1、 WORD 整理版优质参考资料习题一1、取 3.14,3.15， ， 作为 的近似值，求各自的绝对误差，相72135对误差和有效数字的位数。解： 4.31x3120所以， 有三位有效数字1绝对误差： ，相对误差：4.e 14.3re绝对误差限： ，相对误差限：210 213062r21122 050847015.3 x所以， 有两位有效数字2绝对误差： ，相对误差：15.3e .3re绝对误差限： ，相对误差限：0 106r31222 05.1.01645.02.7 x所以， 有三位有效数字3x绝对误差： ，相对误差：7e 7re绝对误差限： ，相对误差限：210 2106r135x 7166
2、05.1.032.0.0 所以， 有七位有效数字4x绝对误差： ，相对误差：135e 3reWORD 整理版优质参考资料绝对误差限： ，相对误差限：6102 610r3、下列各数都是对准确数四舍五入后得到的近似数，试分别指出它们的绝对误差限和相对误差限，有效数字的位数。 50,.31,05.,031. 421 xxx解： m=-1035.1x314*2所以，n=3， 有三位有效数字1x绝对误差限： 40，相对误差： 21062nram=03015.2x4042*12所以，n=4， 有四位有效数字x绝对误差限： ，相对误差： 4 31062nram=250.31x422*10所以，n=4， 有四
3、位有效数字x绝对误差限： ，相对误差： 2 31062nram=4504x404*12所以，n=4， 有四位有效数字x绝对误差限： ，5.0相对误差： 2311022nra4、计算 的近似值，使其相对误差不超过 。10 %.解：设取 位有效数字，由定理 1.1 知，n 1nra由 ，所以，362.31a由题意，应使 ，即%.01n 306n所以，n=4，即 的近似值取 4 位有效数字10近似值 62.3xWORD 整理版优质参考资料6、在机器数系下 中取三个数 ，),810(ULF41023758.0x， ，试按 和 两237849.0y 21367.z zy)()(zyx种算法计算 的值，并
4、将结果与精确结果比较。yx解： 32222241064.01064. 3783785 103678.0)9(.01.) 3 334 22106472.05810683 )10678.9.(21.)(zyx32 224106472.058 103678.01678493 zyx所以， 比 精确，且 与 相同；)(zyxzyx)( )(zyxzyx因此，在做三个以上的数相加时，需要考虑相加的两个同号数的阶数尽量接近。8、对于有效数 ， ， ，估计下列算式的相105.3x01.2x0.3x对误差限。 ， ，21y1y2y解： ，m=1;.1x413* 0所以 312)(x同理 32033102)(x
5、或31)(xe 5.)(11er 3102)(xrWORD 整理版优质参考资料或3210)(xe 01.2)(31xer 021)(xr或33)( .)(333er 33)(r所以，32121321) xeexxer 3321 04975.()( yr )()()() 321212 xe rrrrrr所以， 506.2er )()()( 3233 xxyrrr 所以， .er综合得： ， ，31104975)(y 5016.)(2yr50.)(3yr9、试改变下列表达式，使其结果比较精确（其中 表示 x 充分1x接近 0， 表示 充分大） 。xx（1） ，21ln21（2） ，（3） ，xx（
6、4） ，cos110且（5） ，xt且答案：（1） ；（3） ，21lnxx332（4）法一：用 得出结果为：cos1法二： xxxsincosin)0(1c或 2tan)cos(2insio2xxWORD 整理版优质参考资料12、试给出一种计算积分 近似值的稳定性递推算法dxeInn10解：显然， In0,n=1,2,当 n=1 时，得， xI10当 n2 时，由分部积分可得：，n=2,3,110nxnIdeI另外，还有： 1100ndxex由递推关系 In=1-nIn-1，可得计算积分序列 的两种算法：nI n=2,31nII ，,.321下面比较两种算法的稳定性若已知 的一个近似值 ，则
