1、 数学思维训练方法讲义 学习改变命运 思考成就未来2010 小升初暑假衔接班系列讲座 培养创新思维 开发个性潜能1第 1 讲 快乐的数学世界 【知识目标】、体会、认识生活中的数学，数学知识来源于生活、应用于生活；12、通过动手操作、实验，体会学习数学的意义，感受学习数学的乐趣与价值；3、学习科学的思考方法，培养数学素养和健全人格、积极的处世态度和坚韧的性格；【趣题导航】 专题一、数学的趣味性【例 1】我国著名数学家苏步青先生曾说过：学数学的最好方法，就是做数学当然， “做数学”先要从做数学习题开始同学们先学着做一些数学 习题，通 过正确地解答数学 习题，学会和掌握解决数学问题的方法（甲、乙两人
2、同时从相距 30 千米的两地出发，相向而行甲每小时走 3.5 千米，乙每小时走 2.5 千米与甲同时、同地、同向出发的还有一只狗，每小时跑 5 千米，狗碰到乙后就回头向甲跑去，碰到甲后又回头向乙跑去，这只狗就这样往返于甲、乙之 间直到二人相遇而止， 则 相遇时这只狗共跑了_千米 ）【例 2】合作与交流（1）给出一个等式： ，请你根据这 个等式填一个成语（四10102个字） 。（2）如图：有长方体砖若干块，请设计一种方法测出 、 两点之间的直线距离。AB（不通过计算，直接测量）（3）如图，8 根火柴拼成两个平行四 边形， 规定：只允许移动 2 根火柴，把它变成“一个平行四边形”。 变式议练一1、
3、一对蚯蚓在一起，身体不能挨身体（打一数学符号） ；2、（猜字谜）2 只小狗同戴 1 顶 草帽。 这个字是 。【例 3】莱蒙托夫是俄国著名的诗人， 爱好数学。有一次，他给一些军官表演猜数游戏。他请一名军官随便想好一个数，不要说出来，然后请这个军官将想好的这个数加上 25，再加上 125，减去 37，再减去最初想好的这个数，把得到的数乘以 5，最后再除以 2，这时，莱蒙托夫说，我可以猜出你算出的结果，他 问那个军官：“此数是 282.5 对吗？” 那个军官非常吃惊，因为莱蒙托夫并不知道他想的是什么数，却得到了和他完全一样的结果。奥秘在哪里呢？请 你用字母表示这个数，就能解开这个谜。AB数学思维训练
4、方法讲义 学习改变命运 思考成就未来2010 小升初暑假衔接班系列讲座 培养创新思维 开发个性潜能26m8 变式议练二小星和小月正在玩猜数游戏；小星说：“你随便选定三个一位数，按这样的步骤计算：把第一个数乘以 2；加上 5；乘以 5；加上第二个数；乘以 10；加上第三个数。只要你告诉我最后的得数，我就能知道你选的三个一位数是什么。 ”小月不相信，但试了几次，小星都猜 对了，你能破译其中的奥秘吗？ 专题二、生活中的数学【例 4】1、由梅州到广州的某一次列 车,运行途中停靠的车站依次是：梅州 兴宁华城阿源惠州东莞广州,那么要为这次列车制作的火车票有（ ）、6 种 、12 种 、21 种 、42 种
5、ABCD2、钟表上的数学问题： 时针与分针的夹角为 度；10:23、日历中的数学问题：图中给出的是 2004 年 3 月份的日历表,任意图出一竖列上相邻的三个数,请你运用方程思想来研究,发现这三个数的和不可能是( )、69 、54 、27 、40ABCD4、棋盘中的数学：如图是跳棋 盘,其中格点上的黑色点为棋子 ,剩余的格点上没有棋子,我们约定跳棋游戏的规则是:把跳棋棋子在棋盘内沿直 线隔着棋子对称跳行,跳行一次称为一步,已知点 A 为己方一枚棋子,欲将棋子 A 跳进对方区域(阴影部分的格点),则跳行的最小步数为( )A、2 步 B、3 步 C、4 步 D、5 步 变式议练三1、小红每天早上起
6、床要做许多事情 ,整理床铺 5 分钟，晨 读 10 分钟，淘米 1 分钟，用电饭煲煮粥 20 分钟，洗脸刷牙 3 分钟，吃早饭 3 分 钟，吃完早 饭后上学，小红做这些事情，至少要 分钟；2、如图是一块稻田，根据图中数据计算这块地的周长。数学思维训练方法讲义 学习改变命运 思考成就未来2010 小升初暑假衔接班系列讲座 培养创新思维 开发个性潜能3 专题三-动手做一做（数学实验）：【例 5】如图“回” 字形的道路宽为 ，整个“回”字形的长1m为 ，宽为 ，一个人从入口点 沿着道路中央走到终 点 ，8m7AB他共走了（ ）、 、 、 、AB5.C56D56. 变式议练四用六根等长的木棍最多可以拼
