1、高二下学期数学文科复习专题一 平面向量题型一：向量的概念、向量的基本定理【内容解读】了解向量的实际背景，掌握向量、零向量、平行向量、共线向量、单位向量、相等向量等概念，理解向量的几何表示，掌握平面向量的基本定理。注意对向量概念的理解，向量是可以自由移动的，平移后所得向量与原向量相同；两个向量无法比较大小，它们的模可比较大小。如果 和 是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量 有且只有1e2 a一对实数 1、 2，使 =1 +2 .ae注意：若 和 是同一平面内的两个不共线向量，【命题规律】有关向量概念和向量的基本定理的命题，主要以选择题或填空题为主，考查的难度属中档类型。例 1
2、直角坐标系 中， 分别是与 轴正方向同向的单位向量在直角三角xOyij， xy，形 中，若 ，则 的可能值个数是（ ）ABCjkiACi3,21 2 3 4解：如图，将 A 放在坐标原点，则 B 点坐标为(2,1)，C 点坐标为(3,k)，所以C 点在直线 x=3 上，由图知，只可能 A、B 为直角，C 不可能为直角所以 k 的可能值个数是 2，选 B点评：本题主要考查向量的坐标表示，采用数形结合法，巧妙求解，体现平面向量中的数形结合思想。变式：如图，平面内有三个向量 、 、 ,其中与 与 的夹角为OABCOAB120， 与 的夹角为 30,且| | |1，OAC| | ，若 + （ ， R
3、）,32则 + 的值为 .解：过 C 作 与 的平行线与它们的延长线相交，可得平行四边形，由角ABOC=90角 AOC=30， = 得平行四边形的边长为 2 和 4， 2+4=6O32 点评：本题考查平面向量的基本定理，向量 OC 用向量 OA 与向量 OB 作为基底表示出来后，求相应的系数，也考查了平行四边形法则。变式 2.已知向量 和 的夹角为 ， ，则 ab012|,|3ab|5|ab解：= ，22 25510abab2215103497点评：向量的模、向量的数量积的运算是经常考查的内容，难度不大，只要细心，运算不要出现错误即可。题型二：向量的运算【内容解读】向量的运算要求掌握向量的加减
4、法运算，会用平行四边形法则、三角形法则进行向量的加减运算；掌握实数与向量的积运算，理解两个向量共线的含义，会判断两个向量的平行关系；掌握向量的数量积的运算，体会平面向量的数量积与向量投影的关系，并理解其几何意义，掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量积的运算，能运用数量积表示两个向量的夹角，会用向量积判断两个平面向量的垂直关系。【命题规律】命题形式主要以选择、填空题型出现，难度不大，考查重点为模和向量夹角的定义、夹角公式、向量的坐标运算，有时也会与其它内容相结合。例 2 设 a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2),则(a+2b) c=（ ）A.(15,12) B.0 C.3 D.1
5、1解：(a+2b) ，(a+2 b)c ，选 C(1,)2(,4)5,6(5,6)32点评：本题考查向量与实数的积，注意积的结果还是一个向量，向量的加法运算，结果也是一个向量，还考查了向量的数量积，结果是一个数字。变式 1。已知平面向量 ，且 ，则 =（ ）),2(),1(ma baA （-2，-4） B. （-3，-6） C. （-4，-8） D. （-5，-10）解：由 ，得 m4，所以，ab（2，4）（6，12）（4，8） ，故选（C） 。3点评：两个向量平行，其实是一个向量是另一个向量的 倍，也是共线向量，注意运算的公式，容易与向量垂直的坐标运算混淆。变式 2.已知平面向量 =（1，3
