1、*2016 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：一、 选择题：本大题共 12 小题。每小题 5 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。2（ 1）已知集合 A 1， 2， 3， B x | x 9 ，则 A B（ A ） 2， 1， 0， 1， 2， 3 （ B） 2， 1， 0， 1， 2 （ C） 1 ， 2， 3 （ D） 1 ， 2（ 2）设复数 z 满足 z i 3 i ，则 z =（ A ） 1 2i （ B） 1 2i （ C） 3 2i （ D） 3 2i(3) 函数 y =Asin( x ) 的部分图像如图所示，则（ A ） y 2sin(2 x )
2、 （ B） y 2sin(2 x )6 3（ C） y 2sin(2 x+ ) （ D） y 2sin(2 x+ )6 3(4) 体积为 8 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（ A ） 12 （ B） 323 （ C） （ D）(5) 设 F 为抛物线 C： y2=4x 的焦点，曲线 y= 2=4x 的焦点，曲线 y=kx（ k0）与 C 交于点 P， PF x 轴，则 k=（ A ） 12（ B） 1 （ C） 32 （ D） 222- 2x- 8y+13=0 的圆心到直线 ax+ y- 1=0 的距离为 1，则 a= (6) 圆 x +y（ A ） - 43（ B） - 3
3、4（ C） 3 （ D） 2(7) 如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ A ） 20 （ B） 24 （ C） 28 （ D） 32(8) 某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为 40 秒 .若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率为（ A ） 710（ B） 58（ C） 38（ D） 310(9) 中国古代有计算多项式值得秦九韶算法， 右图是实现该算法的程序框图 执行该程序框图， 若输入的 a 为 2， 2， 5，则输出的 s=（ A ） 7 （ B） 12 （ C） 17 （ D） 34lgx 的定义域和
4、值域相同的是 (10) 下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10*（ A ） y= x（ B） y=lg x（ C） y=2x（ D） y 1x(11) 函数 f (x) cos2 x 6cos( x) 的最大为2（ A ） 4（ B） 5 （ C） 6 （ D） 7(12) 已知函数 f(x )（ xR）满足 f(x)=f(2-x)，若函数 y=|x2-2x-3| 与 y= f( x) 图 像的交点为（ x1,y1） ， (x2,y2)， ，m（ xm,ym） ， 则 xi=i 1(A)0 (B) m (C) 2m (D) 4m二填空题： 4 小题，每小题 5 分 .(13) 已知向量
5、a=(m,4)， b=(3,-2) ，且 a b，则 m=_.x y 1 0x y 3 0，则 z= x-2y 的最小为 _ (14) 若 x， y 满足约束件x 3 0（ 15） ABC 的内角 A， B， C 的对分 别为 a， b， c， 若 cos 4 5A ， cos C ， a=1， 则 b=_.5 13（ 16）有三张卡片，分别写有 1 和 2， 1 和 3， 2 和 3. 甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说 ： “我 与 乙 的 卡 片 上 相 同 的 数 字 不 是 2”， 乙 看 了 丙 的 卡 片 后 说 ： “我与丙的卡片上相同的数字不是 1”， 丙说 ：
6、 “我 的 卡 片 上 的 数 字 之 和 不 是 5”， 则 甲 的 卡 片 上 的 数 字 是 _.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程演步（ 17） (本小题满分 12 分 )等差数列 an 中， a3 a 4 4, a5 a 7 6（ I ）求 an 的通项公式；(II)bn = an ，求数列 bn 的前 10 项和，其中 x 表示不超过 x 的最大整数，如 0.9=0,2.6=2（ 18） (本小题满分 12 分 )某险种的基本保为 a（单位：元） ，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保与其上年度出险次数的关联如下：*随机调查了该险种的 200 名续保人在一年内的
