1、2016 年上海市高三二模数学填选难题解析2016-5-51. 虹口13.（理）假设某 10 张奖券中有一等奖 1 张，奖品价值 100 元；有二等奖 3 张，每份奖品价值 50 元；其余 6 张没有奖；现从这 10 张奖券中任意抽取 2 张，获得奖品的总价值 不少于其数学期望 的概率为 E【解析】数学期望 ，只要抽中一等奖或二等奖，总价值就会130520大于数学期望，其反面情况是没有抽中任何奖品， ；26103CP13.（文）设函数 （其中 ， ） ，若不等式 的解21()|xafa()3fx集为 ，则实数 的取值范围为 (,3【解析】若 ，结合图像可知，解集不可能01a出现 ， ，此时 递
2、增， ，xya3x ，即取值范围为 ；13(,314.（理）对任意 和 ， 恒,0),)x1,y226810xyax成立，则实数 的取值范围为 a【解析】根据题意，即 恒22168x成立，即求不等式右边的最小值，右边 2y，22 2216841()(1)yxyx而 即点 到点4()()x,y的距离的平方，结合图像可知，距离最小值 ，2d ；2(1)8a14.（文）在直角坐标平面，定点 、 和动点 满足 ，(1,0)A(,B(,)Mxy012OAB则点 构成的区域面积为 (,)Pxy【解析】据题意， 且 ，设点 ，01x2y(,)Pab即 ， ， ， ，axyb0,a02x点 构成的区域如图所示
3、，面积为 ；(,)P418.（理）已知点列 均在函数 上，点列 满(,)nA*)Nxya(,1)(,0)nB足 ，若 中任意连续三项能构成三角形三边，则 的范围为（ 1|nBb a）A. B. 5(0,)(,)25151(,)()22C. D. 31,33,【解析】 ，点 在线段 的中垂线上， 、1|nnAB(,)nAab1nB(,0)nB， ， ， 中任意连续三项能构成三角形的三边，1(,0)n2a21若 ， ，即 ，解得 ；若 ，即满足21nnb2a51(,)2aa， ，解得 ，综上，选 B；1nb251(,)18.（文）已知 上存在关于直线 对称的两点 、 ，则 等于（ 27yx0xyA
4、|）A. B. C. D. 55662【解析】可知直线 斜率为 1，点差得 ，AB2ABAByx ，中点坐标 ，直线AByx(0.,5)方程为 ，联立抛物线可解得， ， ，1Ax3B ，选 B；2|2ABkx2. 黄浦13.（文）有红、黄、蓝三种颜色，大小相同的小球各三个，在每种颜色的 3 个小球上分别标上号码 1、2、3，现任取出 3 个，它们的颜色与号码均不相同的概率是 【解析】取出的红、黄、蓝三球，若分别给它们编号 1、2、3，共有 种情况，3P；394PC13.（理）正整数 、 满足 ，若关于 、 方程组ab1abxy2403|1|yxx有且只有一组解，则 的最大值为 【解析】如图所示
5、， 共有 4 段，|1|yaxb斜率依次为 、 、 、 ，直线 斜率3203y为 ，结合图像可知，在 处，两图像有唯一交点，即2x， ， 最大值为 ；1401ab403aba1614.（理）已知数列 中，若 ， ，则满n12ik*1(,2,3)kkNi足 的 的最小值为 2iii【解析】根据题意，数列 为 ，na12322220,4,9,(),k个 个 个 个易知若 ，则 ， ， ，即 ；2iak2()ik()10k7718i18.（文）全集 ，集合 ，=,|,UxyRSU若 中的点在直角坐标平面内形成的图形关于原点、坐S标轴、直线 均对称，且 ，则 中元素个(2,3)数至少有（ ）A. 4
6、个 B. 6 个 C. 8 个 D. 10 个【解析】如图所示，元素个数至少 8 个；18.（理）若函数 的定义域与区间()lgsin()i2)sin(3)i(4)fxxx的交集由 个开区间组成，则 的值为（ ）0,1nA. 2 B. 3 C. 4 D. 5【解析】根据题意，要满足 ，在 上分别画sin()i2)sin(3)i(4)0xx,1出 、 、 和 的图像，结合图像可知，sin()yx2yyy当时，满足真数大于零，即有 个开区间， ；113(0,),(,),43444n【附】 在 上的图像，已按适当比例伸展；sin()i2)sin(3)i(4)yxx0,13. 杨浦13.（文）若关于