6、） ， =（4，2） ， 与 垂直，则 是（ abab）A. 1 B. 1 C. 2 D. 2解：由于 4,3,13,ababa ，即 ，选4300点评：本题考查简单的向量运算及向量垂直的坐标运算，注意不要出现运算出错，因OPQBab为这是一道基础题，要争取满分。题型三：定比分点【内容解读】掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并能熟练应用，求点分有向线段所成比时，可借助图形来帮助理解。【命题规律】重点考查定义和公式，主要以选择题或填空题型出现，难度一般。由于向量应用的广泛性，经常也会与三角函数，解析几何一并考查，若出现在解答题中，难度以中档题为主，偶尔也以难度略高的题目。例 3.设 D、 E、
7、F 分别是ABC 的三边 BC、 CA、 AB 上的点，且 2,DCB则 与 ( )2,CA,BAECFBA.反向平行 B.同向平行 C.互相垂直 D.既不平行也不垂直解：由定比分点的向量式得: 同理，有：212,3AD以上三式相加得12,3EC1,3所以选 A.ADBF点评：利用定比分点的向量式，及向量的运算，是解决本题的要点.变式 1：已知两点 ， ， ，则 P 点坐标是 （ ）3,2M5,N12MNA B C D8,1,3,8,1正确答案：选 B变式 2：如图，设点 P、Q 是线段 AB 的三等分点，若 a， b，则 ，OAO213a (用 a、b 表示)Q123课后练习 :1、若 ，
8、, 则 （ B ）(,5)B7)CA （2，2） B （2，2） C （4，12） D （4,12） 2、已知平面向量 (1，1)， (1，1)，则向量 ( D ) a b 12 a 32 bA、(2，1) B、(2，1) C、(1，0) D、(1，2)3、已知平面向量 =（1，3） ， =（4，2） ， 与 垂直，则 是（ A ）A. 1 B. 1 C. 2 D. 24、若平面向量 与向量 =（1，2）的夹角是 180，且| |= ，则 =（B ）bab35bA （1，2） B （3，6）C （3，6） D （3，6）或（3，6）5、在 是（B ）ACBCAB则中 ， 若 ,02A锐角三角形
9、 B 直角三角形C钝角三角形 D等腰直角三角形6、直角坐标平面内三点 ，若 为线段 的三等分点，1,23,9,7、 、 EF、 BC则 （ C ）EF（A）20 （B）21 （C）22 （D）237.在四边形 ABCD 中， =a+2b， =4ab， =5a3b，其中 a、b 不共线，则ABC四边形 ABCD 为（ ）A.平行四边形 B.矩形 C.梯形 D.菱形【解析】 = =8a2b=2 ， .DBCAD/四边形 ABCD 为梯形.正确答案：选 C8.已知 那么 与 夹角为3,43,abAbA、 B、 C、 D、6090120150正确答案：选 C9.已知 D、 E、 F 分别是 ABC 的
10、边 BC、 CA、 AB 的中点，且 = ， = ， = ,BaCAbBc则下列各式： = = + 21cbE2 = + + + =aAF0其中正确的等式的个数为（ ）A.1 B.2 C.3 D.4正确答案：选 B10.已知向量 a（3，4） ，b（2，x） ， c（2，y ）且 ab，a c求|bc|的值解： ab， 3x80 x b（2， ） 3838 a c， 64y 0 y c（2， ） 而 bc （2， ）（2， ）（0， ） ，3856 |b c| 5611.设向量 与向量 的夹角为钝角，求实数 t 的取值范围.217et21et解： ，故 ，0)(07152t解之 2t另有 ，解
11、之 ，tt7,214,2t ),14(),(t12.四边形 中， ABCD)3,2(,(,6CDyxB（1）若 ，试求 与 满足的关系式；/xy（2）满足（1）的同时又有 ，求 的值及四边形 的面积。 Ayx,AB解： ),(yxBC )2,4()2,4()( yxyxCDBD（1） 则有/0)2yx化简得： 02yx（2） )1,6(BCA3yxD又 则 0)3()2(y化简有： 01542yx联立 02yx解得 或 361x则四边形 为对角线互相垂直的梯形DABC/BACD当 36yx)0,8()4,0(此时 1621SABCD当 yx)4,0(),8(B此时 1621SABCD高二下学期
