1、12014 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（1） 【2014 年广东，理 1，5 分】已知集合 ， ，则 （ ）1,0M,12NMN（A） （B） （C ） （D）,0,200,1【答案】B【解析】 ，故选 B,2MN（2） 【2014 年广东，理 2，5 分】已知复数 满足 ，则 （ ）z(34i)25zz（A） （B） （C ） （D）34ii 34i34i【答案】A【解析】 ，故选 A (34i)()=ii 25z（3） 【2014 年广东，理 3，5
2、分】若变量 满足约束条件 的最大值和最小值分别为 和,xy12yxzy且 M，则 （ ）mM（A）8 （B）7 （C）6 （D）5【答案】C【解析】画出可行域，易知在点 与 处目标函数分别取得最大值 ，与最小值 ，(2,1),)3M3m，故选 C6（4） 【2014 年广东，理 4，5 分】若实数 满足 ，则曲线 与曲线 的（ ）k092159xyk2159xyk（A）离心率相等 （B）虚半轴长相等 （C）实半轴长相等 （D）焦距相等【答案】D【解析】 ， ， ，从而两曲线均为双曲线，又 ，两09k0k2k 2()34(2)双曲线的焦距相等，故选 D（5） 【2014 年广东，理 5，5 分】
3、已知向量 ，则下列向量中与 成 夹角的是（ ）1,0aa60（A） （B） （C） （D ）1, ,11,0【答案】B【解析】 ，即这两向量的夹角余弦值为 ，从而夹角为 ，故选 A222(,0)(1,)0 26（6） 【2014 年广东，理 6，5 分】已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图 1 和图 2 所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取 2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（ ）（A）200,20 （B）100,20 （C）200,10 （D）100,10【答案】A【解析】样本容量为 ，抽取的高中生近视(350420)%0人数为： ，故选
4、 A2（7） 【2014 年广东，理 7，5 分】若空间中四条两两不同的直线 ，满足 ， ， 则下列结1234,l12l3l4l论一定正确的是（ ）（A） （B） （C） 既不垂直也不平行 （D ） 的位置关系不确定14l14/l14,l 4,【答案】D【解析】平面中的四条直线， ，空间中的四条直线，位置关系不确定，故选 D2（8） 【2014 年广东，理 8，5 分】设集合 ，那么集合 中满足条件12345=,1,0,2345iAxxiA“ ”的元素个数为（ ）12343xx（A）60 （B）90 （C）120 （D）130【答案】D【解析】 可取 ，和为 1 的元素个数为： ；和为 2 的
5、元素个数为：123451,21250；和为 3 的元素个数为： ，故满足条件的元素总的个数为5C031252548，故选 D08二、填空题：本大题共 7 小题，考生作答 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分（一）必做题（913）（9） 【2014 年广东，理 9，5 分】不等式 的解集为 1x【答案】 ,32,【解析】数轴上到 1 与 距离之和为 5 的数为 和 2，故该不等式的解集为： 3,32,（10） 【2014 年广东，理 10，5 分】曲线 在点 处的切线方程为 5xye(0,)【答案】 50xy【解析】 ， ， 所求切线方程为 ，即 5xe0x5yx0y（11） 【2014 年
6、广东，理 11】 ，5 分从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是 6 的概率为 【答案】 16【解析】要使 6 为取出的 7 个数中的中位数，则取出的数中必有 3 个不大于 6，另外 3 个不小于 6，故所求概率为 3710C（12） 【2014 年广东，理 12，5 分】在 中，角 所对应的边分别为 ，已知 ，ABC, ,abcosc2CBb则 ab【答案】2【解析】解法一：由射影定理知 ，从而 ， cosbBa2ba解法二：由上弦定理得： ，即 ， ，即insicosinCBsi()2sinCBi2sinAB， 2a解法三：由余弦定理得： ，即
7、 ， ，即 222ababc 24abab（13） 【2014 年广东，理 13，5 分】若等比数列 的各项均为正数,且 ,则n 510912e1220lnlna 【答案】50【解析】 ， ，设 ，则 ，09151ae1220llnSaa 20191lnllnSaa， 52001lln0S5S（二）选做题（14-15 题，考生只能从中选做一题）（14） 【2014 年广东，理 14，5 分】 （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线 和 的方程分别为1C2和 ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 轴的正半轴，建立平面直角坐2sincosin x标系，则曲线 和 的交点的直角坐标为 1C2
8、【答案】 (1,)【解析】 即 ，故其直角坐标方程为： ， 的直角坐标系方程为： ， 与si)csyx2C1y1C3的交点的直角坐标为 2C(1,)（15） 【2014 年广东，理 15，5 分】 （几何证明选讲选做题）如图 3，在平行四边形 中，点 在 上且ABCDEAB， 与 交于点，则 EBADECDFAE的 面 积的 面 积【答案】9【解析】显然 ， CF:22()()9BAE的 面 积的 面 积三、解答题：本大题共 6 题，共 80 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（16） 【2014 年广东，理 16，12 分】已知函数 ，且 ()sin(),4fxxR53()12f（1）