7、的方程 在 内恰有四个相异实根，则实x54()|xm(0,)数的取值范围为 m【解析】设 ，分区间讨54()|fxx论，当 ， ，当 ，0,119(,)，画出函数图像如图所示，当9()fx13x或 ，函数有最小值 ，当 ， ，36x()0f结合图像可知，要有四个交点， ；,m13.（理）若关于 的方程 在 内恰有三个相异实根，则实x54(4)|x(,)数的取值范围为 m【解析】本题和上题类似，分区间讨论，当 ，25(0,x，当 ， ，画1()9fx25(,)x9f出函数图象如图所示，当 ， ，当415(0x， ，要有三个交点， ；13x()6f 6,)m14. 课本中介绍了应用祖暅原理推导棱锥
8、体积公式的做法，祖暅原理也可用来求旋转体的体积，现介绍用祖暅原理求球体体积公式的做法：可构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，用这样一个几何体与半球应用祖暅原理（图 1），即可求得球的体积公式，请研究和理解球的体积公式求法的基础上，解答以下问题：已知椭圆的标准方程为 ，将此椭圆绕 轴2145xyy旋转一周后，得一橄榄状的几何体（图 2），其体积等于 【解析】构造模型如图，设 ，OHh则 ， ，245yAH245yS左， ， ，PQh右据祖暅原理 ；280(4)133V柱18.（理）已知命题：“若 、 为异面直线，平面 过直
9、线 且与直线 平行，则直线abab与b平面 的距离等于异面直线 、 的距离”为真命题；根据上述命题，若 、 为异面直线，且它们之间距离为 ，则空间中与 、 均异面且距离也均为 的直线有（ ）dabdA. 0 条 B. 1 条 C. 多于 1 条，但为有限条 D. 无数条【解析】构造边长为 的正方体，如图所示，满足、 为异面直线且它们之间距离为 ，以 的上abdb端点为圆心， 为半径，在上底面所在平面画圆，d可知该圆的切线除平行情况外，均满足与 、 均a异面且距离均为 ，所以有无数条，选 D；4. 奉贤13.（理）在棱长为 1 的正方体 中，ABC若点 是棱上一点，则满足 的点 的P2PP个数
10、【解析】假设 在 上，易得，即 ，必然存在AC31+2AC一点 ，使得 ；当然，如果愿意，也可以算出 点位置，设 ，那么P2ACPAx， ， ，即 ，解得 ，1x2Px212x0.5即为 中点，同理， 、 、 、 、 的中点也满足，共有 6 个；DBC14.（理）若数列 前 项和 满足 （ ， ） ，且满足nanS21n*nN，1ax单调递增，则 的取值范围是 nx【解析】 ， ，作差得 ，211nS21()1nS 142na， ，再作差得 ，即奇数项（除 外）是递增的等246a24na差数列，偶数项也是递增的等差数列，要满足全数列递增，只需 ，1234，1x代入 可得 ， ， ，可解得 ；2
11、1nS29ax31ax4xx本题需注意的是等式 右边有非零常数项， 是不满足数列一般规律的；1nS1a14.（文）若数列 满足 （ ， ） ， ， 单调递增，14nn*Nxna则 的取值范围是 x【解析】同上题，且无需考虑 是否特殊，同样要满足 ， ，代入1a1234a1x可得 ， ， ，可解得 ；142na6x340x17.（理）设 ， ， ，则以 为直径的圆面积为（ ,zC221zz2|1|z）A. B. C. D. 86【解析】 2221 112240()33zzzziz(3)i ，圆面积为 ，选 B；12| 418.（理）方程 （ ）有两个负实数解，则 的取值范围为（ ）9|5xbRb