7、出 险情况，得到如下计 表 ：*（ I ）记 A 为 事 件 ： “一 续 保 人 本 年 度 的 保 费 不 高 于 基 本 保 费 ” 。求 P(A) 的估计值；(II) 记 B 为 事 件 ： “一 续 保 人 本 年 度 的 保 费 高 于 基 本 保 费 但 不 高 于 基 本 保 费 的 160”.求 P(B)的估 计值；（ III ）求续保人本年度的平均保费估计值 .（ 19） （ 本 小 题 满 分 12 分）如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O，点 E、F 分别在 AD ， CD 上，AE =CF，EF 交 BD 于点 H，将 DEF 沿 EF 折到 D
8、 EF 的位置 .（ I ）证明： AC HD ；(II) 若 5AB 5, AC 6, AE ,OD 2 2 , 求五棱锥 D ABCEF 体4积 .（ 20） （ 本 小 题 满 分 12 分）已知函数 f (x) ( x 1)ln x a(x 1).（ I ）当 a 4 时，求曲线 y f (x) 在 1, f (1) 处的切线方程；(II) 若当 x 1, 时， f ( x)0 ，求 a 的取值范围 .（ 21） （ 本 小 题 满 分 12 分）2 2x y已知 A 是椭圆 E：4 3的 左 顶 点 ， 斜 率 为 k k0 的直线交 E 于 A， M 两 点 ， 点 N 在 E 上
9、 ， MA NA.1（ I ）当 AM AN 时，求 AMN 的面积(II) 当 2 AM AN 时，证明： 3 k 2 .请考生在第 2224 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 .（ 22） （ 本 小 题 满 分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲*如图，在正方形 ABCD 中，E ， G 分别在边 DA， DC 上（不与端点重合） ，且 DE= DG ，过 D 点作 DF CE，垂足 为 F.（）证明： B， C， G， F 四点共圆 ；（）若 AB=1， E 为 DA 的中点，求四边形 BCGF 的面积 .（ 23）（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方
10、程在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为 2 2(x + 6) + y = 25 .（）以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求 C 的极坐标方程；（）直线 l 的参数方程是 x = t cos ,?（ t 为参数）， l 与 C 交于 A， B 两点， AB = 10 ,求 l 的斜率 .?y = t sin ,?（ 24） （ 本 小 题 满 分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知函数 1 1f (x) = x- + x + ， M 为不等式 f (x) 2 的解集 .2 2（）求 M；（）证明：当 a， b? M 时， a + b 1 + ab .*2016 年普
11、通高等学校招生全国统一考试文科数学答案第卷一 . 选择题（ 1） 【 答 案 】 D （ 2） 【 答 案 】 C (3) 【答案】 A (4) 【答案】 A(5) 【 答案 】 D (6) 【答案】 A (7) 【答案】 C (8) 【答案】 B(9) 【 答案 】 C (10) 【答案】 D (11)【答案】 B (12) 【答案】 B二填空题(13)【 答案 】 6 (14)【答案】 5 （ 15） 【 答 案 】 2113 （ 16） 【 答 案 】 1 和 3三、解答题（ 17） (本小 题满分 12 分 )【答案】（） 2n 3a ； （ ） 24.n5【解析】试题分析： ( )
12、根据等差数列的性质求 a1 ， d ，从而求得 an ； （ ） 根 据 已 知 条 件 求 bn ，再求数列 bn 的前 10 项和.试题解析： ( ) 设数列 2a 的公差为 d，由题意有 2a1 5d 4, a1 5d 3，解得 a1 1,d ，n5所以 an 的通项公式为2n 3a .n5（）由 ( ) 知 2n 3b ，n5当 n=1,2,3 时， 2n 31 2,b 1；n5当 n=4,5 时， 2 2 3 3, 2nb ；n5*当 n=6,7,8 时， 2n 33 4,b 3；n5*当 n=9,10 时， 2n 34 5,b 4 ，n5所以数列 b 的前 10 项和为 1 3 2