7、成几个以木棍长为边长的等边三角形？ 专题四、探索数学规律【例 6】找规律，在（ ）内填上适当的数：（1）2，4，8，16，（ ）； （2）1，4，9，16，（ ）；（3） ， ， ， ，（ ）05310（4） ， ， ，（ ）， ，（ ）， ；341 变式议练五1、找规律，在（ ）内填上适当的数：（1）1，3，6，10，（ ），21，（ ），（ ）；（2）1，3，7，15，（ ）；63，（ ）；（3） ， ，（ ）， ， ；0142（4）如图，根据其规律， “？” 处 的数字是 ；2、（1）计算 1+3，1+3+5，1+3+5+7，找出规律，猜 测 1+3+5+7+99 的结果（2）根据以上的
8、规律，猜测 11+13+15+17+99 的结果。数学思维训练方法讲义 学习改变命运 思考成就未来2010 小升初暑假衔接班系列讲座 培养创新思维 开发个性潜能4 专题五-解题方法比拼【例 7】李白买酒歌问题：李白买酒歌李白街上走，提壶去买酒，遇店加一倍，见花喝一斗，三遇店和花，喝光壶中酒，试问壶中原有多少酒？算术头脑分析： （倒推法） 代数头脑分析：【例 8】托尔斯泰的割草问题：割草队要收割两块草地，其中一 块比另一块大 1 倍，全 队在大的一 块草地上割了一上午，到了下午就分成两半，一半人继续留在大 块草地上，到晚上正好把大 块 草地的草割完。另一半人转移到小块草地上，到了晚上还未割完，还
9、剩下一小 块。第二天，这剩下的一小块由一个割草队员花了一整天刚好割完。问这个割草队共有几人？算术头脑分析：数形结合分析：代数头脑分析：数学思维训练方法讲义 学习改变命运 思考成就未来2010 小升初暑假衔接班系列讲座 培养创新思维 开发个性潜能5【思维大发散】计算： 112486324专题六、阅读科学家的故事哥德巴赫猜想与陈景润早在 1742 年 6 月 7 日数学家哥德巴赫写信告诉欧拉， 说他想 发表一个猜想：任何一个不小于 6 的偶数都是两个奇素数之和。同年 6 月 30 日欧拉给他回信说：每一个偶数都是两个素数之和，虽然我还不能证明它，但我确信这个论断是完全正确的。我们可以验证这个结论，
10、例如：6=3+3；8=3+5；10=3+7=5+5；12=5+7；14=3+11；16=3+13=5+11；18=5+13=7+11；20=3+17=7+13；22=3+19=5+17=11+11；24=5+19=7+17=11+13；同学们也可自己试一试，任意取一个偶数（例如 1000，1998），将它写成两个素数之和。有人对一个一个偶数都进行了验算，一直算到 3 亿多，都表明这个猜想是对的，但是这还不能说明哥德巴赫猜想对于全部大偶数都是正确的，它的正确性还有待于研究。欧拉和哥德巴赫一生都没能证明这个论断，以后的 200 年里，也没有哪位数学家给出证明。因此，直到今日，这只能称为一个猜想，这
11、个猜想也就是著名的哥德巴赫猜想。这是一个世界上有名的难题，被誉为数学王冠上的一颗明珠。1900 年，德国数学家希尔伯特在巴黎召开的第二届国 际数学家大会上，提出了 23 个他认为最重要的没有解决的数学问题，这 23 个问题预示着 20 世纪数学研究的方向， 许多数学家分别在解决这些问题方面作了巨大的努力，取得了丰硕的成果，哥德巴赫猜想问题就是希尔伯特第 8 问题（素数问题）的一部分。我国著名数学家陈景润潜心研究了一系列著名的数论问题，特别是在哥德巴赫猜想问题的研究上，得到了目前世界上最好的结果， 1966 年 5 月，他 证明了：每一个充分大的偶数都可以表示 为一个素数和一个不超过 2 个素因
