1、专题 12 机械振动二三事广义地说，振动不仅存在于所有的物理现象中，在化学、生物学、气象学等许多自然科学分支中都会涉及各种各样的振动，各种不同本质的振动会有各自不同的特点，但又具有其共同性振动是一种往复性的变化。物体位置的往复变化即为机械振动。在这个专题中，我们将探究机械振动中的一些有趣的规律，这些规律中的很多都适用于其他的振动。我们知道，简谐运动是最简单、最基本的振动，任何复杂的振动总可以分解成几个简谐运动，一切振动都是若干个简谐运动合成的结果。弹簧振子、单摆（数学摆） 、复摆（物理摆） 、扭摆、沉浮子 的小幅振动都是简谐运动。简谐运动发生的动力学原因是受到一个与位移 大小成正比（线性）而方
2、向相反的回复力： ，这是振动系统做谐振x Fkx的充要条件。通常我们以此为据认定物体的振动是否属于简谐运动。【例 1】质点以角速度 沿半径为 的圆轨道做匀速圆周运动，试证明：质点 在某直径RP上的投影的运动为简谐运动。【分析与解】如图所示，将质量为 的质点 的运动正交分解为mP沿水平（ 轴）与竖直（ 轴）直径的两个分运动，质点 在水平xy直径上的投影 的运动即质点 在 方向的分运动。显然，质点Px沿圆周运动一个周期， 沿 轴向直径以 为中心往复运动完O成一个全振动。我们将质点做匀速圆周运动的合外力（即向心力）分解为 与 两个分力， 即是 做振动的回复力，它的nFxyFx方向总是指向平衡位置 而
3、与 对 的位移 相反。以位移方向O为正，容易得到。22xmRx、 均确定，我们令 ，有 ，可见， 的运动是简谐运动。m2kxFkP从上面的讨论中可知，一个匀速圆周运动可以正交分解成两个简谐运动，每个简谐运动的振幅 ，周期 ，圆频率 。若 点初始位置坐标为（ARTkm， ） ，初相位 ，则在图所示坐标中，两个分运动的振动方程为0xy0tanyx，0cos()At。0si()2yt 速度公式为， 。0in()xvt0sin()yvt加速度公式为，20co()xaAt。s2y 这是两个相位差为 的完全相同的谐振。反之，任何一个简谐运动，都可以回归于某一个2匀速圆周运动，这个圆叫做简谐运动的参考圆。利
4、用参考圆来描述简谐运动是我们常用的一种方法。【例 2】如图所示，密度为 的液体注入一弯折细管中，弯折管之两段与水平面的交角为 、 ，液柱总长为 。若对液体l的平衡状态加一扰动，则管中液柱即开始往复振动，求证：其属简谐运动并求振动周期。毛细管作用及摩擦忽略不计。【分析与解】当液体平衡被破坏而做往复运动时，整个液柱受到怎样的回复力的作用是解决问题的关键。只要找到整个液柱往复运动的回复力所遵循的规律，即可认定液柱的振动性质。先分析液柱处于平衡状态时的受力。这时，设左臂液柱长 ，右臂液柱长 。由于液1l2l体处于平衡，取弯管底部截面积为 的液片为隔离体研究其受力，两臂液柱对该液片的压S力大小相等，方向
5、相反，故有。 12sinsinlglg再假设在振动过程中，液柱沿管有一位移 ，使左臂液x柱长变为（ ） 、右臂液柱长则变为（ ） ，如图，整1lx个振动系统质量为 的液柱所需的回复力是由两管臂中lS液柱重力沿管方向的分力来提供的。其中，左臂液体重力的沿管方向分力与位移方向相同，右臂液体重力的沿管方向分力与位移方向相反。以位移方向为正，回复力为。 12()sin()sinFglxgSlx由、两式可得。令 ，可见，弯管中液柱受一与位移大小成正比而方向相反的回复(sin)kgS力的作用，故此振动属简谐运动，且由简谐运动周期公式知。2(sin)mlTkg我们看到，利用简谐振动的充要条件，在证明回复力大
