1、 平面向数量积的计算一、选择题（共 9 小题）1、 （ 2011辽宁）若 为单位向量，且 =0， ，则 的最， ， （ ） （ ） 0 +大值为（ ）A、 1 B、12C、 D、222、在边长为 1 的等边ABC 中，设 =（ =， =， =， 则 +）A、 B、032C、 D、3323、若 =（x，1） ， =（2，3x） ，且 x0那么 的取值范围是（ ） 2+2A、 （ ， ） B、0 ， 2224C、 ， D、 ，+ ）24 24 224、在 ABC 中，a=5，b=8，C=60 ，则 的值为（ ）A、10 B、20C、10 D、205、在边长为 的正三角形 ABC 中，设 ， ， ，
2、则 等于（ 2= = = +）A、0 B、1C、3 D、36、如图，P 为AOB 所在平面上一点，向量 = ， ，且 P 在线段 AB 的垂直平分线上，向量 =若| |=3，| |=2，则 的值为（ ）= （ ）A、5 B、3C、 D、52 327、 ABC 内有一点 O，满足 ，且 则ABC 一定是（ ）+=0 =A、钝角三角形 B、直角三角形C、等边三角形 D、等腰三角形8、设 ， ， 均为单位向量，且 ，则 的最小值为（ ） （ +） （ +）A、 1 B、 1 2C、 D、2229、设向量 =（sinB， cosB） ， =（ cosC，sinC ） ，且 A、B、C 分别是ABC 的
3、三个内角，若 3 3 =1+cos（B+C ） ，则 A=（ ）A、 B、56 3C、 D、23 6二、填空题（共 10 小题）10、已知 、 均为单位向量，它们的夹角为 60，那么| +3 |等于 _ 11、 （ 2008江西）如图，正六边形 ABCDEF 中，有下列四个命题：（A） ；+=2（B） ；=2+2（C ） ；=（D） （） =（ ）其中真命题的代号是 _ （写出所有真命题的代号） 12、在平行四边形 ABCD 中，已知 AB=2，AD=1，BAD=60，E 为 CD 的中点，则 = _ 13、如图，OAB 中|OA|=3 ，|OB|=2，点 P 在线段 AB 的垂直平分线上，记
4、向量的值为 _ =， =， =， 则 （ ）14、在 ABC 中，若C=90，AC=BC=4，则 = _ 15、如图，向量 与 x 轴方向相同，向量 与 x 轴正半轴的夹角为 ， ， ，且 23=2=1，则 = _ +=0 16、 ABC 中，AB=3，BC=5， CA=7，点 D 是边 AC 上的点，且 ，则 = _ =13 17、已知 ， 是平面内的两个单位向量，设向量 = ，且| |1， （ ）=0，则实数 的取值范围是 _ 18、如图，A，B，C 是直线 l 上三点，P 是直线 l 外一点，已知 AB=BC=a，APB=90， BPC=45，记 PBA=，则= _ （用 a 表示）19
5、、 可以看成向量 在向量 上的投影与 的乘积已知点 B，C 在以 AD 为直径的圆上，若 AB=2， AC=3，则 的值为 _ 答案与评分标准一、选择题（共 9 小题）1、 （ 2011辽宁）若 为单位向量，且 =0， ，则 的最， ， （ ） （ ） 0 +大值为（ ）A、 1 B、12C、 D、22考点：平面向量数量积的运算；向量的模。专题：计算题；整体思想。分析：根据 及 为单位向量，可以得到 ，要（） （ ） 0， ， （ +） 1求 的最大值，只需求 的最大值即可，然后根据数量积的运算法则展开即可求+ +2得解答：解： ，（） （ ） 0即 + 0，（ +） 2又 为单位向量，且 =
6、0， ， ，（ +） 1而 =+22+2+2+22（ +）=32 32=1（ +） 的最大值为 1+故选 B点评：此题是个中档题考查平面向量数量积的运算和模的计算问题，特别注意有关模的问题一般采取平方进行解决，考查学生灵活应用知识分析、解决问题的能力2、在边长为 1 的等边ABC 中，设 =（ =， =， =， 则 +）A、 B、032C、 D、332考点：平面向量数量积的运算。分析：直接应用数量积进行计算即可得到答案解答：解：在边长为 1 的等边 ABC 中， = = =1，则 = + + ， ， ， =32故选 A点评：本题考查平面向量数量积的运算，注意向量的夹角，是基础题3、若 =（x，
7、1） ， =（2，3x） ，且 x0那么 的取值范围是（ ） 2+2A、 （ ， ） B、0 ， 2224C、 ， D、 ，+ ）24 24 22考点：平面向量数量积的运算；函数的值域。专题：计算题；综合题；分类讨论。分析：化简 ，当 x0 时利用基本不等式推出它的范围即可2+2解答：解： = =2+2 2+32+1+4+92 22+1当 x0 时，上式= （等号成立的条件是 x= ）11+2122=24 22因为 x0， 的取值范围0， 2+2 24故选 B点评：本题考查平面向量数量积的运算，函数的值域，基本不等式的应用，是基础题4、在 ABC 中，a=5，b=8，C=60 ，则 的值为（