12、子的积的和。这个结果就是国际上公认的以陈景润的名字命名的陈氏定理。陈景润写出的（1， 2）的证明长达 200 页，他的证明引起国际数学界的关注，称他的 论文是解析数论 的名作，是 筛法的光辉顶点，是对研究哥德巴赫猜想的重大贡献。至今为止，对哥德巴赫猜想的研究 还没有结束， 还有从（1，2）到（1，1）这最艰难的一步。英国数学家哈代（18771947）1921 年在哥本哈根数学会上说：“哥德巴赫猜想可能是没有解决的数学问题中最困难的一数学思维训练方法讲义 学习改变命运 思考成就未来2010 小升初暑假衔接班系列讲座 培养创新思维 开发个性潜能6个”。现在这颗 皇冠上的明珠正在峰顶上闪耀，但她只属
13、于那些勤奋踏实、不畏 艰险、勇于攀登的攀登者。 快乐大比拼组A1、一个老人在公路上散步,从第 1 根电线杆走到第 4 根电线 杆共用 12min,这个老人走了 36min,走到第_根电线杆；2、比较下列算式结果的大小：423 2_243; 322 2_232;221 1_221; 120 2_210.3、在下面几个算式中,每个算式都至少有一个奇数 ,也至少有一个偶数 ,那么在这些数中,偶数共有_个(“都是整数)；、 、 、 、 4、法官断案：有两兄弟分得父 亲留下的遗产，可老大 总觉得父 亲偏爱老二，给老二分得的财产比自己的多，老二也觉得是老大分的更多， 为此两兄弟上诉至法庭。 聪明的法官 轻
14、松断案，两兄弟高兴而归。你知道法官是如何断案的吗？5、小丽拿着两只桶到河边取水 ,一只桶可取 水,另一只桶可取 水,而老师为了考考她，要求她不借助3kg5kg其它任何工具，取 水回来 ,请你帮小丽想想办法。4kg组B1、将正偶数按下表排成 5 列：第 1 列 第 2 列 第 3 列 第 4 列 第 5 列第 1 行 2 4 6 8第 2 行 16 14 12 10第 3 行 18 20 22 24第 4 行 32 30 28 26 根据规律可知,2010 应在第 行 列。数学思维训练方法讲义 学习改变命运 思考成就未来2010 小升初暑假衔接班系列讲座 培养创新思维 开发个性潜能7123452
15、、运用加、减、乘、除四种运算，如何由四个数 2，7，10，4（每个数只能用一次）得到 24，你能想出几个算式？写出来。3、如图，线与线的交点个数由 1+2+3+4+5 得 15 个，、1、 图中的三角形个数为多少个？、2、 是点多呢？还是三角形多？、3、 你能写出数三角形个数的方法吗？如果再增加一排，会有多少个三角形呢？4、小明同学准备“五一“ 随父亲、母亲参加旅游团外出旅游，甲旅行社告知：“父母买全票,学生按半价优惠“ ；乙旅行社告知:“家庭旅游可按团体票计价，即每人均按全价的八五折（ ）优惠“ ，若 这两家旅游社每人的85%原票价相同，那么，请你计算一下，看哪个旅行社更优惠？参考答案：【例
16、 7】李白买酒歌李白街上走，提壶去买酒，遇店加一倍，见花喝一斗，三遇店和花，喝光壶中酒，试问壶中原有多少酒？算术头脑分析： （倒推法）喝光壶中酒 第三次见花前应有酒 1 斗 第三次遇店前应有酒 斗 第二次见21花前应有酒（ +1）斗 第二次遇店前 应有酒 （ +1）斗 第一次见花前应有酒 （ +1）+1斗 第一2121次遇店前应有酒 （ +1）+1斗，此即壶里原有的酒。解 1： （ +1）+1= (斗) 答：略287说明：算术方法注重的是结论，运用例推的思 维方法就可以解决李白 买酒的数学问题，其 实我们也有一些聪明的孩子已经掌握了代数的方法。代数头脑分析 代数方法是用字母来代替数， 顺着读题
17、的顺序把每次买酒的数量用一个含字母的式子来表示，下面我们具体用分析如下： 设壶中原有酒 x 斗 第一次遇店后，壶中酒变为 2x 斗 第一次见花后，壶中酒变为（2x-1）斗 第二次遇店后，壶中酒为 2（2x-1）斗 第二次见花后，壶中酒变为 2（2x-1）-1=（4x-3）斗 第三次遇店后为 2（4x-3）斗 第三次见花后为 2（4x-3）-1=0数学思维训练方法讲义 学习改变命运 思考成就未来2010 小升初暑假衔接班系列讲座 培养创新思维 开发个性潜能8解 2：8x-7=0，得 斗 答：（略）87x例 8、托尔斯泰的割草问题割草队要收割两块草地，其中一 块比另一块大 1 倍，全 队在大的一