6、小与位移成正比，得到回复力常数是的同时，也就求得了谐振周期。【例 3】如图所示，设想在地球表面的 、 两地之间开凿一直通隧AB道，在 处放置一小球，小球在地球引力的作用下从静止开始在隧道A内运动，忽略一切摩擦阻力。试求小球的最大速度以及小球从 到A所需时间。已知地球半径为 ，地球表面的重力加速度为 ， 和BRg之间的直线距离为 ，地球内部质量密度设为均匀，不考虑地球自L转。【分析与解】在专题 中，我们介绍了牛顿证明过的一个结论：对于一个质量均匀半径为1的实心球，在距球心 （ ）处质点只受半径为 的球内质量的万有引力，而 以外Rrrr球壳（即 为外径 为内径的球壳）则对质点无引力的作用。若均匀球
7、质量为 ，则距球M心 处所置质点受到的引力大小r，3MmFGR与 成正比。这里，我们将证明，小球在隧道 中的运动是简谐运动，这只须证明小球在隧道中AB受线性回复力。如图所示，设地心到隧道的距离为 ，取隧道中点为坐标原点 ，当小球dO的位置矢量为 时，所受引力大小为x。23FxR此力沿隧道方向的分力为。23 32xMmMmgFGxdGxRR可见小球在隧道中受到大小与位移成正比而方向相反的回复力作用，它使小球在隧道中做简谐运动，回复力常数 ，振幅 ，圆频率 。mgkR2LAgR由于小球的运动方式为谐振，从 点由静止出发穿越隧道到达 点历时恰为半个周期，B即。tkg关注一下这个结论可以发现，穿越地球
8、隧道的时间是一个定值，与隧道长度并无关系，而这个时间又是近地卫星绕地球半周所需时间：第一宇宙速度 ，1vgR。这个有趣的巧合并非偶然，而正说明近地卫星的匀速圆周运动与小球沿1Rtvg隧道的简谐运动的相关性。小球的最大速度出现在过 点时O。max2LgvAR若以谐振的平衡位置 为零势能位置，小球振动的总能量。2ax11EkA本题中，当小球运动到隧道两端时，在 点处的动能全部转化为势能，大小为O。22()8pgLR【例 4】力心 、 相距 ，一质量为 的质点受与距ABlm离平方成反比的有心斥力作用而平衡于两点连线上的点，若将质点稍稍偏离其原平衡位置，试确定其运O动情况。【分析与解】如图所示，设力心
9、 、 所施平方反比力之比例系数为 、 ，则质点在ABKk点时的受力满足 ，式中 、 为 点到力心 、 的距离2KkRrrOAB， 。lkkl现取质点对 有一小位移 ，此时 、 对质点的斥力大小分别为OxAB；22(1)()KxFRxR；Bkr考虑到小幅振动， 远小于 、 ，运用牛顿二项式展开 与 ，舍去高阶x 2()x2(1)r小量而取前两项得； 。2(1)AKxFR2(1)BkFr那么，质点所受合力，2223()()()B KkxRr注意到 ，则2KkRr。433()2()2KkkFxxRrKl可见质点受一线性回复力作用，故而做简谐运动，因回复力常数为 ，则谐43()2kl振周期为。4232
10、()()mlTmlkKkkl单摆在做小幅振动、回复力可视为 时，亦为谐振，其周期 。gFxl 2lTg式中， 即摆长， 是重力加速度。一个形式复杂的摆动实体，如若它的动力学描述及运lg动基本形态类同于单摆，我们便可以通过适当的变换，使它与某一理想单摆等效而成为一个等效单摆，这时等效单摆的周期可运用公式 求得。2lTg通常寻求单摆等效的途径有三条：考察提供回复力的是重力的哪一部分，或还有其他何种力参与提供回复力，以确定单摆周期公式中 的等效值寻求等效的 。g考察摆球运动围绕哪个中心，即等效的悬点何在，以确定摆长 的等效值寻求等l效的 。l考察等效摆振动的圆频率 ，由于 ，便可确定等效的 寻求等效
11、的 。2glg下面，我们对每种情况给出示例，展示这三种等效过程的特色与操作方法。确定等效的重力加速度 。g【例 5】如图，摆线长为 的单摆悬于架上，架固定于小车。使l小车沿倾角为 的斜面以加速度 做匀加速运动，求此时单摆振a动的周期。【分析与解】摆球在线绳拉力及重力作用下，同时做沿斜面方向、加速度为 的匀加速运动和对悬点 的摆动。以加速下滑的小车aO为参考系，在振动的平衡位置时，小球受到重力 、绳拉力 、mgTF及惯性力 ，如图。由三力平衡，得iFm。202cos(9)sinTgaag与理想摆相比较，此单摆摆动过程中的回复力就是由 的切向分力来提供的，等效的 ，于是该摆周期为2ing 2sin