12、A. B. C. D. 前三个都不正确(3,5)(.,)5.2,)【解析】设 ， ， 在 有两个不同解，作出图像如图，xt01|tt(01左图需满足 经过点 ，解得 ，右图需满足 与 相yb(,5)byxb25yx切，即 ， ，解得 ， ，选25x45.2(.,)B；18.（文）方程 （ ）有一个正实数解，则 的取值范围为（ ）9|3|5xbRbA. B. C. D. 前三个都不正确(5,)(.2,)5,)【解析】同上题，设 ， 在 有一个解，作出图像如图，左xt2|t(1图需满足 经过点 ，解得 ，右图需满足 经过点 ，解yb(0,5)byxb(1,4)得， ，选 A；3b(,3)5. 长宁
13、嘉定宝山青浦13.（理）甲、乙两人同时参加一次数学测试，共有 20 道选择题，每题均有 4 个选项，答对得 3 分，答错或不答得 0 分，甲和乙都解答了所有的试题，经比较，他们只有 2 道题的选项不同，如果甲最终的得分为 54 分，那么乙的所有可能的得分值组成的集合为 【解析】列举即可，假设答案均为 A，甲选 18A2B，得 54 分； 若乙选 20A，得 60 分； 若乙选 19A1C，得 57 分； 若乙选 18A2C，得 54 分； 若乙选 17A1B2C，得 51分； 若乙选 16A2B2C，得 48 分；集合为 ；48,517,6014.（文）对于函数 ，其中 ，若 的定义域与值域相
14、同，则非2()fxabx()fx零实数 的值为 a【解析】如图，若 ， ，定义域 ，值域 ，明020axb(,0,)ba0,)显不同， ，此时定义域 ，值域 ， ， ；0a0,ba0,4baba414.（理）已知 ，函数 （ ）的图像的两个端点分别为 、 ，0a()afx1,2xAB设 是函数 图像上任意一点，过 作垂直于 轴的直线 ，且 与线段 交于点M()fxMl，若 恒成立，则 的最大值是 N|1【解析】由已知可得 ， ，直(,)Aa(2,)aB线 ，设 ，:()2AByx,x则 ， ，13,Nxa13|2MNa，即 ，解得 ，即最大值为 ；|2M64264218.（理）已知函数 ，若存
15、在实数 、 、 、 满足3|log|03()sin()156xf1x234x，其中 ，则 取值范围是（ ）1234()fxfx234x34A. B. C. D. 60,9(5,7)(0,8)(5,)【解析】作出函数图像，由图可知， ， ， ，可设3132loglx12x3418x， ， ， ，选39xt4t(,6)24(9)8(5,72)ttB；此类型题在往年模考题中出现较多，要注意总结方法；6. 浦东13.（理）任意实数 、 ，定义 ，设函数 ，数ab0ab2()log)fxx列是公比大于 0 的等比数列，且 ，na61a12390()()()ffafff，则 2【解析】根据定义 ， ，设公
16、22log,1()log)0xfxx1()0fx比为 ，则 ， ， ，同理 ，以此类推，q51a7q57()faf48()faf，若 ，1239101()()()20ffffff1，0不符， ， ，解得 ；a121loga 4a13.（文）已知函数 ，数列 是公比大于 0 的等比数列，且满足 ，()fxn 61a，则 123910().()ffff1【解析】 ， ，设公比为 ，则 ， ，可得1()xxq57q，类推可得 ，57()0faf1239101()()()()faffaffafa即 ， ，解得 ；11a114.（理）关于 的方程 在 上解的个数是 x|sin|2x016,2【解析】分区
17、间讨论画出函数图像如图所示，由图可知，在 上共有 个,0162周期，除了 这个周期只有 1 个交点，其他每个周期内都有 2 个交点，个数为0,24031；14.（文）关于 的方程 在 上解的个数是 x1|sin|2x6,【解析】同上图，在 上共有 6 个周期，共有 个交点，个数为 11 个；, 118. 已知平面直角坐标系中有两个定点 、 ，如果对于常数 ，在已知函数(3,)E(,)F（ ）的图像上有且只有 6 个不同的点 ，使得等式|2|4yx,xP成立，那么 的取值范围是（ ）PEFA. B. C. D. 9(5,)9(,1)59(,1)5(5,1)【解析】分区间讨论函数，当 ， ，设 ，