18、块草地上割了一上午，到了下午就分成两半，一半人继续留在大 块草地上，到晚上正好把大 块 草地的草割完。另一半人转移到小块草地上，到了晚上还未割完，还剩下一小 块。第二天，这剩下的一小块由一个割草队员花了一整天刚好割完。问这个割草队共有几人？算术头脑分析： 在大块草地上割草队全体割了半天，全 队的一半人又割了半天，这就是，这一半人要花 3 个半天收割完这大块草地。也就是 说，全 队一半的人在半天时间 内收割了大块草地的 。由于大块草地比小31块草地大一倍，所以在小块草地上，半队人割半天后剩下的草地 为大块草地的 。由于这剩下的一62小块地正好由一个割草队员割完，即一个割草 队员一天可割大 块草地
19、的 。而全 队人在一天中共割了大块61草地的 ，所以割草队 的总人数为 。341 861)3(我们如果利用图解法也很方便，如右 图：代数头脑分析：设割草队人数为 x，每人每天割草面 积为 a，由 题意可知：大块草地面积为： xa4312小块草地面积为： )(4x由于大块草地比小块草地大一倍，故有： )14(23xa两边都除以 （ 0），解得 x=8 答：割草队共有 8 人。a【练习答案】B 组 5.（10-2）（7-4）； 24（10-7）； 7（42）+10；等6.（1）共计 27 个（2）此图中三角形的个数多（3）数三角形的个数要掌握规律，从小到大来数有一个小三角形的有 1+3+5+7=1
20、6 个由 4 个小三角形组成的有 1+2+3+1=7 个由 9 个小三角形组成的有 1+2=3 个由 16 个小三角形组成的有 1 个316大块草地小块草地数学思维训练方法讲义 学习改变命运 思考成就未来2010 小升初暑假衔接班系列讲座 培养创新思维 开发个性潜能9如果再增加一排，会有 48 个第 2 讲 数怎么不够用了【新知讲解】1、 互为相反意义的量：在现实生活中，常会遇到这样一些问题：（1） 温度是零上 5或零下 5；（2） 盈利 400 元和亏损 300 元。它们描述的具体对象虽然不同，但其共同特点是：它们都是具有相反意义的量。生活中，具有相反意义的量无处不在，如：上升与下降，前进与
21、后退。2、 负数的表示方法：像 这样的数称为正数。它们都比零大。15,.0,.376,2 在正数前面加上“ ”号的数叫负数。如 它们都比零小。10,3,675,2 正数大于零，负数小于零，正数大于负数。3、 有理数的概念：像 这样的数称为正整数，像 这样的数称为负整数。我们把正整数、零、负1,2 1,23, 整数统称为整数。像 这样的有限小数或无限循环小数称为正分数，像 这3.,04.,2 3.1,024,1.3, 样的数称为负分数。我们把正分数和负分数统称为分数。整数和分数统称为有理数。特别注意： 是一个无限不循环小数，所以它不是正分数，当然也就不是有理数。4、 有理数的分类有两种方式：（1
22、） ； （2）正 整 数整 数 零 负 整 数有 理 数 正 分 数分 数 负 分 数 正 整 数正 有 理 数 正 分 数有 理 数 零 正 分 数负 有 理 数 负 分 数数学思维训练方法讲义 学习改变命运 思考成就未来2010 小升初暑假衔接班系列讲座 培养创新思维 开发个性潜能100 既不是正数，也不是负数；0 是正数和负数的分界；0 是最小的自然数；0 是一个整数；0 是我们在分类时很容易漏掉的数。所以，在学习这节内容时要特别注意。5、 几个重要的概念：（1） 非负有理数：正有理数和零统称为非负有理数。如 （2） 非正有理数：负有理数和零统称为非正有理数。如 （3） 非负整数：正整数
23、和零统称为非负整数。如 （4） 非正整数：负整数和零统称为非正整数。如 【典例解析】【例 1】下面两题是有关“正”和“ 负”的概念，怎样表示出来。、1、 在收入与支出两项目中，若把收入 记为正，那么 元表示什么？160（2） 在前进和后退的军训操练中，若把后退 记为负，那么 米表示什么？2【例 2】若把向北的方向规定为正， 则走 千米，走 千米，走 0 千米的意义各是什么？3.5.变式训练：1、 在小学地理图册的世界地形图上，可以看到亚洲西部地中海旁有一个死海湖，图中标着 ，表明392死海的湖面与海平面相比的高度是怎样的？ 2、 如果 元表示亏损 50 元，那么 元表示 50203、 河中水位
