1、第 1 页（共 12 页）（2016临朐县一模）已知关于 x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根（1）求 m 的取值范围；（2）当 时，求 的值【考点】根的判别式菁优网版权所有【分析】在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件：二次项系数不为零；在有两个不相等的实数根下必须满足=b 24ac0；二次根式的被开方数是非负数另外，对第（2）依据： = ，小题利用转换解出所求的值，要注意验证所求结果是否符合题意【解答】解：（1）根据题意列出方程组解之得 0m1 且 m （2） = =112=9 =3又由（1）得 m1 且 m所以 0因此应舍去 3所以 =3【点评】本题考查了一元二次方程根的
2、判别式的应用切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件注意：验证所求结果是否符合题意必不第 2 页（共 12 页）可少（2016 秋阿荣旗期末）如图所示，学校准备在教学楼后面搭建一个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为 19m） ，另外三边利用学校现有总长 38m 的铁栏围成（1）若围成的面积为 180m2，试求出自行车车棚的长和宽；（2）能围成的面积为 200m2 自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由【考点】一元二次方程的应用菁优网版权所有【专题】几何图形问题【分析】 （1）利用长方形的周长表示出各边长，即可表示出矩形面积，求出即可；（2
3、）利用长方形的面积列方程，利用根的判别式解答即可【解答】解：（1）设 AB=x，则 BC=382x；根据题意列方程的，x（382x）=180，解得 x1=10， x2=9；当 x=10，382x=18（米） ，当 x=9，382x=20（米） ，而墙长 19m，不合题意舍去，答：若围成的面积为 180m2，自行车车棚的长和宽分别为 10 米，18 米；（2）根据题意列方程的，x（382x）=200，整理得出：x 219x+100=0；=b 24ac=361400=390，第 3 页（共 12 页）故此方程没有实数根，答：因此如果墙长 19m，满足条件的花园面积不能达到 200m2【点评】此题主
4、要考查了一元二次方程的应用，首先要注意读懂题意，正确理解题意，然后才能利用题目的数量关系列出方程农场要建一个长方形的猪场，如图，有一段 5 米长的围墙可利用，其余部分用60 米长的木栏围成若养猪场的面积为 200 平方米，求养猪场的各边长【考点】一元二次方程的应用菁优网版权所有【专题】几何图形问题【分析】如图，设 BC=x，则 AB= 根据矩形的面积公式得到x =200，然后利用公式法解该一元二次方程【解答】解：如图，设 BC=x，则 AB= ，依题意 得 x =200，整理 得 2x265x+400=0，解得 x= ，或 x= 则 = ，或 = 答：该养猪场的长为 米，宽为 米【点评】本题考
5、查了一元二次方程的应用此题利用养猪场的周长为定值表示第 4 页（共 12 页）出其长、宽，然后利用矩形的面积公式列出方程来解答问题（2014 秋平川区校级期中）试证明关于 x 的方程（a 28a+20）x 2+2ax+1=0 无论a 取何值，该方程都是一元二次方程【考点】一元二次方程的定义菁优网版权所有【专题】证明题【分析】根据一元二次方程的定义，只需证明此方程的二次项系数 a28a+20 不等于 0 即可【解答】证明：a 28a+20=（a 4） 2+44，无论 a 取何值，a 28a+204，即无论 a 取何值，原方程的二次项系数都不会等于 0，关于 x 的方程（a 28a+20）x 2+
6、2ax+1=0，无论 a 取何值，该方程都是一元二次方程【点评】一元二次方程有四个特点：（1）只含有一个未知数；（2）含未知数的项的最高次数是 2；（3）是整式方程；（4）将方程化为一般形式ax2+bx+c=0 时，应满足 a0要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理如果能整理为 ax2+bx+c=0（a0）的形式，则这个方程就为一元二次方程一元二次方程有四个特点：（1）只含有一个未知数；（2）含未知数的项的最高次数是 2；（3）是整式方程；（4）将方程化为一般形式 ax2+bx+c=0 时，应满足 a0要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程