13、 2 3 3 4 2 24.n考点：等茶数列的性质，数列的求和 .【结束】（ 18） (本小 题满分 12 分 )【答案】（）由 60 50200求 P(A) 的估计值；（）由 30 30200求 P(B) 的 估 计 值 ； （ 错误！未找到引用源。 ）根据平均值得计算公式求解 .【解析】试题分析：试题解析： ( ) 事件 A 发生当且仅当一年内出险次数小于 2. 由所给数据知，一年内险次数小于 2 的频率为60 50200 0.55 ，故 P(A) 的估计值为 0.55.（）事件 B 发生当且 仅当一年内出险 次数大于 1 且小于 4. 由是给数据知，一年内出 险次数大于 1 且小于4 的
14、频率为 30 30200 0.3 ，故 P(B) 的估计值为 0.3.( ) 由题所求分布列为：保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a频率 0.30 0.25 0.15 0.15 0.10 0.05调查 200 名续保人的平均保费为0.85a 0.30 a 0.25 1.25a 0.15 1.5a 0.15 1.75a 0.30 2a 0.10 1.1925a ，因此，续保人本年度平均保费估计值为 1.1925a.考点：样本的频率、平均值的计算 .【结束】（ 19） （ 本 小 题 满 分 12 分）【答案】（）详见解析； （） 694 .【解析】试题分析： （）证 AC
15、/ / EF.再证 AC / /HD .（）证明 OD OH .再证 OD 平面 ABC.最后呢五棱*锥 D ABCEF 体积 .试 题 解 析 ： （ I）由已知得， AC BD , AD CD.又由 AE CF 得 AE CFAD CD ，故 AC / /EF .由此得 EF HD , EF HD ，所以 AC / /HD . .（ II ）由 EF / /AC 得 1 .OH AEDO AD 4由 AB 5, AC 6 得 2 2 4.DO BO AB AO所以 OH 1,D H DH 3.于是 2 2 (2 2)2 12 9 2 ,OD OH D H 故 OD OH .由（ I）知 A
16、C HD ，又 AC BD, BD HD H ，所以 AC 平面 BHD ,于是 AC OD .又由 OD OH, AC OH O ，所以， OD 平面 ABC.又由 EF DHAC DO得 EF 92 .五边形 ABCFE 的面积 1 6 8 1 9 3 69 .S2 2 2 4所以五棱锥 D ABCEF 体积 V1 69 23 22 2 .3 4 2考点：空间中的线面关系判断，几何体的体积 .【结束】（ 20） （ 本 小 题 满 分 12 分）【答案】（） 2x y 2 0.； （ ） ,2 . .【解析】试 题 分 析 ： （ ） 先求定义域， 再求 f (x)， f (1)， f (
17、1)， 由 直 线 方 程 得 点 斜 式 可 求 曲 线 y f ( x) 在 (1, f (1)处的切线方程为 2x y 2 0.（）构造新函数 ( ) ln ( 1)a xg x xx 1，对实数 a 分类讨论，用导数法求解 .试 题 解 析 ： （ I） f (x)的定义域为 (0, ) .当 a 4 时，* 1f ( x) (x 1)ln x 4( x 1), f (x) ln x 3x， f (1) 2, f (1) 0.曲线 y f (x) 在 (1, f (1)处的切线方程为 2x y 2 0.（ II ）当 x (1, ) 时， f (x) 0 等价于 a(x 1)ln x
18、0.x 1令 g( x) ln x a(x 1)x 1 ，则21 2a x 2(1 a)x 1g (x) ,g (1) 02 2x (x 1) x(x 1)，（ i ）当 a 2， x (1, ) 时， 2 2(1 ) 1 2 2 1 0x a x x x ，故 g (x) 0, g(x)在 x (1, ) 上单调递增，因此 g( x) 0 ；（ ii ）当 a 2 时，令 g (x) 0 得2 2x1 a 1 (a 1) 1, x2 a 1 (a 1) 1 ，由 x2 1 和 x1x2 1 得 x1 1，故当 x (1,x2) 时， g (x) 0， g( x) 在 x (1,x2 ) 单调
19、递减，因此 g (x) 0.综上， a 的取值范围是 ,2 .考点：导数的几何意义，函数的单调性 .【结束】（ 21） （ 本 小 题 满 分 12 分）【答案】（） 14449 ； （ ） 3 2, 2 .【解析】试 题 分 析 ： （ ） 先求直线 AM 的方程， 再求点 M 的纵坐标， 最后求 AMN 的 面 积 ； （ ） 设 M x1, y1 ， ，将直线 AM 的方程与椭圆方程组成方程组，消去 y ，用 k 表示 x1 ，从而表示 | AM |，同理用 k 表示 | AN |，再由 2 AM AN 求 k .试 题 解 析 ： （ ） 设 M (x1, y1) ，则由题意知 y1
