0,2(3,0)则 的取值集合为 12. 在矩形 中，已知 ，点 E 是 B
3、C 的中点，点 F 在 CD 上，若ABCD3,2AD则 的值是 . 3FE13. 已知定义在 上的函数 ，若函数 ，R2()fxa/()(),01gxfx在 处取得最小值，则负数 的取值范围为 0x14. 在直角坐标中 ，圆 ： ，圆 ： ，点 ，动点 、xOy1C28xy2C218xy,MA分别在圆 和圆 上，满足 ，则 的取值范围是 B12MAB|AB二、解答题（本大题共 6 小题，计 90 分）15.（本小题满分 14 分）已知函数 ，22sinifxx0,2（1 ）求 的值域；()f（2 ）若 的面积为 ，角 所对的边为 ，且 ， ，求ABC32Cc1()2fC7c的周长16.（本小
4、题满分 14 分）二次函数 图像与 轴交于 ， 两点，交直线 于 ，2(0)yxbxOA:lyxO两点，经过三点 ， ， 作圆 BOABC（1）求证：当 变化时，圆 的圆心在一条定直线上；（2 ）求证：圆 经过除原点外的一个定点C17.（本小题满分 14 分）已知 ， ，且 3(cos,in)2a(cos,in)2b0,3（1）求 的最值；|b（2 ）若 ，求实数 的取值范围3|kakbk18. （本小题满分 16 分）某建筑公司要在一块宽大的矩形地面(如图所示) 上进行开发建设，阴影部分为一公共设施建设不能开发，且要求用栏栅隔开(栏栅要求在一直线上 )，公共设施边界为曲线f (x)1ax 2
5、(a0)的一部分，栏栅与矩形区域的边界交于点 M、N，交曲线于点 P，设 P(t，f (t)（1 ）将OMN( O 为坐标原点)的面积 S 表示成 t 的函数 S(t)；（2 ）若在 t 处，S (t)取得最小值，求此时 a 的值及 S(t)的最小值1219.（本小题满分 16 分）已知椭圆 的离心率为 ，右焦点 ，左、右顶点分别2:1(0)xyCab12(1,0)F为 ， ，直线 过 点且与椭圆 交于 、 两点（点 在 轴上方） ，直线直线ABlFCPQx， 的斜率分别为 ， PQ1k2（1 ）求椭圆 的方程；C（2 ）若 ，求 的面积；1kAFP（3 ）是否存在常数 ，使得 ？若存在，求出
6、 的值；若不存在，请说明理12k由20.（本小题满分 16 分）设函数 有且仅有两个极值点 2()()xfaeR12,()x（1 ）求实数 的取值范围；（2 ）是否存在实数 满足 ？如存在，求 的极大值；如不存在，请说明231()fx()f理由A BO FPQxy高三数学 10 月考附加题21. 已知矩阵 ， 的逆矩阵 ，求 的特征值302Aa103AbA22. 在直角坐标系中，以原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系x取相同的单位长度已知曲线 （ 为参数）和曲线1325: 4tCy相交于 两点，求 中点的直角坐标2:sincosCAB、 A23. 抛掷甲，乙两枚质地均匀且四面
7、上分别标有 1，2，3，4 的正四面体，其底面落于桌面，记所得数字分别为 x，y 设 为随机变量，若 为整数，则 ；若 为小于 1xy0xy的分数，则 ；若 为大于 1 的分数，则 1（1 ）求概率 ；(0)P（2 ）求 的 分 布 列 ， 并 求 其 数 学 期 望 ()E24. 已知 ，定义 *,mnN(1)2(1)!nnmfm（1 ）记 ，求 的值；6()af1212a（2 ）记 ，求 所有可能值的集合mnbnb高三 10 月考参考答案1. 2. 3. 充分不必要 4.5. -1 6.2 7. 1a22538.359. 10. 11. ， ，1 12. 13.14. 2,430xy132
8、3 133,0)2,614.【 解析】 即为线段 的长设 ，则 |MABA12(,)(,)xyB218xy又 的中点 ，即 ，PQ(,)Nxy1212(,)xy则有 ，221 112)(3()4xx xy由条件， ，得 ，MAB1212xy所以 ，即 ，由于 ， ，23xy5()42ABMN51,2所以 4,6AB15. 解：（1 ） 1cos2cs1313() cos2incos22xxfx xx31sin2cosin246xx， ，故 0,x5,61(),42f（2 ）由已知， 由 ，得 ，所以 13sinC22abfC36ab由已知及余弦定理得, 故 ,从而 cos7ab21a25所以
9、的周长为 A5716. 解：（I）在方程 y=x2+bx 中令 y=0，y=x，易得 A（b，0） ，B（1 b，1b）设圆 C 的方程为 x2+y2+Dx+Ey=0，则 ，故经过三点 O，A，B 的圆 C 的方程为 x2+y2+bx+（b2）y=0，设圆 C 的圆心坐标为（x 0，y 0） ，则 x0= ，y 0= ， y0=x0+1，这说明当 b 变化时， （I）中的圆 C 的圆心在定直线 y=x+1 上（II）设圆 C 过定点（m，n） ，则 m2+n2+bm+（b2）n=0，整理得（m+n）b+m2+n22n=0，它对任意 b0 恒成立， 或故当 b 变化时， （I ）中的圆 C 经过