9、求 的值；A（2）若 ， ，求 3()2f(0,)3()f解：（1） ， 5sin)sin142A23A（2）由（1）得： ，(3()fx()sin()3sin()44f ，33(sincosinsico)2co6cos44 2， ， ，6(0,)2103 103()sin3sin()3sin44 4f（17） 【2014 年广东，理 17，12 分】随机观测生产某种零件的某工厂 25 名工人的日加工零件数（单位：件） ，获得数据如下：30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36根据上述数据
10、得到样本的频率分布表如下：分组 频数 频率,3 0.12(3055 0.20,48 0.321n1f(, 22（1）确定样本频率分布表中 和 的值；12nf2（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取 4 人，至少有 1 人的日加工零件数落在区间 的概30,5率解：（1） ， ， ， 17n2170.285f0.85f（2）频率分布直方图如下所示：4（3）根据频率分布直方图，可得工人们日加工零件数落在区间 的概率为 ，设日加工零件数落在30,50.2区间 的人数为随机变量 ，则 ，故 4 人中，至少有 1 人的日加工零件数落在区间0,35(,0
11、.2)B:的概率为： 0441(.2)81.96.5C（18） 【2014 年广东，理 18，14 分】如图 4，四边形 为正方形， 平面 ，ACDPABCD， 于点 ， ，交 于点 3DP AFP/FEPE（1）证明： 平面 ；D（2）求二面角 的余弦值 解：（1） 平面 ， ， 平面 平面 ，平面 平面BB，ABC平面 ， ， 平面 ， 平面 ， ，又ACAPCDFPCDFA， ， 平面 ， ， 平面 FPF, A（2）解法一：过 作 交 于 ， 平面 ， 平面 ，过 作 于 ，连 E/GDEGGHEH则 为二面角 的平面角，设 ， ， ，从而HE20303，1=2CD， ， ，即 ， ，
12、还易求得 ， ，从而4PEFC FDP1=232DE2EF3D，易得 ，324G 19AE， ， ，7AF32E3274FH故 ， 2196()(47634725cos 19GHE解法二：分别以 ， ， 为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，设 ，则 ，DPCAxyz DC(0,2)A，(0,2)C，设 ，则 ， ，可得 ，从而 ，易得3,0)PF(23,0)DF43(,)F，取面 的一个法向量为 ，设面 的一个法向量为 ，(,2EA1(3,1)nCPAE2(,nxyz利用 ，且 ，得 可以是 ，从而二面角的余弦值为0n20n2,05124325719|n（19） 【2014 年广东，理 19，1
13、4 分】设数列 的前 和为 ,满足 ，且 nanS2*134,nanN315S（1）求 的值；123,a（2）求数列 的通项公式n解：（1） 21 2417S， 2331212+=()04(5)0Saa12+8a联立 解得 ， ，综上 ， ， 125a873537（2） 当 时， 14nSn n21()()4()nnSn并整理得： ，由（1）猜想 ，以下用数学归纳法证明： 162a 1a（）由（1）知，当 时， ，猜想成立；13（）假设当 时，猜想成立，即 ，则当 时，nkkank，2126141()323(1)2ka k这就是说 时，猜想也成立，从而对一切 ， 1Nna（20） 【2014
14、年广东，理 20，14 分】已知椭圆 的一个焦点为 ，离心率为 2:(0)xyCba(5,0)53（1）求椭圆 的标准方程；C（2）若动点 为椭圆外一点，且点 到椭圆 的两条切线相互垂直，求点 的轨迹方程0(,)PxyPP解：（1） ， ， ， ， 椭圆 的标准方程为： 5c53cea22954bcC2194xy（2）若一切线垂直 轴，则另一切线垂直于 轴，则这样的点 共 4 个，它们的坐标分别为 ，yP(3,)(3,)若两切线不垂直与坐标轴，设切线方程为 ，即 ，将之代入椭圆方程00()kx0()ykxy中并整理得： ，依题意， ，2194xy2 2(94)18(9kxy0即 ，即 ，2 2
15、00(8)3694)kxy 20()4(9)， 两切线相互垂直， ，即 ，220xk12k021yx，2013y显然 ， 这四点也满足以上方程， 点 的轨迹方程为 (,)(,) P23y（21） 【2014 年广东，理 21，14 分】设函数 ，其中 22()()fxxkxk2k（1）求函数 的定义域 （用区间表示） ；()fxD（2）讨论 在区间 上的单调性；（3）若 ，求 上满足条件 的 的集合（用区间表示） 6k()1fxx解：（1） ，则 或 2()(30xxk21k 23xk由 得： ， ， 114)4()0()方程 的解为 ， 由 得 或 ，20k2x112xk由 得 ，方程 的判
16、别式 ， 3x23xk24(3)4(2)0kk()6该方程的解为 ，由 得 12k230xk1212kxk， ，2k1(,)(,)(,)D（2）设 ，2)uxkxk则 ，31()(2(2)f x 322(1)1)uxxk（）当 时， ， ， ；,)100xk(0f（）当 时， ， ， ；(2,xk2)（）当 时， ， ， ；1,x13fx（）当 时， ， ， ,)2xk(综上， 在 上的单调增区间为： ，()fxD(,1),(2)k在 上的单调减区间为： ,（3）设 ，由（1）知，当 时， ；22)()3gkxkxD(0gx又 ，显然，当 时， ，(1)36(26k1)从而不等式 ，(1fxg22 2)()(3xkxk， ，2 2()(3)5)xxk614 11142kk（）当 时， ， 欲使 ，即 ，2xk)0x(f(g亦即 ，即 ；5014242kx x（） 时， ，3()，225()()5xkxk此时 ，即 ；1gfx（） 时， ， 不合题意；30253()0xkk()1gx（） 时， ， ， ，12xk(3)12 5()xg不合题意；（） 时， ， 欲使 ，则 ，x()1gx20xk即 ，从而 44kk 4k综上所述， 的解集为：()1fx12, 2,3,22,142kk