12、数学文科复习专题二 三角函数题型一、三角函数的定义,诱导公式例 1已知角 终边上一点 P（4，3） ，求 的值 )29sin()1cos(【解】 tanxy 43tancosin)29si()1cos( 变式 1设角 的值等于（ C ）则,635 )(cs)si(i1)(22 A B C D3333变式 2已知 那么 （ B ,)154tan(192sin）A B C D2|a2a21a21a题型二、三角函数的求值、化简问题例 2已知 1cos7， 13cs()4，且 0（1）求 tan的值；（2）求 解：（1）由 1cos7， 02，得 22143sin1cos()7 in43tas1于是
13、22t 83t147()（2）由 0，得 0又 13cos()4， 2213sin()1cos()4由 ()，得 cos()cosin()134172 3变式 1若 AC 2 ,选 A2已知ABC 的周长为 1，且 sinAsin B sin C22(I)求边 AB 的长；() 若ABC 的面积为 sin C，求角 C 的度数6解：(I)由题意及正弦定理，得 AB+BC+AC 1 BC+AC AB，22两式相减，得： AB1()由ABC的面积 BCACsinC sin C，得26BCAC ， ，322 243ACBAB由余弦定理，得 ，所以C60 01cos19 （宁夏、海南卷）已知平面向量
14、，则向量 （ ）(1)(1)，ab32ab (21)， 2 0()，解： 选 D132ab(12).，如图，测量河对岸的塔高 时，可以选与塔底 在同一水平面内的两个测点 与 现ABBCD测得 ，并在点 测得塔顶 的仰角为 ，求塔BCCs， A高 A解：在 中， BCD 由正弦定理得 sinsiCDB所以 nii()在 中， ABCRt tasinta()AC平面向量综合测试题一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 若 A（2，-1） ，B（-1，3） ，则 的坐标是 ( )ABA.（1，2） B.（-3， 4）
15、C. （3，-4） D. 以上都不对2.与 a=（4，5）垂直的向量是 ( )A.（-5k ,4k） B. (-10，2） C. ( ) D.（5k , -4k）54,k3. ABC 中, =a, =b,则 等于 ( )BCABA.a+b B.-(a+b) C.a-b D.b-a 4.化简 (ab) (2a+4b)+ (2a+13b)的结果是 ( )523152A. a b B.0 C. a+ b D. a b5151515.已知|p |= ,|q|=3, p 与 q 的夹角为 ,则以 a=5p+2q,b=p3q 为邻边的平行四边形的一条24对角线长为 ( )A.15 B. C. 16 D.1
16、4156.已知 A(2,-2),B(4,3),向量 p 的坐标为(2k-1,7)且 p ,则 k 的值为 ( )ABA. B. C. D.1091091091097. 已知 ABC 的三个顶点， A、B、C 及平面内一点 P 满足 ，则点 P 与BPCAABC 的关系是 ( )A. P 在ABC 的内部 B. P 在ABC 的外部 C. P 是 AB 边上的一个三等分点 D. P 是 AC 边上的一个三等分点8.已知ABC 的三个顶点，A (1,5)，B (-2,4)，C(-6,-4) ，M 是 BC 边上一点,且ABM 的面积是ABC 面积的 ,则线段 AM 的长度是 ( )41A.5 B.