8、）A、10 B、20C、10 D、20考点：平面向量数量积的运算。专题：计算题。分析：由数量积的定义 的模分别是 a 和 b 的长度，而 的夹角为角 C 的补角，即 180与 与 C=18060=120，代入计算即可解答：解：由题意可知 的夹角为 180C=18060=120，与 = 1200=58（ 12） =20故选 D点评：本题考查向量数量积的运算，属基本题型、基本运算的考查，在解题中，要弄清两向量的夹角5、在边长为 的正三角形 ABC 中，设 ， ， ，则 等于（ 2= = = +）A、0 B、1C、3 D、3考点：平面向量数量积的运算。分析：由向量数量积的定义 可知要求 需求出= ，
9、 +| |，| |，| |以及这三个向量之间的夹角然后代入计算即可求解 解答：解：在边长为 的正三角形 ABC 中，设 ， ，2= = =| |=| |=| |= 且 =150， =30， =150 2 ， ， ， 由向量数量积的定义可得则 = cos150+ cos30+22 22+ cos15022=14=3故选 D点评：本题主要考察了平面向量数量积的运算解题的关键是要根据边长为 的正三角形 ABC 求出2| |=| |=| |= 且 =150， =30， =150而再求两个向量的夹角时要 2 ， ， ， 时刻牢记需将这两个向量平移到共起点然后再找夹角！6、如图，P 为AOB 所在平面上一
10、点，向量 = ， ，且 P 在线段 AB 的垂直平分线上，向量 =若| |=3，| |=2，则 的值为（ ）= （ ）A、5 B、3C、 D、52 32考点：平面向量数量积的运算。专题：计算题。分析：直接按照数量积的定义公式不易求解， 夹角及模均不确定，建立平面直角坐标系，也不易与（ ）求解，注意到 P 在线段 AB 的垂直平分线上，若设 AB 中点为 D，则 = ， =+，且 ，代换转化为 的运算12（ +） =0 ， 解答：设 AB 中点为 D，则 = ， = ，+12（ +） = = = （ ）+0（ ） （ + ） +12（ +） = （ ） =1222 12（ 94） =52故选 C
11、点评：本题考查向量数量积的运算，考查转化计算能力向量数量积 的计算常通过下列途径：直接按照定义公式，求出两向量的模及夹角余弦值，代入公式计算利用向量数量积的几何意义，整体求出 ，即 在 方向上的投影，再与 相乘 建立平面直角坐标系，利用向量坐标运算求值选择一组基底，将 有关向量用基向量表示，转化为基向量间的运算7、 ABC 内有一点 O，满足 ，且 则ABC 一定是（ ）+=0 =A、钝角三角形 B、直角三角形C、等边三角形 D、等腰三角形考点：平面向量数量积的运算。专题：计算题；综合题。分析：由 移向，利用数量积的运算法则，可得 ；= 由 移向结合向量加法的平行四边形法则可以判断点 O 为A
12、BC 的重心，两者结合即可+=0判断出ABC 的形状解答：解：由 可得 即 ，所以 ，=（ ） =0 =0 即点 O 在边 AC 的高线上；由 得 ，设 AC 的中点为 D，则 ，+=0 +=0 +=2=0即点 O 在边 AC 的中线上，所以ABC 一定是等腰三角形故选 D点评：本题考查向量的运算在三角形中的应用，考查学生利用所学知识分析问题、解决问题的能力8、设 ， ， 均为单位向量，且 ，则 的最小值为（ ） （ +） （ +）A、 1 B、 1 2C、 D、222考点：平面向量数量积的运算。专题：计算题；函数思想；方程思想。分析：结合题意，把 ， ， 用坐标的形式表示，从而把向量的最值问
13、题转化为代数问题求解解答：解： ， ， 均为单位向量，且 ， 不妨设 =（1，0） ， =（0，1） ， =（cos，sin） ， =cos2+sin2+cos+sin=1+（cos+sin）=1+ sin（ ） ，（+） （ +） 2 +41sin（ ）1 ，+41 ，2（+） （ +） 1+2故选 B点评：本题考查平面向量数量积的运算，函数与方程思想，是中档题9、设向量 =（sinB， cosB） ， =（ cosC，sinC ） ，且 A、B、C 分别是ABC 的三个内角，若 3 3 =1+cos（B+C ） ，则 A=（ ）A、 B、56 3C、 D、23 6考点：同角三角函数基本关系