7、实际算得的 的近似值为1nI1nInI1n所以， )(1nnII1nI由此可以看出 的误差放大 n 倍传到了 ，误差传播速度逐nI nI步放大由 计算 nI1n 1,1 NIIn若已知 的一个近似值是 ，则实际计算的 的近似值为nInII1所以， )(1nnII由此可以看出 的误差将缩小 n 倍传到了 ，误差传播速度nI nI逐步衰减。综上可看出，计算积分 的一种稳定性算法为dxeIn10.1,2,1 NInWORD 整理版优质参考资料习题二1、利用二分法求方程 3，4内的根，精确到 ，07423sx 310即误差不超过 。102解：令 )(3xxf， ，说明在3，4内有根，094(f利用二分
8、法计算步骤得出 ，621.10 6321859.1满足精度要求30 08. xab所以， ，共用二分法迭代 11 次。31*2、证明 在0,1内有一个根，使用二分法求误差不大于sin的根。410证明：令 xxfsi1)(，0n;0f所以， )(由零点定理知， 在0,1内有一根xf根据计算得出： ，此时共迭代 15 次。9823.015*4、将一元非线性方程 写成收敛的迭代公式，并求其在cos2xe附近的根，精确到 。5.0x0解：令 xefcs)(令 =0，得到两种迭代格式x)cos2ln(ar1xex ，不满足收敛定理。21)xeWORD 整理版优质参考资料 xxtancos2i)(，满足收
9、敛定理10872.)5.02 由方程写出收敛的迭代公式为 )cos2ln(1kkxx取初值为 ，得出近似根为：5.0x 6930741.*5、为方程 在 附近的一个根，设方程改写为下列等1235.0x价形式，并建立相应的迭代公式：（1） ，迭代公式 ；2x21kkx（2） ，迭代公式13 3/11)(k（3） ，迭代公式2x2/1)(kkx解：（1）利用局部收敛定理判断收敛性，判断初值 附近的局5.10x部收敛（2）局部收敛（3）不满足局部收敛条件但由于 ，所以 比 收敛的慢)(.)(21x )(1x)(2取第二种迭代格式 3/2kk取初值 ，迭代 9 次得5.0x 46.9*x7、用牛顿法求
10、解 在初始值 临近的一个正根，要求0130。31kx解：令 )(xf由牛顿迭代法知： )1(3)21 kkkxfx迭代结果为：WORD 整理版优质参考资料k0 1 2 3kx2 1.88889 1.87945 1.87939满足了精度要求， 8793.13*x8、用牛顿法解方程 ，导出计算 C 的倒数而不用除法的一种0C简单迭代公式，用此公式求 0.324 的倒数，设初始值 ，要求计30x算结果有 5 位有效数字。解： 32.01)(xf，由牛顿迭代公式2f )(1kkxfx迭代结果为： k0 1 2 3kx3 3.084 3.086418 3.086420满足精度要求 0864.3*x所以，
11、0.324 的倒数为 3.086411、用快速弦截法求方程 在 附近的实根， （取013x2x=1.9，要求精度到 ） 。1x310解： ，)(3xf迭代结果： k0 1 2 3 4kx2 1.9 1.881094 1.87941160 1.87939满足精度要求 1.87934*xWORD 整理版优质参考资料12、分别用下列方式求方程 在 附近的根，要求有三xecos440位有效数字（1）用牛顿法，取 40x（2）用弦截法，取 021（3）用快速弦截法，取 40x1解：求出的解分别为： 95.10.295.3x习题三1、用高斯消元法解下列方程组（1） （2）72454131x03321x解：
12、（1）等价的三角形方程组为，回代求解为421875.043231x61932x（2）等价的三角形方程组为，回代求解为5723193570231x193206413x2、将矩阵 作 分解。102ALUWORD 整理版优质参考资料解： ,1502L56012U3、用 紧凑格式分解法解方程组L 1567581094321xx解： ，15/30125/76L 10/027/4/2U, .10/32/Y3X4、用列主元的三角分解法求解 方程组L023274131321xx解： 023741A, , ,5/7/12L 43/1/U23/147Y2/1X5、用追赶法解三角方程组 ，其中 ,bAx21010.