20、0 .由已知及椭圆的对称性知，直线 AM 的倾斜角为，4又 A( 2,0) ，因此直线 AM 的方程为 y x 2 .*将 x y 2 代入2 2x y4 31得27y 12 y 0 ，解得 y 0 或 12 12y ，所以 y1 .7 7因此 AMN 的面积 1 12 12 144S 2 .AMN2 7 7 49（ 2）将直线 AM 的方程 y k(x 2)( k 0) 代入2 2x y4 31得2 2 2 2(3 4k )x 16k x 16k 12 0 .由216k 12x ( 2)1 23 4k得22(3 4k )x1 23 4k，故212 1 k2| AM | 1 k | x 2|1
21、 23 4k.1y (x 2)k，故同理可得| AN |12k 1 k24 3k2由题设，直线 AN 的方程为.由 2 | AM | | AN |得 2 k2 23 4k 4 3k，即 3 24k 6k 3k 8 0 .设 3 2f t t t t ，则 k 是 f (t) 的零点，( ) 4 6 3 82 2f (t ) 12t 12t 3 3(2 t 1) 0 ，所以 f (t) 在 (0, )单调递增，又 f ( 3) 15 3 26 0, f (2) 6 0，因此 f (t) 在 (0, )有唯一的零点，且零点 k 在 ( 3,2) 内，所以 3 k 2 .考点：椭圆的性质，直线与椭圆
22、的位置关系 .【结束】请考生在 22、 23、 24 题中任选一题作答 , 如果多做 , 则按所做的第一题计分 , 做答时请写清题号（ 22） （ 本 小 题 满 分 10 分） 选修 4-1 ：几何证明选讲【答案】（）详见解析； （） 12 .【解析】试题分析： （）证 DGF CBF , 再证 B,C,G,F 四点共圆； （）证明 Rt BCG Rt BFG , 四边形BCGF 的面积 S 是 GCB 面积 S GCB 的 2 倍 .试 题 解 析 ： （ I）因为 DF EC ,所以 DEF CDF ,*DF DE DG则有 GDF DEF FCB, ,CF CD CB所以 DGF CB
23、F , 由此可得 DGF CBF ,由此 0CGF CBF 180 ,所以 B,C,G,F 四点共圆 .（ II ）由 B,C,G, F 四点共圆， CG CB 知 FG FB ，连结 GB ，由 G 为 Rt DFC 斜 边 CD 的中点，知 GF GC ,故 Rt BCG Rt BFG ,因此四边形 BCGF 的面积 S 是 GCB 面积 S 的 2 倍，即GCB1 1 1S 2S 2 1 .GCB2 2 2考点：三角形相似、全等，四点共圆【结束】（ 23） （ 本 小 题 满 分 10 分） 选修 44：坐标系与参数方程【答案】（） 2 12 cos 11 0 ； （ ） 153 .【解
24、析】试 题 分 析 ： （ I）利用 2 x2 y2 ， x cos 可得 C 的极坐标方程； （ II ）先将直线 l 的参数方程化为普通方程，再利用弦长公式可得 l 的斜率试 题 解 析 ： （ I）由 x cos , y sin 可得 C 的极坐标方程 2 12 cos 11 0.（ II ）在（ I）中建立的极坐 标系中，直 线 l 的极坐标方程为 ( R)由 A,B 所对应的极径分 别为 1, 2 ,将 l 的极坐标方程代入 C 的极坐标方程得2 12 cos 11 0.*于是 1 2 12cos , 1 2 11,2 2| AB | | | ( ) 4 144cos 44,1 2
25、1 2 1 2由 | AB | 10 得 2 3 15cos , tan8 3，所以 l 的斜率为 153 或 153 .考点：圆的极坐标方程与普通方程互化，直线的参数方程，点到直线的距离公式 .【结束】（ 24） （ 本 小 题 满 分 10 分） 选修 45：不等式选讲【答案】（） M x | 1 x 1 ； （ ） 详 见 解 析 .【解析】试 题 分 析 ： （ I）先去掉绝对值，再分 1x ，21 1x 和2 21x 三种情况解不等式，即可得 ； （ II ）2采用平方作差法，再进行因式分解，进而可证当 a， b 时， a b 1 ab 12x, x ,2试 题 解 析 ： （ I） 1 1f (x) 1, x ,2 212x, x .2当 1x 时，由 f ( x) 2 得 2x 2,解得 x 1；2当 1 1x 时， f (x) 2 ；2 2当 1x 时，由 f (x) 2 得 2x 2, 解得 x 1.2所以 f (x) 2 的解集 M x | 1 x 1 .（ II ）由（ I）知，当 a,b M 时， 1 a 1, 1 b 1，从而2 2 2 2 2 2 2 2(a b) (1 ab) a b a b 1 (a 1)(1 b ) 0 ，*因此 |a b | |1 ab |.考点：绝对值不等式，不等式的证明 .【结束】