24、比正常水位低 0.2 米记作 米，则比正常水位高 0.1 米的水位应记作 .4、 向北走 的实际意义是 ；产品成本提高 的实际意义是 。m10%【例 3】5 袋 30kg 的面粉，在称得它 们的重量后，依次有如下记录（单位：kg）： ，你能指出其2,10.5,中装面粉最多和最少的吗？思路点拨：先由这些表示方法确定每袋面粉的重量，然后解答问题。【例 4】某水文站记录一条河流的正常水位是 28m，记录表上有 6 次记录分别为 2.1,0.5,，这 6 次记录表示的 实际水位分别是 。4,2.01变式训练：5、 测量一座桥的长度，各次测得的数据是： 。853,7268,57m（1）求这 5 次测量的
25、平均值；（2）如以求出的平均值为基准数，用正、负数表示出各次测量的数值与平均值的差。数学思维训练方法讲义 学习改变命运 思考成就未来2010 小升初暑假衔接班系列讲座 培养创新思维 开发个性潜能116、 某人在上周五股市收盘时以 7 元每股的价格购进甲种股票若干，本周内甲种股票的收盘价记录如下：星期一 星期二 星期三 星期四 星期五10.30.81.0.7（1） 周三他的股票价格是多少？（2） 本周内他的股票最高价是多少？最低价又是多少？【例 5】把下列各数分类，并填在相 应集合的大括号里：171,483.6,95,0.,23整数集合 ； 分数集合 ；正整数集合 ； 负整数集合 ；正分数集合
26、； 负分数集合 ；有理数集合 。变式训练：7、 把下列各数填在相应的大括号里： 4121,0.8,2.,093,037正有理数集合 ； 非负有理数集合 整数集合 ； 非负整数集合 【思维拓展】【例 6】某项科学研究以 45 分钟为一个时间单位，并 记每天上午 10 时为 0，10 时以前记为负，10 时以后记为正，例如：9:15 记为 ，10:45 记为 1 等，依次类推，上午 7:45 应记为（ ）1A、 B、 C、 D、3.1532.157.45【例 7】在以下说法中，正确的是（ ）A非负有理数就是正有理数 B零表示没有，不是有理数C正整数和 负整数统称为整数 D整数和分数统称为有理数【例
27、 8】冬季某天我国三城市的最高气温分别是 ，1， 把它们从高到低排列正确的是（ ）07A、 ， ，1 B、 ， ，1077数学思维训练方法讲义 学习改变命运 思考成就未来2010 小升初暑假衔接班系列讲座 培养创新思维 开发个性潜能12C、1， ， D、1， ， 07710变式训练：8、 下列语句：（1）所有整数都是正数；（2）所有正数都整数；（3）小学学过的数都是正数；（4）分数是有理数；（5）有理数中除了负数就是正数。其中错误的语句个数是（ ）A、0 个 B、1 个 C、3 个 D、4 个【分层达标训练】A 组1、 下列各组数中，不是互为相反意义的量的是（ ）A向东走 5 米和向西走 2
28、米 B收入 100 元和支出 20 元C上升 7 米和下降 5 米 D长大 1 岁和减少 2 公斤2、 在下表适当的空格里面画上“” 号；有理数 整数 分数 正整数 负分数 自然数73.14023、 温度升高 5，再升高 ，结果是（ ）5A温度升高了 10 B温度下降了 5 C温度不变 D温度下降了 104、 下列说法中正确的是（ ）A正整数、负整数统称为整数 B正分数和负分数统称为分数C零既可以是正整数，也可以是负整数 D一个有理数不是正数就是负数B 组5、 我市 2008 年元月某一天的天气预报中，宁城县的最低气温是22，克旗的最低气温是26，这一天宁城县的最低气温比克旗的最低气温高（ ）
29、A4 B4 C8 D86、 已知甲地的海拔高度是 300m，乙地的海拔高度是50m,那么甲地比乙地高 m.。数学思维训练方法讲义 学习改变命运 思考成就未来2010 小升初暑假衔接班系列讲座 培养创新思维 开发个性潜能137、 按下列规律排列的一列数对（1，2） ， （3，4） ， （5，6） ， （7，8） ，第 5 个数对是 。8、 下面的说法中 ,正确的个数是 ( )（1）一个有理数不是整数就是分数；（2）一个有理数不是正数就是负数；（3）一个整数不是正的,就是负的；（4）一个分数不是正的,就是负的。A1 B2 C3 D49、 最小的自然数是 _，最小的非负数是_，最大的负整数是 _，最