12、lTag容易得到，若小车加速度沿斜面向上，则。2sil由上，确定等效的 的操作方法是g确定摆球振动的平衡位置；确定摆在此位置时摆线上的力 ；TF等效的重力加速度 。gm确定等效悬点及摆长 。l【例 6】如图，光滑的细杆组成夹角为 的人字架。一根长度为 的轻线套l在架子上，线的两端共系一个重球 ，架竖直放置，试求重球在人字架平C面内做小振动的周期。【分析与解】在图所示位置时，重球在重力及两边线拉，力作、用下平衡，显然，重力及两线拉力的合力作用线过人字架顶点 ，故推测 点可等效为O悬点，而 为等效的摆长。摆球在人字架平面内的小幅振动是在重力与两OC线拉力作用下发生的，其动力学机制与单摆相同，本题难
13、点在确定重球摆动中与 点的距离始终等于 。首先，应注意到根据题给条件，不管摆球在什么位置，套在光滑杆上的两边线与杆所成的角总相等，如图所示。因为两边线上等大力的合力必垂直于杆，否则线不可能平衡。考察球在初始位置 时，取 关于两杆对称位置 、 ，如图所C1C2示。由于前述两线与杆所成角度相同， 、 与线、杆相套点 、12A在一直线，且 ， ， 。B12l12O12O是顶角为 、底边长 的等腰三角形。12CO当摆球处于振动中任一位置 ，同样地，取 关于两杆的对称位置 、 ，如图， 、 连线也必过此时线、杆相套点 、 ，且1C2 B， ， ， 仍是顶角为12l212C12、底边长 的等腰三角形，与
14、全等，可见 ，即摆球在摆动过程中，到 点的距离是确定的，始终等于 ，则 点等效OO为悬点，而 等效为摆长的推测成立。由图可知，等效摆长即 腰长，故 ，于是我们求得重球做小振幅振122sinl动时的周期 。2sinlTg【例 7】如图，秋千的一根绳子的固定点 比另一根绳的固定点A高 ，秋千两根支架相距为 ，两根绳子长度分别是 和 ，并且Bba1l2。试求人坐在这样的秋千上小摇荡的周期。 （人的大221la小与上述长度相比可忽略不计）【分析与解】秋千振动时，人与两绳构成的面绕过 、 的轴摆动，B像这类关于固定轴的小幅振动，事实上可以用一系列相互等效的单摆来等效替代。如图所示，这些单摆的等效悬点可以
15、取轴上的任意一点，因为摆球的振动是对固定轴上所有点发生的，这些单摆的等效摆长也就相应地取等效悬点到摆球球心的距离，显然，其长度在振动过程中不会变。当我们把固定轴上某一点视作等效悬点时，尚须等效变换重力加速度 ：将重力在竖直面内沿平行于转轴方向及等效摆线（悬g点到摆球的平衡位置 ）的方向分解，前者不影响振动，后者的切向分力提供该悬点、摆C长下振动的回复力。在所有可行的等效悬点中， 点是一个特殊的点：重力就在 方向OOC上，当我们取 为等效悬点、 为等效摆长时，重力加速度 无须作等效变换，只要确Og定等效摆长，即可确定摆的周期。这当然是最妙的等效操作法了。回到秋千。如图，取秋千处于平衡位置 ，连接
16、秋千绳的C两个固定点 、 ，将秋千所受重力作用线反向延长与 交ABAB于 点，取 点为秋千摆的等效悬点， 点到秋千平衡位置OO的距离 为等效单摆摆长 ，由几何关系得 到 的距Cl离为 ， ，则秋千小幅摆动的周12lxab12cosxla期 。lTg在有多个可等效的悬点、摆长时，首选等效悬点及摆长的操作是连接两悬点的直线为转轴；摆球所受重力作用线反向延长与转轴的交点为首选等效悬点；取首选等效悬点与摆球间的距离为等效摆长 。l确定等效的 。lg【例 8】如图，摆球质量为 ，凹形滑块质量为 ，摆长为 。 与 、mMlm与水平面之间光滑，令摆线偏转很小角度后，从静止释放，求系统的振M动周期 。T【分析