7、，若是，再对它进行整理如果能整理为ax2+bx+c=0（ a0 ）的形式，则这个方程就为一元二次方程一元二次方程有四个特点：（1）只含有一个未知数；（2）含未知数的项的最高次数是 2；（3）是整式方程；（4）将方程化为一般形式 ax2+bx+c=0 时，应第 5 页（共 12 页）满足 a0要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理如果能整理为 ax2+bx+c=0（a0）的形式，则这个方程就为一元二次方程2016 秋桑植县期中）如图已知直线 AC 的函数解析式为 y= x+8，点 P 从点 A开始沿 AO 方向以 1 个单位 /秒的速度运动，点 Q 从 O
8、点开始沿 OC 方向以 2 个单位/秒的速度运动如果 P、Q 两点分别从点 A、点 O 同时出发，经过多少秒后能使POQ 的面积为 8 个平方单位？【考点】一元二次方程的应用菁优网版权所有【分析】根据直线 AC 的解析式可得出点 A、C 的坐标，设运动时间为 t，则PO=|t6|，OQ=2t，根据三角形的面积即可得出关于 t 的一元二次方程，解方程即可得出结论【解答】解：直线 AC 的函数解析式为 y= x+8，点 C（0，8） ，点 A（6，0） 设运动时间为 t，则 PO=|t6|，OQ=2t ，根据题意，得：2t|t 6|=16，解得：t 1=2，t 2=4，t 3=3 （舍去） ，t
9、4=3+ 经过 2 秒、4 秒或 3+ 秒后能使POQ 的面积为 8 个平方单位第 6 页（共 12 页）【点评】本题考查了一元二次方程的应用，根据三角形的面积找出关于 t 的一元二次方程是解题的关键（2014江西模拟）等腰ABC 的直角边 AB=BC=10cm，点 P、Q 分别从 A、C 两点同时出发，均以 1cm/秒的相同速度作直线运动，已知 P 沿射线 AB 运动，Q沿边 BC 的延长线运动， PQ 与直线 AC 相交于点 D设 P 点运动时间为 t，PCQ 的面积为 S（1）求出 S 关于 t 的函数关系式；（2）当点 P 运动几秒时，S PCQ =SABC ？（3）作 PEAC 于点
10、 E，当点 P、Q 运动时，线段 DE 的长度是否改变？证明你的结论【考点】一元二次方程的应用；全等三角形的应用菁优网版权所有【专题】几何动点问题；压轴题【分析】由题可以看出 P 沿 AB 向右运动，Q 沿 BC 向上运动，且速度都为1cm/s，S= QCPB，所以求出 QC、PB 与 t 的关系式就可得出 S 与 t 的关系，另外应注意 P 点的运动轨迹，它不仅在 B 点左侧运动，达到一定时间后会运动第 7 页（共 12 页）到右侧，所以一些问题可能会有两种可能出现的情况，这时我们应分条回答【解答】解：（1）当 t 10 秒时，P 在线段 AB 上，此时 CQ=t，PB=10t当 t10 秒
11、时，P 在线段 AB 得延长线上，此时 CQ=t，PB=t10 （4 分）（2）S ABC = （5 分）当 t10 秒时，S PCQ =整理得 t210t+100=0 无解（6 分）当 t10 秒时，S PCQ =整理得 t210t100=0 解得 t=55 （舍去负值） （7 分）当点 P 运动 秒时，S PCQ =SABC （8 分）（3）当点 P、Q 运动时，线段 DE 的长度不会改变证明：过 Q 作 QMAC，交直线 AC 于点 M易证APEQCM，AE=PE=CM=QM= t，四边形 PEQM 是平行四边形，且 DE 是对角线 EM 的一半又EM=AC=10 DE=5当点 P、Q
12、运动时，线段 DE 的长度不会改变同理，当点 P 在点 B 右侧时，DE=5综上所述，当点 P、Q 运动时，线段 DE 的长度不会改变第 8 页（共 12 页）【点评】做此类题应首先找出未知量与已知量的对应关系，利用已知量来表示未知量，许多问题就会迎刃而解（2016 秋阿荣旗期末）如图所示，学校准备在教学楼后面搭建一个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为 19m） ，另外三边利用学校现有总长 38m 的铁栏围成（1）若围成的面积为 180m2，试求出自行车车棚的长和宽；（2）能围成的面积为 200m2 自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由【考点】一元