30、小的正整数_。10、 某零件的设计图纸上标明这样一个数据： mm，实际生产时，测得这个零件的实际长度是20119.8mm，这个零件合格吗？11、 二中对初三男生进行了引体向上的测试，以能做七个为标准，超过的次数用正数表示，不足的次数用负数表示，其中 8 名男生的成绩如下表：2 1 0 3 2 3 1 0（1）这 8 名男生有百分之几达到标准？（2）他们共做了多少各引体向上？第 3 讲 数轴【新知讲解】1、 数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。2、 数轴的三要素原点、正方向和单位长度缺一不可。原点是数轴上有特殊意义的点，正方向一般规定是向右的方向，单位长度可视具体情况而定。3、 数
31、轴的画法可分为四个步骤：（1）画一条水平的直线；（2）在这条直线上的适当位置取一点作为原点；（3）确定正方向，用箭头表示出来；（4）确定单位长度，用细短线画出，并对应地标注各数。4、 正有理数用原点右边的点表示（在数轴上要画出实心的小圆点），负有理数用原点左边的点表示。所有的有理数都可以在数轴上找到它的对应点。5、 相反数的意义：数学思维训练方法讲义 学习改变命运 思考成就未来2010 小升初暑假衔接班系列讲座 培养创新思维 开发个性潜能14（1） 代数意义：像 与 ， 与 这样只有符号不同的两个数，把其中一数叫做另一个数的相反313数。0 的相反数是 0。（2） 几何意义：在数轴上的原点两旁
32、，离开原点距离相等的两个点所表示的数互为相反数。（3） 求一个数的相反数就是在这个数前面添上一个负号，如 的相反数是 。aa（4） 两个数互为相反数等价于这两个数的和为 0。即若 互为相反数，则,b。反之亦成立。0ab6、 在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大。【典例解析】【例 1】 如图所画的数轴其中正确的是（ ）变式训练：如图，指出所画数轴中的错误。【例 2】 在数轴上画出表示下列各数的点，并用“ ”号把它们连接起来： 14,23.5,0变式训练：在数轴上画出表示下列各数的点，并用“ ”号把它们连接起来： 56,4.3,02【例 3】 指出数轴上 A、B、C、D 各点所表示的数
33、：数学思维训练方法讲义 学习改变命运 思考成就未来2010 小升初暑假衔接班系列讲座 培养创新思维 开发个性潜能15【例 4】 数轴上表示 的点与表示 7 的点之间的距离是多少？3【思维拓展】【例 5】 若数轴上的点 A 对应 的数是 ，那么与 A 点相距 1 个单位长度的点 B 所对应的数是多少？2.5变式训练：1、 在数轴上原点两边与原点距离相等的点中。（1） 若其中一个点表示 ，则另一个点表示的数是 ?3（2） 若其中一个点表示 ，另一个点呢?4.5（3） 若其中一个点表示 ，另一个呢?a2、 若点 A 表示 3，点 B 与点 A 的距离为 4 个单位长度，则 B 点表示的数是 。3、
34、如果数轴上的点 A 和 B 分别代表 ，P 是到点 A 或者点 B 的距离为 3 的数轴上的点，那么所有满2,1足条件的点 P 到原点的距离之和为多少？【例 6】 写出下列各数的相反数： 13,0.46,22a【例 7】 观察数轴，回答下列 问题：、1、 有没有最小的正整数？有没有最大的正整数？如果有，把它指出来。、2、 有没有最小的负整数？有没有最大的负整数？如果有，把它指出来。、3、 有没有最大的分数？如果有，把它指出来。【例 8】 已知点 A 表示 ，点 A 向右移动 5 个单位长度到点 B，则点 B 表示 ；点 B 再向左移3数学思维训练方法讲义 学习改变命运 思考成就未来2010 小