17、与解】本题中，加上一个凹形滑块后，振动系统欲等效为某理想摆，即要考虑等效 值，又要考虑等效摆长，故我们可循第三条途径寻求其g圆频率与理想单摆圆频率的关系以期求解。未放凹形滑块的单摆，是以圆频率 振动的，设振幅（即参考圆半径）为 ，glA最大偏角为 （ ） ，由系统振动能量守恒，有Al。 21(cos)()mglA现设想带有凹形滑块的异形摆以同样的振幅做圆频率为 的振动，则有。 2(1)()lM比较、两式，可得，2m。()gl即该摆等效于圆频率为 的理想单摆，则周期为()mgMl。()2mlTg【例 9】一个单摆，由一根刚性轻杆和杆端质量为 的重物组成，做小振幅的自由振动。如果在杆上某点再固定一
18、个和杆端重物质量相同的重物，使原单摆变成一个异形复摆，其振动周期最多改变百分之几？【分析与解】本题中摆的周期也须通过寻求等效的圆频率来确定。设未加另一质量亦为 的重物时，单摆圆频率为 ，振幅为 ，最大偏角为 ，以mA表示杆长，应有l。 21(cos)()glm设复摆以同样的振幅做圆频率为 的振动，另一重物位置在杆悬挂端下 处，其振幅应为 x，则有xAl。 221(1cos)(cos)()()mglgxmAl比较、两式，得。2lx则 ， 。2()Tlx1()Tl现在来求 的最值，2222()()lllxxllxlx该式当 ， 时有最小值 ，故 的最大值为l1l(1)T，即异形复摆振动周期最多改变
19、约 。12()0.899%归纳以上两例，当一个振动系统的动力学原因和表观均较单摆有变异、因而难以单独地确定等效的 值或 值时，可以通过对圆频率这个表征单摆运动的重要参量，利用参考gl圆，利用谐振中能量守恒来寻求等效，从而解决单摆振动周期公式中 这个因子的取值。lg关于复摆的更多内容，我们将在专题 中进行研究。以下我14们讨论振动的动力学问题【例 10】如图，质量为 的小平板固定在劲度系数为 的轻弹簧Mk上，弹簧的另一端固定在地上，有一质量为 的小球沿入射角m方向以速度 射向小平板，并发生完全弹性碰撞。忽略一切摩擦，0v求碰撞后小平板的振动方程。【分析与解】为了得到小平板的振动方程，我们需要确定
20、平板做简谐运动的振幅、圆频率与初相位。平板振动的圆频率即 ；由于碰撞发生在板的平衡位置，可知其振动的初k相位为 ；根据小球与平板所发生的完全弹性碰撞的规律，可以求出平板开始振动的初速2度，再由能量守恒关系，求出平板下降的最大高度即其振幅 。A球对板的入射速度为 ，方向与竖直成 角，设球与板碰后速0v度变为 ，平板获得速度为 ，球离开板的速度大小为 ，方向遵vVv守反射定律，亦与竖直成 角，根据弹性碰撞规律，各速度矢量间关系如图所示，由图得，0sinxv。coy又由动能守恒，得 。2222220 001111()(si)(cos)xymvvMVmvvVM解得 。02cosmVvM此后根据平板开始
21、在竖直方向做简谐运动，机械能守恒，当速度为零时，板有最大位移 ，A有，2201cos1()2mvkA则振幅为 。0cos()vAk于是可得平板振动方程为。02cos()2Mkxtm【例 11】如图所示，小车质量 ，由静止开始沿倾角4kg的斜面自 高处滑下，与一弹簧缓冲器相碰而自由035h振动，然后又冲上斜面。若缓冲器弹簧的劲度系数 。10/kNm求缓冲器弹簧的最大压缩量及小车被缓冲的时间。【分析与解】小车从 高处滑下，以 的速2vhs度与缓冲器相碰，继而压缩弹簧到最低点，而后被弹簧重新推上斜面，将车与弹簧接触过程视作自由振动，这个振动的圆频率为 ，若小车在平衡位置时弹簧压缩量为 ，则kM0x。