17、 C. D.85258529.设 e1,e2 是夹角为 450 的两个单位向量,且 a=e1+2e2,b=2e1+e2,则|a+b|的值 ( )A. B.9 C. D.3 98310.若|a|=1,|b|= ,(a-b)a,则 a 与 b 的夹角为 ( )A.300 B.450 C.600 D.75011.把一个函数的图象按向量 a=( ,-2)平移后，得到的图象对应的函数解析式为 y=sin(x+ )-3 62,则原函数的解析式为 ( )A.y=sinx B.y=cosx C.y=sinx+2 D.y= -cosx12.在ABC 中， =c, = a, =b,则下列推导中错误的是 ( )AB
18、CAA.若 abf(cd)的解集。答案一、BCDBA； DDADB；BD 二、13.等边三角形；14.大小是 4km/h,方向与水流方向的夹角为 600 ; 15.a 2b ; 16.三、17.| |=2| | a, b a , = abABCD21ABCCMN118. 5e1+5e2= , 又有公共点 B,A、B、D 共线D/设存在实数 使 ke1+e2=(e1+ke2) k= 且 k=1 k= 19.由 可知 ABAC设 D（x,y）,0ACBACB 5(x-2)+5(y-4)=0),(),5(),4,2( yxDyxDBC 5(x+1)5(y +2)=0 D( )B/ 257yx,)23
19、,(AD20. 设 P（x,y ）6|),251()23,5(CMCM4|,93APQAPQBCBCSAPB )1,3(2),1(yx)4,(P21. 当 b 与 a+b(R)垂直时，b(a+b)=0,= - 2Aab| a+b |= =22A22()()b当 = - 时，| a+ b |取得最小值.2当 b 与 a+b(R)垂直时，a+b 的模取得最小值.22. (1）a b=2sin2x+1 1 cd=2cos2x+1 1 （2）f(1-x)=f(1+x) f(x)图象关于 x=1 对称 当二次项系数 m0 时, f(x )在（ 1， ）内单调递增，由 f(ab)f(cd) ab cd,
20、即 2sin2x+12cos2x+1 又 x0, x 3()4当二次项系数 mf(cd) ab cd, 即 2sin2x+10 时不等式的解集为 ;当 m0 时不等式的解集为,) 30,)(,42012 年高考试题分类汇编：平面向量一、选择题1.【2012 高考全国文 9】 中， 边的高为 ，若 ，ABCCDBa， ， ， ，则CAb0a|1|2b（A） （B） （C） （D） 133a35b45b【答案】D2.【2012 高考重庆文 6】设 ，向量 且 ，则xR(,1)(,2)xa|（A） （B） （C） （D）510250【答案】B3.【2012 高考浙江文 7】设 a，b 是两个非零向量
21、。A.若|a+b|=|a|-|b|，则 abB.若 ab，则|a+b|=|a|-|b|C.若|a+b|=|a|-|b|，则存在实数 ，使得 b=aD.若存在实数 ，使得 b=a，则|a+b|=|a|-|b|【答案】C4.【2012 高考四川文 7】设 、 都是非零向量，下列四个条件中，使 成立的充ab|ab分条件是（ ）A、 且 B、 C、 D、|ab/ab2【答案】5.【2012 高考陕西文 7】设向量 =（1. ）与 =（-1， 2 ）垂直，则 等acoscoscos于 （ ）A B C .0 D.-1212【答案】C.6.【2012 高考辽宁文 1】已知向量 a = (1,1)，b =
22、(2,x).若 a b = 1,则 x =(A) 1 (B) (C) (D)11212【答案】D【点评】本题主要考查向量的数量积，属于容易题。7.【2012 高考广东文 3】若向量 ， ，则(1,2)AB(3,4)CAA. B. C. D. (4,6)(4,62(2,)【答案】A8.【2012 高考广东文 10】对任意两个非零的平面向量 和 ，定义 . 若两个非零的平面向量 ， 满足 与 的夹角 ，且 和 都在集合ab,42ab中，则2nZ A. B. C. 1 D. 53212【答案】D9.【2102 高考福建文 3】已知向量 a=（x-1,2） ，b= （2,1） ，则 ab 的充要条件是