35、升初暑假衔接班系列讲座 培养创新思维 开发个性潜能16动 1 个单位长度到点 C，则点 C 表示 。【例 9】 从点 A 出发，沿数轴移动 4 个单位长度到达 B 点，则 B 点表示的数是 ；变式训练：1、 已知 A、B 是数轴上的点：（1）若点 A 表示 ，从点 A 出发，沿数轴移动 4 个单位长度到达 B 点，则 B 点表示的数是 4；（2）若将点 A 向左移动 3 个单位长度，再向右移动 5 个单位长度，这时点 A 表示的数是 0，那么点A 原来表示的数是 ；2、 若点 A 表示 ，点 B 表示 5，则点 A 和点 B 之间有 个点表示的数是整数。3【例 10】 利用数轴，找出不小于 而
36、不大于 的所有整数。35【例 11】 数轴上表示整数的点称为整点，有一数 轴的 单位长度是 1cm,若在这条数轴上随意画出一条长为 1000cm 的线段，那么这条线段盖住的整点有多少个呢？【例 12】 化简下列各数的符号： (7),5,(3.1),(2,(6),(2)变式训练：1、 数轴上标出若干个点，每相邻两点相距一个单位，点 A、B、C、D 对应的数分别是整数 ，,abcd且 ，则数轴上的原点应是 。210da2、 化简下列各数的符号： (1),5,(6),()a数学思维训练方法讲义 学习改变命运 思考成就未来2010 小升初暑假衔接班系列讲座 培养创新思维 开发个性潜能17【分层达标训练
37、】A 组1、 下列说法正确的是（ ）A、数轴上的点只能表示有理数 B、一个数只能用数轴上的一个点表示C、在 1 和 3 之间只有 2 D、在数轴上离原点 2 个单位长度的点表示的数是 22、 数轴上与原点距离为 3 的点表示的是 。3、 大于 而不大于 3 的整数有 个。.54、 用“”、 “”把它们连接起来。第 4 讲 绝对值【新知讲解】1、 绝对值的定义：一般地，数轴上表示数 的点与原点的距离叫做数 的绝对值。记作： ，读作aa|a的绝对值。如 的绝对值记作 ， 的绝对值记作a2|2747|42、 绝对值的代数意义：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0 的绝对值是 0。即()
38、|0a3、 绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离。4、 绝对值的非负性：由于距离总是正数或 0，故有理数的绝对值不可能是负数。即 |0a5、 负有理数的大小比较：两个负数比较，绝对值大的反而小。6、 负数比较大小的步骤：（1）先分别求出两个负数的绝对值；（2）比较两个绝对值的大小；数学思维训练方法讲义 学习改变命运 思考成就未来2010 小升初暑假衔接班系列讲座 培养创新思维 开发个性潜能19（3）根据“两个负数比较，绝对值大的反而小”，作出正确的判断。【典例解析】【例 1】 求下列各数的绝对值： 132,04变式训练：求 的绝对值。18,4【例 2】 已知 ,则 。
39、|3a变式训练：（1）若 ，则 。（2）若 ，则 。|4x |2|4xx【例 3】 小亮在学完绝对值后， 总结出四条规律：有理数的 绝对值 一定是正数； 如果两个数的绝对值相等，那么 这两个数相等；如果一个数是正数，那么它的绝对值是它本身； 如果一个数的绝对值等于它本身，那么它是正数。请你根据所学知识，判断这四条 规律是否正确，并 说明理由。【例 4】 比较 和 的大小10.变式训练：比较下列每组数中两个数的大小：（1） ；（2）,5(6),|【思维拓展】【例 5】 已知 ，求 值。|3|8|0ab,ab数学思维训练方法讲义 学习改变命运 思考成就未来2010 小升初暑假衔接班系列讲座 培养创
40、新思维 开发个性潜能20变式训练：已知 与 互为相反数，求 值。1|3xy1|393xy【例 6】 计算：（1） ； （2）|27|3|10.5|531|()|18【例 7】 已知 ，且 ，求 值。|7,|12xyxy,变式训练：已知 ，且 ，求 值.|4,|2abab,【例 8】 已知.如图.是有理数 a、b、c 在数轴上的位置，化简： |abc变式训练：你能求出 ( )的所有可能值吗？ba0数学思维训练方法讲义 学习改变命运 思考成就未来2010 小升初暑假衔接班系列讲座 培养创新思维 开发个性潜能21【例 9】 某车间生产一批圆形机器零件，从中抽出 6 件进行检验，比规定直径长的毫米数记