13、01bWORD 整理版优质参考资料解： ，15/4/31/2/1L 5/6143/21U，5/143/21Y6/132/6/5X6用改进的 Cholesky 分解法解方程组 791043722xx解： ， ， ，12/0L08164UY12X7、用改进的 cholesky 分解法解方程组 64872051344321x解： ， 156/2-/47Y，78/205/134-4U 21X8、设 ,求 。Tx)2,(x和1,解： 61ni422ix3ma9、设 ,求145-20AA,21和解： ， ，81147.)(2T10、设 ， ，计算 ， 及 ，并比较453-20xxAxWORD 整理版优质参
14、考资料和 的大小。Ax解： ， =10， =93Ax11、给定方程 1022132x（1）写出 Jacobi 和 Gauss-Seidel 迭代格式；（2）证明 Jacobi 迭代法收敛而 Gauss-Seidel 迭代法发散；（3）给定 ，用迭代法求出该方程的解，精确到Tx)0,()0。3()1( 12kkx解：（1）Jacobi 迭代公式 102213321xxGauss-Seidel 迭代公式 3868)()(2)1(2)()()( kkknkkkxx（3）用 Jacobi 迭代得， TX)5,4()4*13、已知 ，考察 Jacobi 迭代格式和 Gauss-3410852321432
15、1xzxSeidel 迭代格式的收敛性。14、方程组 ，其中bA，104a3,Rbx利用迭代收敛的充分必要条件确定使 Jacobi 迭代法和 Gauss-Seidel迭代法均收敛的 a 的取值范围。解:Jacobi 迭代矩阵为 04aBJ当 得， 1JB5WORD 整理版优质参考资料Gauss-Seidel 迭代矩阵为： 204aBJ当 得，1SB5a15、设方程组 分别用 Gauss-Seidel 迭代法和2430410321xw=1.25 的 SOR 法求解此方程，准确到 4 位有效数字（取 ）Tx)1,()0解：Gauss-Seidel 迭代法共迭代 17 次，此时近似解为 Tx)0.5
16、,.3()17(*SOR 法 w=1.25 时，迭代 11 次，此时的近似解为 .,4.)(16、用 SOR 方法解方程组（分别取松弛因子 w=1.03，w=1， w=1.1） 精确解 ，要求当34121x)2/1,(*x时，终止迭代，并且对每一个 w 值确定迭代次数。6)(*05kx解：当 w=1.03 时，迭代 5 次， Tx)5.0,1()5*当 w=1 时，迭代 6 次， .6(当 w=1.1 时，迭代 6 次， .,)习题四1、设 ，写出 的一次插值多项式 ，并估计插1,0xxef)( )(1xL值误差。解： exyL)1()()(0101 ，其中)(2| 10MxR 1)(max1
17、0fM8|)(|1 2、给定函数表 ix-0.1 0.3 0.7 1.1WORD 整理版优质参考资料)(ixf0.995 0.995 0.765 0.454选用合适的三次插值多项式来近似计算 。)8.0(2.ff和解：、求 ，选用插值节点为 ， ， ，用 )2.0(f -0.1x3.x7.2lagrange 插值多项式为： 2120212101020102 )()()() yxyyxxL 解得 97.-.(Lf、求 ，选用插值节点 ， ， ， ，)83.0x7.1.221021020102 )()()() yxxyyxxL 解得： 6975.).Lf4、给定数据（ ）f(ix2.0 2.1 2
18、.2 2.4)(f1.14214 1.449138 1.48320 1.54917（1）试用线性插值计算 的近似值，并估计误差。)3.2(f（2）试用二次 Newton 插值多项式计算 的近似值，并估计误)15.2(f差。解：（1）取 ，.0x4.1x73.03295)()(010 yxL56.)32(.f，)(|)| 101xMR 6.)(max10fM38.)4.2.27.|.(| （2）写出二次 Newton 插值差商表ix)(if一阶差商 二阶差商2.0 1.142142.1 1.449138 0.349242.2 1.48320 0.34062 -0.0431)1.2(0431.)2
19、(349.012.)(2 xxxN6)5(f.).(2R5、给出函数值WORD 整理版优质参考资料x 0 1 2 3 4y 0 16 46 88 0试求各阶差商，并写出 Newton 插值多项式和差值余项。解： ixy 一阶差商 二阶差商 三阶差商 四阶差商0 01 16 162 46 30 73 88 21 -3 -5/24 0 -88 -109/3 -25/2 -7/6)4(2)1(6/7)2(1/5)1(76)( xxxxxN)5(4)()0(! ,)6( 3044f wfR6、给定数据表 x0.125 0.25 0.375 0.500 0.625 0.750)(f0.79618 0.7