18、42x4yx(,24)PxPEF；当 ， ，设 ，(3,26)(3,26)57xx0y(,)x；当 ， ，设 ，2,PEF xx,；作出该三段函数如右图所示，2()()4xx由图可知，当 时，直线 与函数 有 6 个交点，故选 C；1.8,yyPEF7. 闵行13.（理）设数列 的前 项和为 ， ，则使得nanS2|016|an*(,)anN恒成立的 的最大值为 1na【解析】作差可得 ，当1(|27|)nnS，206，当 ， ， ，当 ， 恒成na2712naa0n1na立，只要满足 即可， ，解得 ，即最大值为 ；140312620613.（文）设数列 的前 项和为 ， ，数列 为递增na
19、nS2|an*()Nna数列，则实数 的取值范围 【解析】作差得 ，当 ，12(|3|)nnS，2naa为递增数列，只需满足 ，即 ，解得 ；123a125a1(,)2a14.（理）若两函数 与 的图像有两个交点 、 ， 是坐标原点，yx2xABO是锐角三角形，则实数 的取值范围是 OAB【解析】分析函数可知，当 逐渐变大， 的变化趋势：钝角直角锐角直角aOAB钝角，只需确定 为直角三角形时， 的两个临界值； 如左图所示， 为OABaAOB直角，联立两个函数得 ， ， ，22310x213x123ax12y， ，解得 ；1212()axa220Bya 6 如右图所示， 为直角，则直线 ，联立
20、得AB:OAx2x，3(,)A代入 ，解得 ；综上所述， 为锐角三角形时， ；yxa23B63(,)a14.（文）若两函数 与 的图像有两个交点 、 ， 是坐标原点，yxa21xABO当 是直角三角形时，则满足条件的所有实数 的值的乘积为 OABa【解析】同上题， 或 ，乘积为 ；63318.（理）若函数 的图像向右平移 个单位后得到函数 的()2sinfx(0)()gx图像，若对满足 的 、 ，有 的最小值为 ，则 （ 1|4g1x212|x6）A. B. C. 或 D. 或36365【解析】 ， 或 ，不妨设 （设12|()|4fxg12()fxg12()fxg1()2fx其实也是一样的）
21、 ，且设 ，则 ， ，根据题意，1()2f1(0,)146， 或 ，sin()gx()sin265()sin(2)2 ，可解得 或 ，选 C，结合下图分析更直观；0318.（文）若函数 的图像向右平移 个单位后得到函数 的()2sinfx(0)2()gx图像，若对满足 的 、 ， 的最小值为 ，则 （ 1|4g1x21|x6）A. B. C. D. 635【解析】同上题，选 C；8. 普陀12. 如图所示，三个边长为 2 的等边三角形有一条边在同一直线上，边 上有 10 个不3BC同的点 、 、 ，记 （ ， ） ，则1P2102iiMABP*N1,0i.【解析】考查向量积几何意义，如右图，2
22、2|318iiMABPA ；110.8013. 设函数 ，记 ，若函数 有且仅有两个零()xafxf()gxf()gx点，则实数 的取值范围是 【解析】设 ，20()(1)xhxfah ，零点问题转化()gf为交点问题，即 与 的交点个数yx为 2，结合图像分析，当直线截距小于 2 时，一直会有两个交点，即 ， ；这也是往年普陀区模考旧题；a14. 已知 ，从集合 中选出 个数 ， ， ，使*nN1,23.,nk(,2)N1j2kj之同时满足两个条件： ； ，则称12.kjj1iijm(,)数组 为从 个元素中选出 个元素且限距为 的组合，其组合数记为 ，12,.kjjn ,kmnC例如根据集