23、A.x=- 12 B.x-1 C.x=5 D.x=0【答案】D【解析】 ，故选 D012)(xxba10.【2012 高考天津文科 8】在ABC 中， A=90， AB=1，设点 P，Q 满足 = ，APB=(1- ) ， R。若 =-2，则 =AQACBQCP（A） （B） C） （D）2132343【答案】B二、填空题1.【2012 高考新课标文 15】已知向量 夹角为 ，且 ；则,ab451,20ab_b【答案】 322.【2012 高考安徽文 11】设向量 ， ， ，若 ，)2,1(ma)1,(b),2(mcbca)(则 _.|a【答案】 23.【2012 高考湖南文 15】如图 4，
24、在平行四边形 ABCD 中 ，APBD，垂足为 P，且 = .3APC【答案】18【点评】本题考查平面向量加法的几何运算、平面向量的数量积运算，考查数形结合思想、等价转化思想等数学思想方法.4.【2012 高考浙江文 15】在ABC 中，M 是 BC 的中点， AM=3，BC=10，则=_.ABC【答案】-16 5.【2012 高考山东文 16】如图，在平面直角坐标系 中，一单位圆的圆心的初始位置在xOy(0，1) ，此时圆上一点 P 的位置在 (0，0)，圆在 x 轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2，1) 时， 的坐标为. OP【答案】 )2cos1,sin2(【解析】因为圆心移动的距离
25、为 2，所以劣弧 ，即圆心角 ,2PA2PCA,则 ,所以 ，2PCA2cos)2sin(PB，所以 ， ，所以2sin)cos(CBixp 1yp.c1,i2OP另解：根据题意可知滚动制圆心为（2,1）时的圆的参数方程为 ，且sin1co2yx，则点 P 的坐标为 ，即23,PCD2cos)23sin(1coyx.)cos1,sin2(O6.【2012 高考江西文 12】设单位向量 m=（x，y） ，b=（2，-1） 。若 ，则=_【答案】 57.【2012 高考江苏 9】 （5 分）如图，在矩形 中， 点 为 的ABCD2BC， ， EB中点，点 在边 上，若 ，则 的值是 FCD2ABF
26、EF【答案】 。2【考点】向量的计算，矩形的性质，三角形外角性质，和的余弦公式，锐角三角函数定义。8.【2012 高考上海文 12】在矩形 中，边 、 的长分别为 2、1，若 、ABCDAM分别是边 、 上的点，且满足 ，则 的取值范围是 NBCMN【答案】1,4.【解析】设 = （0 1） ，DNBM则 = , = ，CAC)(AB)(则 = =N( N )1()ABD= + + + ,DB2)1B2D)1(又 =0，A = ，NM340 1，1 4，即 的取值范围是1,4.ANM9.【2012 高考湖北文 13】已知向量 a=（1,0） ，b=（1,1） ，则（）与 2a+b 同向的单位向
27、量的坐标表示为_；（）向量 b-3a 与向量 a 夹角的余弦值为_。【答案】 （） ；（） 310,25【解析】 （）由 ，得 .设与 同向的单位向量为,1a=b3,1ab=2ab，则 且 ，解得 故 .即与,xyc=2,30yx0,1.xy310,c同向的单位向量的坐标为 .2ab310,（）由 ，得 .设向量 与向量 的夹角为 ，则1,0,=b2,ba=3ba.32,1025cos5Aba【点评】本题考查单位向量的概念，平面向量的坐标运算，向量的数量积等.与某向量同向的单位向量一般只有 1 个，但与某向量共线的单位向量一般有 2 个，它包含同向与反向两种.不要把两个概念弄混淆了. 来年需注意平面向量基本定理，基本概念以及创新性问题的考查.10【2102 高考北.京文 13】已知正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 是 AB 边上的动点，则的值为_， 的最大值为_。CBDE DCE【答案】1，1【解析】根据平面向量的数量积公式 ，由图可知，DABcos|，因此 ，|cos|DAE1|2DACBE，而 就是向量 在 边上cos|Ccos| cos|EDEC的射影，要想让 最大，即让射影最大，此时 E 点与 B 点重合，射影为 ，所以长度为 1
