1、线性代数知识矩阵的相关内容,北京外国语大学国际商学院蔡连侨,线性代数知识,矩阵（Matrix） 的概念矩阵的运算几种特殊的矩阵向量（Vector）的概念矩阵的性质,矩阵（Matrix） 的概念,矩阵A matrix is a rectangular array of number/一组数排成矩形阵列，称为矩阵横的一排称为行（row），竖的一排称为列（column）m行n列的矩阵称mn矩阵，矩阵中的数aij称为矩阵的元素（element），矩阵A一般简记为(aij ) mnnn矩阵也称为n阶方阵，a11 ，a22 ，ann称为矩阵主对角线的元素,矩阵的运算,数值可以加、减、乘、除，对于矩阵是否有
2、相应的运算呢？A=(aij)mn，B=(bij)pq矩阵的相等(=)A=B aij=bij，for all i and jm=p，n=q矩阵的加(+)A+B = (aij+bij) mnm=p，n=q,矩阵的运算,矩阵的减(-)A-B = (aij-bij) mnm=p，n=q矩阵的数乘（multiply a matrix by a number）kA = (kaij) mn,矩阵的运算,矩阵的乘()p=nAB是mq矩阵 nAB = (aikbkj) mq i=1此时BA没有定义，即使BA有定义，一般情况下BA也不等于AB，甚至行数和列数也不同,矩阵的运算,例如又如,矩阵的运算,矩阵乘法的应用
3、例子 2x1 x2 + 5x3 + x4 = 20 x1 + 5x2 + 4x3 + 5x4 = 30 3x1 + x2 - 6x3 + 2x4 = 20 可写为 AX = b,矩阵的运算,矩阵的除法没有定义矩阵的运算律A + B = B + A(A + B) + C = A + (B + C)A(B + C) = AB + ACA(BC) = (AB)C矩阵的转置（Transpose Operation）AT or A,几种特殊的矩阵,在数的运算中，有两个特殊的数0和1，那么在矩阵的运算中是否也有类似作用的矩阵呢？单位阵（Identity Matrix）一般用 I 或 E 表示是方阵（m=n
4、），对角线元素为1，其余为0对任意矩阵A，有 A I = A = I A,几种特殊的矩阵,零阵（Null Matrix）一般用 O 表示是方阵（m=n），所有元素为0对任意矩阵A，有A+O=A，AA=O，OA=O=AO,几种特殊的矩阵,对角阵一般用 D 表示是方阵（m=n），对角线以外的元素都为0数量矩阵：对角线元素相同的对角阵上三角形矩阵：对角线下方元素都为0的方阵下三角形矩阵：对角线上方元素都为0的方阵,几种特殊的矩阵,分块矩阵、子阵（submatrix）,向量（Vector）的概念,只有1行或1列的矩阵一般称为向量，按行排列称为行向量（row vector），按列排列称列向量（colum
5、n vector），矩阵的行（列）也可称行（列）向量向量的元素个数称为向量的维数为了表示方便，列向量用行向量的转置来表示元素均为0的向量称为0向量（null vector）,向量（Vector）的概念,向量的线性相关（linearly dependent）与线性无关（ linearly independent ）对于一组向量x1, x2, , xm，如果存在一组不全为0的数c1, c2, , cm，使得 c1x1 + c2x2 + + cmxm = 0，则称这组向量线性相关；否则称这组向量线性无关例如， x1= 1，1，1， x2= 0，1，1，x3= 2，5，5，由于 x3= 2x1+3x2
6、，称x1, x2, x3是线性相关的几个性质包含0向量的向量组一定线性相关向量组中如果有两个向量相等，则向量组线性相关如果某向量组线性相关，则再添加若干向量后的向量组仍线性相关；如果某向量组线性无关，则其中部分向量组成的向量组必定线性无关,向量（Vector）的概念,向量组的秩（Rank）向量组中线性无关的向量的最大个数称为该向量组的秩例如，向量组x1= 1, 1, 1，x2= 0, 1, 1，x3= 2, 5, 5，由于x1, x2, x3是线性相关的，而x1, x2是线性无关的，因此该向量组的秩为2基向量（basis）向量组中的线性无关的一个子向量组，如果其他的向量都是该子向量组中的向量的
7、线性组合，则称该子向量组中的向量为该向量组的基向量，该子向量组为该向量组的基定理向量组中线性无关的r个向量组成的子向量组称为基当且仅当该子向量组的秩为r,矩阵的性质,矩阵的行秩（Row Rank）和列秩（Column Rank）矩阵的列向量组成的向量组的秩称为该矩阵的列秩；矩阵的行向量组成的向量组的秩称为该矩阵的行秩定理矩阵的行秩和列秩一定相等矩阵的秩（Rank）矩阵的行秩和列秩相等，也称为矩阵的秩,矩阵的性质,对于数k存在倒数k-1=1/k，使得k k-1 = 1 = k-1 k，那么对矩阵A是否也存在A-1，使得A A-1= I = A-1A呢？只有方阵A才有可能存在A-1，满足上式定义：
8、如果矩阵的秩等于其行数以及列数，则称该矩阵为非奇异的（nonsingular）或满秩，否则称该矩阵为奇异的（singular）定理如果A是非奇异的，则存在惟一的非奇异矩阵A-1 ，称为矩阵A的逆矩阵(Inverse)，满足AA-1=I=A-1A，A为可逆矩阵如果A是非奇异的，且矩阵B满足AB=I或BA=I，则B=A-1只有非奇异矩阵才有逆矩阵,矩阵的性质,例如对于方程组Ax = b ，如果A是非奇异的（或称可逆矩阵），方程组的解为x =A-1b,矩阵的性质,矩阵的初等行变换矩阵的两行互调位置矩阵的某一行乘以某个数k矩阵的某一行加上（减去）另一行的k倍可以利用矩阵的行变换求解线性方程组例如：方程组 2x1 x2 + 5x3 = 20 x1 + 5x2 + 4x3 = 30 3x1 + x2 - 6x3 = 20,矩阵的性质,