23、合 可得 ，给定集合 ，可得 ,32,13C,2345,673,27【解析】理解题目意思，即求从 7 个元素中选出 3 个元素且限距为 2 的组合情况数量，直接枚举法，、 、 、 、 、 、 、 、1,35,61,3,461,7,5,46,7、 ，共 10 个，即 ；273,270C18. 对于正实数 ，记 是满足下列条件的函数 构成的集合，对于任意aaM()fx且12,xR，都有 成立，下列结论中正确的是（ 212121()()xfxfa）A. 若 ， ，则1)af 2ag12(afgxMB. 若 ， ，且 ，则1(xM2()x)012()afC. 若 ， ，则1)af2a 1(fxD. 若
24、 ， ，且 ，则()g1212()afgx【解析】根据题意，若 ，则满足 ，1afx121()fx若 ，则满足 ，两个不等式相加可得，2()agx221()()(gxa，观察可得，函数11221121) )fxf x，故选 C；12()afxM9. 徐汇松江金山13.（理）定义在 上的奇函数 ，当 时， ，则R()fx012log()0,1)()|3|xf关于 的函数 （ ）的所有零点之和为 （结果用 表示）x()Ffa1 a【解析】画出 图像如图所示，零点依次为 、 、 、 、 ，由图像及对称性()fx1x234x5可知， ， ，零点之和为 ， ， ；126453123log()a312ax
25、13.（文）有一个解三角形的题因纸张破损有一个条件不清，具体如下“在 中，角ABC、A、 所对的边分别为 、 、 ，已知 ， ， ，求角 ；”经推BCabc3a45B断破损处的条件为三角形一边的长度，且答案提示 ，试将条件补充完整60A【解析】根据题意，应填 或 的长度，由正弦定理 ，可解得 ，但sinib2若根据“ ， ， ”，可算得 或 ，不符题意；由余弦定理，3a45B2b6012，可解得 ，即填 ；2231cosbccAc62c14.（理）对于给定的正整数 和正数 ，若等差数列 ， ， ， 满足nR1a23，21naR则 的最大值为 2341.nnSa【解析】根据题意， ，不妨设 ，2
26、1()d1sinaR，1cosad，(in)2nR131()3)(2)cosin)2SndR，利用三角换元、辅助角公式，简化转换关系；020()csR14.（文）定义在 上的奇函数 ，当 时， ，则R()fx12log()0,1)()|3|xf关于 的函数 （ ）的所有零点之和为 （结果用 表示）x()Ffa01 a【解析】同 13（理） ；18. 设 、 是关于 的方程 的两个不相等的实数根，那么过两点12x220mx、 的直线与圆 的位置关系是（ ）(,)Ax(,)B(1)()1yA. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 随 的变化而变化m【解析】 ， ， ，一般式为40(,)3m12AB
27、kxm211:()ABlyxx，21:ABlxyx21(,)| | |ABl md2|， ， ，故选 C；4222241dmm25(,)920,1)d10. 闸北9.（理）如图， 、 是直线 上两点， ，ABl2AB两个半径相等的动圆分别与 相切于 、 两点，是这两个圆的公共点，则圆弧 、圆弧CC与线段 围成图形面积 取值范围是 S【解析】本题是往年高考题，理解题意后，如图，确定两个极限位置： 当两个动圆无限变大， 趋近于零； 当两动圆刚好相切， 有最大值，最大值面积为一个长方形减去SS一个半圆，即 ；取值范围为 ；2(0,29.（文）已知函数 ，则关于 的方程 的2cos0.5,|1()xf
28、xx2()320fxf实根的个数是 个【解析】由 或2()3()2fffx，作出 图像，如图所示，()1fxx有 2 个交点， 有 3 个交点，共 5 个实根；()f10.（理）设函数 ，对任意 ，213,)2x2()4()4(xfmffm恒成立，则实数 的取值范围是 【解析】依题意得， ，去括号移项化简得，2222()1()(14(1)xxm，设 ， ，结合图像得21341mx2(0,3tx2()1gttmin()gt， ，解得 ，即 ；5()g2544m3,210.（文）设函数 ，对任意 ， 恒成立，则实数()fx1,)x()(0fxmfm的取值范围是 【解析】依题意得， ，化简得 ，分类