10、除原点外的一个定点坐标为（ 1，1） 17. 解答 (1)abcos2，|a b|2 |a|2|b| 22ab2 2cos24cos 2. cos .ab|a b| cos22cos 12cos令 tcos ，则 t1， 1 0.12 (t 12t) 12t2t 在 t 上为增函数 t ，12t 12，1 12 12t 12即所求式子的最大值为 ，最小值为 .12 12(2)由题设可得| kab| 23|akb| 2，又|a |b|1， abcos2，原式化简得 cos2 .1 k24k由 0 ，得 cos21， 1，3 12 12 1 k24k解得 k2 ，2 1 3 318.【 解析】(1
11、)y2ax，切线斜率是2 at，切线方程为 y(1 at 2)2 at(xt) 令 y0 ，得 x ，M ，1at21,0at令 x0，得 y1at 2，N(0 ，1 at 2)，OMN 的面积 S(t) .214at(2)S(t) ，2423(34atatt （ ）由 a0，t0，S(t) 0，得 3at210 ，即 t .1a当 3at21 0，即 t 时， S(t)0；当 3at210，即 0t 时，S (t)0.a13a当 t 时，S(t )有最小值已知在 t 处，S(t )取得最小值，故有 ，1213a2a .故当 a ，t 时，S( t)minS .4312241()3答：略19.
12、 解：（1 ） ， ，21,2ace2cb34分34yx椭 圆 方 程 为（2 ） ，10,2-kA） ，（ 2xyAP的 方 程 为直 线由 得 1342yx02721yxyx10分7183)7,( PAFPSP（3 ）设 ， ，直线 的方程为 ，1xy2(,)Qlxmy代入椭圆方程 ，得 ，243243)690y， ，所以 ，1226my129y121223()4y由 ， ， ， ，(,0)A(,)Bxxmy所以 ，1221kyx121123()()3yy故存在常数 ，使得 16分312k20. (1) ()xfxae显然 ， 是直线 与曲线 两交点的横坐标 012,2ya()xyge由
13、，得 列表：()0xge1x(,)1(1,)()0()gx max1()ge此外注意到：当 时， ；0x()0gx当 及 时， 的取值范围分别为 和 ,1,()gx10,e(,)于是题设等价于 ，故实数 的取值范围为 102ae2ea,)2e(2)存在实数 满足题设证明如下：a由(1)知， ， ，12x11()0xfxae故 ，故 112231()+xxf=aee11230xxe记 ，则 ，23()(0)xR2()xxR 于是， 在 上单调递减,1)又 ，故 有唯一的零点 2()03(x3x从而，满足 的 所以， 231()fe1 1234xea此时 ， ，23()4xfx23()xf又 ，
14、， ，而 ，0(1)0f1(0,)故当 时, .234ae231)fxfe极 大【附加题】1. 解：因为 A A1 302a 1 023 aba 1001所以 a 1， 23 ab 0 )解得 a 1，b 5 分23得 A ，3021则 A 的特征多项式 f() ( 3)( 1)| 3 0 2 1|令 f()0 ，解得 A 的特征值 11， 23 10 分2. 解：将 化为直角坐标方程为1C480xy将 化为直角坐标方程为2 2将直线方程代入 可得2yx380y解之可得 ， ，所以，12312421148yx所以，中点坐标为 4,63. 解：（1）依题意，数对（x ，y）共有 16 种，其中使
15、 为整数的有以下 8 种：xy（1 ， 1） ， （2，2） ， （3，3） ， （4 ，4） ， （2 ，1） ， （3，1 ） ， （4，1） ， （4，2 ） ，所以； 8(0)6P（2 ）随机变量 的所有取值为 ， ， ，0有以下 6 种：（1，2 ） ， （1 ，3） ， （1，4 ） ， （2，3 ） ， （2，4） ， （3 ，4） ，故 ；3()8有以下 2 种：（3，2 ） ， （4 ，3） ，故 ； 1()68P所以 的 分 布 列 为 ：，31()08284E答 ： 的 数 学 期 望 为 4. 解：（1）由题意知，f n(m)所以 am 2 分所以 a1a 2a 12C C C 63 4 分16 26 66（2 ）当 n1 时， bm( 1) mmf1(m) 则 b1b 21 6 分0， m 2， 1， m 1 )当 n2 时，b m又 mC m n nC ，mnn!m!(n m)! (n 1)!(m 1)!(n m)! m 1n 1所以 b1+b2b 2nnC C C C (1) nC 0 0n 1 1n 1 2n 1 3n 1 n 1n 1所以 b1+b2b 2n 的取值构成的集合为 1，0 10 分10 1P3828