41、为正数，比规定直径短的毫米记为负数，检查记录如下：（单位：毫米）1 2 3 4 5 60.001你能用绝对值知识指出哪一个零件的质量最好，为什么?变式训练：正式比赛用的排球质量有严格的规定，选用了六个球，超过质量标准的克数记为正数，不足质量标准的克数记为负数，结果如下表(单位：克) ：第 一 只 第 二 只 第 三 只 第 四 只 第 五 只 第 六 只105182820你能用绝对值知识指出哪一个球的质量最好吗?【分层达标训练】A 组1、 的绝对值是 。22、 下列各数中，互为相反数的是( )A、 和 B、 和 C、 和 D、 和5)|3|(4)|a|3、 （1）若 ，则 。（2）若 ，则 。
42、|2|a|1|2xx4、 计算： 113496B 组1、 绝对值不大于 的整数的个数是 。2、 若 ，则 的取值范围是 |a。数学思维训练方法讲义 学习改变命运 思考成就未来2010 小升初暑假衔接班系列讲座 培养创新思维 开发个性潜能223、 若 ，则 与 的关系是( )|0ababA、 B、 与 不相等 C、 互为相反数 D、 异号,ab,ab4、 若有理数 在数轴上对应的点的位置如图,则下列结论正确的是（ ）A、 B、 C、 D、 bab5、 下列说法正确的有( )若两个数的绝对值相等，那么这两个数相等；互为相反数的两个数绝对值相等；绝对值等于本身的数是 0；两个分别在原点两旁且到原点距
43、离相等的点所表示的数一定互为相反数。A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个6、 若 ，则 (填”或”)0ab|a|b7、 绝对值大于 5 但不大于 7 的整数有_个，它们是_。8、 已知 ，且 ，求 的值。|4,|3,a9、 的绝对值是 2， 的相反数是 ， 的负倒数是 ，求 的值。ab4c210、 若 ，求 的值。|4|2|0xy|xy11、 你能说出符合下列条件的字母表示什么数吗?（1） ；（2） ；（3） ；（4）|a|a|a|a数学思维训练方法讲义 学习改变命运 思考成就未来2010 小升初暑假衔接班系列讲座 培养创新思维 开发个性潜能23第 5 讲 有理数的加法（1）【新知讲
44、解】1、 有理数的加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。（2）绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。（3）互为相反数的两数相加得 0。即：若 互为相反数，则 。,ab0ab（4）一个数同零相加，仍得这个数。即： 。0注意：加法法则指出，两个有理数相加的结果由两部分构成：先确定和的符号，再确定两数的绝对值相加或相减，以得到和的绝对值。在加法运算中，最容易错的就是符号问题，运算时要特别注意符号问题。有理数加法分三步进行： 确定类型； 确定符号； 确定绝对值。如：计算 (4)5解： （确定类型为：同号两数相加）（取原来的符号，并把绝
45、对值相加）(|)（计算绝对值）45（得出最后结果）9再如：计算 (2)6解： （确定类型为：绝对值不相等的异号两数相加）（取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去(|)较小的绝对值）(62)数学思维训练方法讲义 学习改变命运 思考成就未来2010 小升初暑假衔接班系列讲座 培养创新思维 开发个性潜能24（得出最后结果）42、 加法运算律：（1）加法交换律 ；（2）加法结合律ab()()abc注意：（1）有理数的加法运算步骤：先确定和的符号，再确定和的 绝对值；（2）在运用交换律时，应注意连 同数的符号一起交换。【典例解析】【例 1】 计算：（1） ； （2）(6)3()13变式训练：计算（1） ； （2）5(.)4(4)【例 2】 计算：（1