13、二次方程的应用菁优网版权所有【专题】几何图形问题【分析】 （1）利用长方形的周长表示出各边长，即可表示出矩形面积，求出即可；第 9 页（共 12 页）（2）利用长方形的面积列方程，利用根的判别式解答即可【解答】解：（1）设 AB=x，则 BC=382x；根据题意列方程的，x（382x）=180，解得 x1=10， x2=9；当 x=10，382x=18（米） ，当 x=9，382x=20（米） ，而墙长 19m，不合题意舍去，答：若围成的面积为 180m2，自行车车棚的长和宽分别为 10 米，18 米；（2）根据题意列方程的，x（382x）=200，整理得出：x 219x+100=0；=b 2
14、4ac=361400=390，故此方程没有实数根，答：因此如果墙长 19m，满足条件的花园面积不能达到 200m2【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，首先要注意读懂题意，正确理解题意，然后才能利用题目的数量关系列出方程（2016 春启东市校级期中）欣欣服装店经销某种品牌的童装，进价为 50 元/件，原来售价为 110 元/ 件，每天可以出售 40 件，经市场调查发现每降价 1 元，一天可以多售出 2 件 （1）若想每天出售 50 件，应降价多少元？（2）如果每天的利润要比原来多 600 元，并使库存尽快地减少，问每件应降价多少元？（利润=销售总价 进货价总价）【考点】一元二次方程的应用菁
15、优网版权所有【分析】 （1）降低 1 元增加 2 件，可知若想每天出售 50 件，降低（5040）2元，列出算式即可第 10 页（共 12 页）（2）利润= 售价进价，根据一件商品的利润乘以销售量得到总利润，列出方程求解即可【解答】解：（1） （5040）2=102=5（元） 答：应降价 5 元；（2）设每件商品降价 x 元（110x 50） （40 +2x）=40 （110 50）+600 ，解得：x 1=10， x2=30，使库存尽快地减少，x=30 答：每件应降价 30 元【点评】考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意找到等式两边的平衡条件，列出方程，解答即可（2016 秋高邮市
16、月考）如图，在ABC 中，B=90，AB=12cm，BC=24cm ，动点 P 从点 A 开始沿着边 AB 向点 B 以 2cm/s 的速度移动（不与点 B 重合） ，动点 Q 从点 B 开始沿着边 BC 向点 C 以 4cm/s 的速度移动（不与点 C 重合） 若P、Q 两点同时移动 t（s） ；（1）当移动几秒时，BPQ 的面积为 32cm2（2）设四边形 APQC 的面积为 S（cm 2） ，当移动几秒时，四边形 APQC 的面积第 11 页（共 12 页）为 108cm2？【考点】一元二次方程的应用菁优网版权所有【分析】 （1）找出运动时间为 t 秒时 PB、BQ 的长度，根据三角形的
17、面积公式结合BPQ 的面积为 32cm2，即可得出关于 t 的一元二次方程，解之即可得出结论；（2）用ABC 的面积减去 BPQ 的面积即可得出 S，令其等于 108 即可得出关于 t 的一元二次方程，解之即可得出结论【解答】解：（1）运动时间为 t 秒时（0t 6） ，PB=AB 2t=122t，BQ=4t，S BPQ = PBBQ=24t4t2=32，解得：t 1=2，t 2=4答：当移动 2 秒或 4 秒时，BPQ 的面积为 32cm2（2）S=S ABC SBPQ = ABBC（24t 4t2）=4t 224t+144=108，解得：t=3答：当移动 3 秒时，四边形 APQC 的面积
18、为 108cm2【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及三角形的面积，根据三角形的面积公式找出关于 t 的一元二次方程是解题的关键某人将 2000 元按一年期存入银行，到期后支取 1000 元，剩下 1000 元连同利息又全部按一年定期存入，若存款利率不变，到期后可得本息共 1320 元，求这种存款方式的利率【考点】一元二次方程的应用菁优网版权所有第 12 页（共 12 页）【分析】设这种存款方式的利率为 x，根据利息= 本金（1+利率）即可得出关于（1+x）的一元二次方程，解之即可得出结论【解答】解：设这种存款方式的利率为 x，根据题意得：（1+x）2000（1+x）1000=1320 ，整理得：100（1+x） 250（1+x）66=0 ，解得：1+x=1.1 或 1+x=0.6（舍去） ，x=10%答：这种存款方式的利率为 10%【点评】本题考查了一元二次方程的应用，根据利息=本金（1+利率）列出关于（1+x）的一元二次方程是解题的关键