22、以平衡位置为零势能位置，能量关系满足0sinMgxk。22011vkxV式中 为过平衡位置时小车具有的最大速度，由此式解得V。2sin.5/gVhmsk若设振幅为 ，则由 ，可得A2si2/Msk弹簧的最大压缩量。0.xA缓冲时间也就是小车简谐运动历时。这里要注意，小车与弹簧从相碰到分离并不是一个整周期，我们利用参考圆来分析，如图，以沿斜面向上为 轴正方向，小车刚碰着弹簧开始振动的位置距坐x标原点（平衡位置）为 ，相位为 ，00。于是可求出缓冲过程总共历时001arcosrcsA。02.7Mt sk振幅随时间而减小的振动称为阻尼振动，阻尼振动也就是能量减少的振动。能量减少的方式通常为摩擦阻力的
23、存在使振动能量转变为热以及振动能量以波的形式向四周辐射。摩擦阻力中一般以粘滞阻力最重要。在速度不大时，振动物体受到的粘滞阻力与速度成正比： ， 称为阻力系数，由介质的性质和振动物体的形状所决定。在有阻力的情况fv下，物体振动所受力为在线性力 上增加一个力 ，相应地振动圆频率将由固有圆频率kxf变为 ， 与 有 的关系，式中 称做阻尼因数 。阻尼0km0220()m2振动的振幅随时间逐渐减小，相隔一个周期 的两个相继振幅的比值为 ， 称做对TTe数减缩。阻尼振动的周期保持定值，只是较无阻尼时长 。20【例 12】用如图所示的实验装置可以测定液体的粘滞系数：在弹簧上悬挂一薄板 ，测定它在空气中的周
24、期 ，然后把薄板放在欲测粘滞系数的液体中，A0令其振动，测定周期 。已知薄板质量为 ，表面积为 ，液体的粘滞阻力TmS， 为运动速度。确定液体的粘滞系数。2fSv【分析与解】粘滞阻力 ，则薄板在液体中减幅振动的阻尼因数2fSv，由周期公式，m及 ，220()TSm0T得 ，0220()TSm即 。2002()()T由此可得 。20S1、如图所示，甲、乙二摆球质量分别为 、 ，以不计质量的硬杆将二摆球Mm连接在一起，甲球摆长为 ，乙球摆线很长，两球在同一水平面上静止。现使之l做小振幅的摆动，它的周期是_。2、三根长度均为 ，质量均匀的直杆，构成一正三角形框架 ， 点悬挂在2.0lm ABC一光滑
25、水平转轴上，整个框架可绕转轴转动，杆 是一导轨，一电动玩具松鼠可在导轨AB上运动，如图所示，现观察到松鼠正在导轨上运动而框架却静止不动，试论证松鼠的运动是一种什么样的运动并作描述。3、长度为 的轻铁杆，一端固定在理想的铰链上，另一端搁在劲度系数为是的弹簧上，杆L上有一质量为 的重物，如图所示。试确定铁杆做小振动的周期与重物在杆上的位置之关m系。4、如图所示，质量为 的均匀长木板水平地置于两个匀速反向转动的轮上。设轮与木板m间摩擦因数为 ，两轮间距离 ，平衡时长木板重心在 处。若将木板稍稍拉过一小段后l 2l放手，则木板将在轮上做往复振动，这种振动是简谐运动吗？若是，求其周期。5、如图所示，质量
26、为 的均匀木板对称地放在两个滚柱上，两滚柱轴线间的距离为 ，其m l中一个滚柱和板之间摩擦因数为 ，而在另一个滚柱上，板可无摩擦地滑动。用一劲度系数为是的弹簧将板连接在竖直墙壁上，当板处于平衡位置时，使不光滑的滚柱快速旋转起来。问动摩擦因数 为多大，木板相对平衡位置有了位移后可做简谐运动？振动的圆频率是多少？6、某栋高层大楼的电梯服务员是位一丝不苟的人，他为按时结束一天的工作，把一台准确的摆钟挂在电梯的壁上。电梯向上加速和向下加速的时间相同，加速度大小也相同。试问电梯服务员是按时结束工作，还是超时或提早了呢？7、轻硬杆的一端带有重物，另一端用铰链固定在墙上 点，杆可以向各个方向转动，如A图所示
27、。一根长度为 的不可伸长的线沿竖直方向系在杆的中点，以保持杆处于水平位置。l使重物具有垂直图面方向的动量，试求系统小振动的周期 。T8、如图是一种记录地震的仪器倾斜摆的示意图。摆球 固定在边长为 、质量可忽略的ml等边三角形框架 上，可绕 杆摆动， 杆和竖直墙夹角为 。求摆球做微小摆ABCAB动的周期。9、在天花板下用两根长度同为 的轻绳吊一质量为 的光滑匀质木板，板中央有一质量lM为 的小滑块，如图所示。开始时系统静止，然后使板有一个水平的横向小速度 ，试求m 0v振动周期。10、数学摆是由长度为 的轻杆，一个固定在杆的自由端上的小铅球所组成。现在，在杆l上套一粒同铅球质量相等的小球，它可以