29、讨论： 当1()0mxx21x， ，不能恒成立； 当 ，则 ，即 ，02m22m解得 ， ，即 ；1(,1)13. 已知数列 的前 项和为 ，对任意正整数 ， ，则下列关于 的论nanSn13naSna断中正确的是（ ）A. 一定是等差数列 C. 可能是等差数列，但不会是等比数列B. 一定是等比数列 D. 可能是等比数列，但不会是等差数列【解析】 ， ， ，即 ，13naS1na13nna14na(2)，2数列 为 、 、 、 、，当 ，所有项都为 ，为等差数列，当n11248100，既不可能是等差数列，也不可能为等比数列，故选 C；10a11. 静安13.（理）已知数列 满足 ， （ ） ，
30、则数列na18131log,2,nnak*Nna的前 项和 的最大值为 nS【解析】若 为偶数， ，即偶数+123+133loglog1n na ana项成等差，公差为 ；若 为奇数，13log+132lognnaannaa即奇数项成等比，公比为 ； ，奇数项均为正，但越来越小，0.5(9)4,2+1nnk偶数项从 开始小于零，且从 开始，相邻的两项之和总为负，最大值10a10a924(Sa；6813579)a(3210)(827931)2714. 设 的实系数不等式 对任意 恒成立，则 x(xb,xab【解析】当 ，可得 ；当 ，若 取一个极大的正数，0xb0ax明2(3)a显不能恒成立，
31、； 原不等式等价于 ，结合数轴标根a3()()0bxa法，当 时，对任意 ， 恒成立，b0,)xx；29a18.（文）已知实数 ， 满足 ，则xy23x的最大值为（ ）|4|zxyA. 17 B. 15 C. 9 D. 5【解析】画出可行域如图阴影部分所示，分别代入 3 个顶点，可知当 ， 时，目标函3xy数 取到最大值为 17，故选 A；|4|zxy18.（理）袋中装有 5 个同样大小的球，编号为 1、2、3、4、5，现从该袋内随机取出 3 个球，记被取出的球的最大号码数为 ，则 等于（ ）EA. 4 B. 4.5 C. 4.75 D. 5【解析】 ， ， ； ，选 B；3510PC2345
32、10P2453610CP4.E12. 崇明13.（文）矩形 中， ， ， 为矩形内一点， ，设 ，ABD21A1AP（ ），则 取得最大值时，角 的值为 P,R3【解析】如图建系，则 ， ，(2,0)(,1)设 ， ， ，(cos,in)cos，sin23sinco，最大值为 2，此时 ；2()6313.（理）矩形 中，已知 ， ， 为矩形内部一点，且 ，若ABCD1ADP1APP（ ），则 的最大值是 ,R2【解析】同 13（文），最大值为 2；14.（文） 是定义在 上的偶函数，且对任意 ， ，当 ，()fx xR(4)(ffx4,6， 在区间 上的反函数为 ，则 ()21xf()f2,0
33、1()f1(9)f【解析】当 时， ；当 时，根据偶函数性质，0,4()xfx2,0；根据反函数相关性质，即 ，解得 ，4()xfx 41x23logx ；1293logf14.（理）已知 是定义在 上的函数，且 ，则函()fx1,)|2|()0.5()2xff数 在区间 上的零点个数为 2y06【解析】作出函数图像如图所示，要求函数 的零点，即 ，()3xf3()2fx函数 与函数 的交点个数，yy如图归纳可知，在区间 上有 个交(1,)n点，在 上有 11 个交点，即零点个数为 11 个；(,206)18. 函数 的图像如图所示，在区间 上可找得到 （ ）个不相同的数 、yfx,abn21x、 ，使得 ，则 取值范围是（ ）2xn12()()nfxfxA. B. C. D. 3,4,33,452,34【解析】设 ，结合题意， 即 与 的交点12()()nfxfxfkn()yfxk个数，如图所示，可能有 2 个交点、3 个交点或 4 个交点，故选 D；（2016-5-5 凌晨 3 点，终于完成_）