20、7334 0.74371 0.70413 0.65632 0.60228试用三次牛顿差分插值公式计算 和 。)158.0(f)63.(f解：、求 ，取 ，)158.0(f12.0x， ，h=0.12521x5,37差分表为 i )(if一阶差分 二阶差分 三阶差分0.125 0.796180.25 0.77334 -0.022840.375 0.74371 -0.02963 -0.00679WORD 整理版优质参考资料0.5 0.70413 -0.03958 -0.00995 -0.00316由公式 kikiii hfxxf !,21由牛顿插值公式有 79061.)58.0().(3Nf、求
21、，取 ，6f35x， ，h=0.125.1x.,2.i )(if一阶差分 二阶差分 三阶差分0.375 0.743710.5 0.70413 -0.039580.625 0.65632 -0.04781 -0.008230.75 0.60228 -0.05404 -0.00623 0.002求解得 65179.0)3.()6.0Nf9、给出 sinx 在0,pi的等距节点函数表，用线性插值计算 sinx 的近似值，使其截断误差为 ，问该函数表的步长 h 应取多少才能42满足要求？解：设插值节点为 ， （i=0,1h）,ihxn由 22)(8)(mfxRnF(x)=sinx， ，所以 ，即xfs
22、in 1)(xf2m所以 02.h步长 h 应取为 0.02 才能满足要求。14、已知实验数据如下ix19 25 31 38 44iy19.0 32.3 49.0 73.3 97.8用最小二乘法求形如 的经验公式，并计算均方差。2bxayWORD 整理版优质参考资料解：设拟合多项式为 ，则正规方程组为2bxay210432120TS即： 5.3692174.0769195753ba0.68ba所以，经验公式为： 205.968.xy均方误差为 0.00301915、观测物体的直线运动，得出以下数据时间 t(s) 0 0.9 1.9 3.0 3.9 5.0距离S(m)0 10 30 50 80
23、110求运动方程。解：设拟合多项式为 ，则正规方程组为2cxbay210432120TS即： 2.4531078951037.86.5.6.cbaa=-0.5834， b=11.0814，c=2.2488所以拟合多项式为 。28.1.8. xy习题五1、分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分，并比较结果。WORD 整理版优质参考资料（1） （n=8 ）1024dx解：用复合梯形公式 24)(,81xfnh1.8T用辛普森公式 81,hmn157.08SI精确值： 1572.0402dx由上可看出复合辛普森公式更精确。（4） （n=4 ）dxe10解：用复合辛普森公式 635412.04T用辛普
24、森公式 ，,mn63142.0SI精确解为： 8.I所以辛普森公式的精度较高。3、用复合梯形公式求积分 ，问将积分区间a，b分成多少等dxfba)(分，才能保证误差不超过 ？解：由复合梯形公式的余项知，取)(12)( xfhabTnIxR|)(|maxfM求得 )(36、分别用下列计算方法积分 ，并比较计算结果的精度（积dxI81分准确值 I=1.098612） 。（1）复合梯形法，N=16 （2 ）复合抛物线法，n=8解：(1) 09485.216TWORD 整理版优质参考资料0154.|1616TIR(2) 8.2S.|168I精确值：I=2.079441，所以，复合抛物线精度更高。7、试
25、确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式具有的代数精度。（1） )()0()()( 210 hffhfdxfh 解：令 f(x)=1,x, 得2 hhh 34,032 1202210 所以， )()(4)(3)( fffdxfh 令 ，左=0=右3f4)(x，左 右所以，该求积公式的代数精度为 m=3.（2） )(3)(2)1(3)( 211 xfffdf 解：令 f(x)=1,x, 得2x或6152)321(3022xx61522x经计算可知两组参数所对应的求积公式的代数精度均为 m=2.9、利用表 5.7 求 x=0.6 处的一阶导数。WORD 整理版优质参考资料X 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8F(x)1.58364941.79744262.04423762.32750542.6510818解：选 1.0,7.,.0,5.210 hxx选用三点式得 )()(21xfff即 每项建议案实施完毕，实施部门应根据结果写出总结报告，实事求是的说明产生650314.f的经济效益或者其他积极效果，呈报总经办。总经办应将实施完毕的建议案提交给评委会进行效果评估，确定奖励登记，对符合条件的项目，应整理材料，上报总经理审批后给建议人颁发奖励。总经办应做好合理化建议的统计记录及资料归档管理。