28、沿着杆中点的水平线自由地滑动，如图所示。试求这种摆小振动的周期，摩擦不计。11、如图所示，质量为 、长为 的均匀细刚性杆一端悬挂，可在竖直平面内绕悬点ML无摩擦地摆动。质量为 的小虫相对杆以速度 缓慢地沿杆向下爬行。开始时，O3mv杆静止并与竖直线成一个小角度 ，小虫位于杆上端悬点处。释放杆，杆开始摆动，小虫0开始爬行，试求小虫沿杆爬行距离时，杆振动的圆频率；小虫爬行到杆下端时，系统的能量减为初时的 ，求杆的摆动幅度 。56t12、一质量为 、半径为 的圆板用三根长均为 的细线悬于天花板上，连接点恰好三等mrl分圆板的圆周，如图所示。若圆板绕过其中心 的铅直轴做微小转动，试求其周期。O13、细
29、轴环用铰链固定于 点，开始这样放置轴环，使它的质心位于 点正上方，如图所AA示。此后轴环自由下落，经时间 ，轴环的质心处于最低位置。有一摆是小重球0.5s固定在轻硬杆上，杆的长度等于轴环的半径，如果开始小球处于最高位置并自由落下，B试问此摆经过多少时间 返回到下面的平衡位置。t14、如图所示，半径为 的细圆环，其质量与固定在其上的两个相同小重物相比可忽略不R计。在环上与两小重物等距处钻个孔，将孔穿过墙壁上的钉子而把环悬挂起来，使环可以在 竖直平面内无能量损失地做微小简谐振动（象摆一样） 。两小重物的位置关系可以用它们之间的角距离 表征。试求该摆的振动周期 及其随 变化的图线。2T15、质量为
30、的物体做简谐运动，振幅为 ，周期为 ；当 时坐标为 。10g24cm4s0t24cm试求：当 时物体的位置；当 时作用在物体上力的大小和方向；物.5ts0.5ts体从初位置到 处所需的最短时间；当 时物体的速度。2xcm1xc16、一物体在水平面上做简谐运动，振幅为 ，当物体离开平衡位置 时，速度为10cm6cm。24/cms问周期是多少？当速度为 时，位移是多少？12/cs如果在振动的物体上加一小物体，当运动到路程的末端时，小物体相对于物块刚要开始滑动，求它们之间的摩擦因数？17、两个系统，每个都是由两个质量均为 的相同物体组成，两物体间用劲度系数为 的mk弹簧相连。两系统以大小相同的恒定速
31、度 相向运动。某时刻，将相碰的两物体间距离 ，v L如图所示。问经过多少时间后，这两物体间的距离又等于 ？设碰撞是完全弹性的。L18、平台 的质量为 ，由劲度系数为 的轻弹簧来支持。弹簧上端与 相连，下端与地AmkA面相连，物块 的质量也是 ，自由地放在平台中心，现用竖直向下的力B把弹簧压下（仍在弹性限度内） ，如图所示，并在系统静止时撤去外力，24Fg求此后 、 的运动情况及两者各自到达的最大高度。19、在盛密度为 的液体的大容器中放入一只底面积为 的小圆柱形容器，在这个容器的1S底部又插入一根细导流管，如图所示。两只容器壁均静止不动，在小的容器中注入密度为（ ）的染了颜色的液体，使其高度至 ，以使与外面容器的液面相平。然后打开21H细管上端，可以看到重液通过细管流入大容器并沉入底部，但经过一段时间轻液开始进入小容器中，以后这个过程重复地进行着。如果假设液体不会混合且表面张力不计，试求第一次从小容器里流出的重液的质量 是多少？在以后每次循环中，流进小容器的轻液的1m质量 和从小容器里流出的重液的质量 各是多少？nmk20、在弹簧上悬挂重 的物体。当无阻力时，物体振动周期 ，而在阻力与速6kg 0.4Ts度成正比时，其周期为 ，试求当振动速度为 时所受的阻力大小。10.5Ts1/cms
