1、第一章 多项式（ * * ）一、复习指导：多项式这一章节在历年真题中只出现过一次，近几年考中的频率比较低，但是根据 2015 年的真题多项式这一章节考到过一次，并且分值占了 20 分。所以，我们要把多项式这一章也掌握全面，作为次重点章节来复习。其中需要着重掌握：判断多项式的不可约性，多项式的整除，公因式，素数，互素。二、考点精讲：（一） 多项式的定义和运算1.多项式的定义令 R 是一个数环,并且 R 含有数 1,因而 R 含有全体整数.在这一章里,凡是说到数环,都作这样的约定,不再每次重复。先讨论R上一元多项式定义 1：数环 R 上一个文字 x 的多项式或一元多项式指的是形式表达式， （） n
2、xaa,20这里 n 是非负整数而 都是 R 中的数. 在多项式(1)中, 叫做零次,210 0a项或常数项, 叫做一次项, 一般, 叫做 i 次 项, 叫做 i 次项的系数. 一元多项1 i ia式常用符号 f(x),g(x),来表示 . 2.相等多项式定义2：若是数环 R 上两个一元多项式 f(x)和 g(x)有完全相同的项,或者只 差一些系数为零的项,那么 f(x)和 g(x)说是相等;f (x)=g(x) 非负整数 n 叫做多项式 ,( )的次数 。nxaxa,2100系数全为零的多项式没有次数,这个多项式叫做零多项式。按照定义2,零多项式总可以记为 0.以后谈到多项式 f(x)的次数
3、时,总假定 f(x)0. 多项式的次数有时就简单地记作. xf03.多项式的运算（1）多项式加法， 是数环 R 上两个多项式，nxaaf10mxbbg10并且设 mn ，多项式 f(x)与 g(x)的和 f(x)+g(x)指的是： ，这里当 m0)次多项式 f(x)都可以分解成 Fx的不可约多项式的乘积.令 f(x)是 Fx的一个次数大于零的多项式，并且xqxpxpxf sr 2121此处 与 q j (x)(i=1,2,r ;j=1,2,，s)都是 Fx的不可约多项式。那么 ir=s，并且适当调后使 , i=1,2,r, cii此处 是 F 的不为零的元素。换句话说，如果不计零次因式的差异，
4、多项式f（x）ic分解成不可约因式乘积的分解式是唯一的. 3.利用多项式的典型分解式求两个多项式的最大公因式令 f(x)与 g(x)是F(x)中两个次数大于零的多项式.假定它们的典型分解式有 r 个共同的不可约因式： ，srr kkkk xqxpaxf 11 trr llllbg_其中每一 不等于任何， ，令 是srixqi ,1,trjxqj ,1_im与 两自然数中较小的一个(i=1,2, ,r)，那么 ikl就是 f(x)与 g(x)的最大公因式 .rmmxppd21（五） 重因式1. 设p(x)是f(x)多项式的一个k( )重因式. 那么p(x)是 f(x) 的导数的一个 k-1 重1k因式. 特别，多项式 f(x)的单因式不是 f(x)的导数的因式. 2. 多项式 f(x)没有重因式的充要条件是 f(x)与它的导数 互素xf3. 多项式重因式的求法： 首先，用以上方法判断多项式 f(x)是否有重因式，即求出（f(x), ）=d(x)；f其次，用 d(x)除f(x)所得商式为，xpxapgt21其中 g(x) 没有重因式，g(x)与 f(x)含有完全相同的不可约因式；然后,求g(x)的不可约因式，这样不难求出其在 f(x)中的重数.