14、的运用；平面向量数量积的运算。专题：综合题。分析：根据平面向量的数量积的运算法则化简已知的等式，由 A+B+C=，得到 B+C=A，利用诱导公式得到sin（B+C）=sinA，代入化简后的式子中，得到一个关系式，记作 ，根据同角三角函数间的基本关系得到另一个关系式，记作，联立，求出 sinA 和 cosA 的值，根据 A 的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出 A 的度数解答：解：由 A+B+C=，得到 B+C=A，则 =sinB cosC+ cosBsinC= sin（B+C ）=1+cos（B+C） ， 3 3 3即 sinA=1cosA，变形得： sinA+cosA=1，又 sin2A+
15、cos2A=1，3 3由得：cosA=1 sinA，把 代入 得：2sinA （2sinA ）=0，3 3解得：sinA=0（舍去） ，sinA= ，32将 sinA= 代入得：cosA=1 = ，又 A（0 ，） ，32 3212则 A= 23故选 C点评：此题考查了平面向量的数量积的运算，以及同角三角函数间的基本关系在求出 sinA 的值后，一定注意再求出 cosA 的值，由 cosA 的值为负数得到 A 为钝角，这是学生容易出错的地方二、填空题（共 10 小题）10、已知 、 均为单位向量，它们的夹角为 60，那么| +3 |等于 13考点：向量的模；平面向量数量积的性质及其运算律；平面
16、向量数量积的运算。专题：计算题。分析：因为 、 均为单位向量，且夹角为 60，所以可求出它们的模以及数量积，欲求| +3 |，只需自身平方 再开方即可，这样就可出现两向量的模与数量积，把前面所求代入即可解答：解； ， 均为单位向量，| |=1，| |=1 又 两向量的夹角为 60， =| | |cos60= 12| +3 |= = = 2+（ 3） 2+61+9+313故答案为 13点评：本题考察了单位向量，数量积的概念，以及向量的模的求法，属于向量的综合运算11、 （ 2008江西）如图，正六边形 ABCDEF 中，有下列四个命题：（A） ；+=2（B） ；=2+2（C ） ；=（D） （）
17、 =（ ）其中真命题的代号是 A、B 、 D （写出所有真命题的代号） 考点：平面向量数量积的运算；向量加减混合运算及其几何意义。专题：常规题型。分析：结合图形，依据向量的基础知识，逐一判断即可得到结果解答：解： ，A 对+=+=2取 AD 的中点 O，则 ，B 对=2=2+设 ，则 ，而 ， C 错=1 =326=3 =213=1又 ， D 对=123=1=（ ） 2真命题的代号是 A，B，D故选 A，B，D点评：本题考查平面向量数量积的运算，向量加减混合运算及其几何意义，是基础题12、在平行四边形 ABCD 中，已知 AB=2，AD=1，BAD=60，E 为 CD 的中点，则 = 32考点
18、：平面向量数量积的运算。专题：计算题。分析：先根据两个向量的数量积的定义，求出 的值，利用， =（ + ）（ ）= 2 进行运算求值212122解答：解：由题意得 =21cos60=1， =（ + ）（ ）= =1 2= ，2 21212212 32故答案为： 32点评：本题考查两个向量的数量积的定义，数量积公式的应用13、如图，OAB 中|OA|=3 ，|OB|=2，点 P 在线段 AB 的垂直平分线上，记向量的值为 =， =， =， 则 （ ） 52考点：平面向量数量积的运算。专题：计算题。分析：利用 = + + 及 = + + ，求出 = + ， +2代入式子并利用 =0 进行运算（ ）
19、解答：解：连接 PA、PB，设 AB 的中点为 H，则 HP 为线段 AB 的中垂线， =0，（ ） = = + + = + + ， = = + + = + + 把相加可得= + ， =（ + ）（ =0+ +2 （ ） +2 ） 222= = 94252OA OB点评：本题考查两个向量加减法及其几何意义，两个向量垂直的性质，两个向量数量积的运算，体现了数形结合的数学思想14、在 ABC 中，若C=90，AC=BC=4，则 = 16 考点：平面向量数量积的运算。专题：计算题。分析：利用向量垂直的充要条件得到 ；利用向量的运算法则将 表示，利用向=0 用 ， 量的运算律求出 的值解答：解：C=9
20、0=0=+=（ +） =2+=16故答案为：16点评：本题考查向量垂直的充要条件、向量的运算法则、向量的运算律15、如图，向量 与 x 轴方向相同，向量 与 x 轴正半轴的夹角为 ， ， ，且 23=2=1，则 = +=0 （ 32， 32）考点：平面向量数量积的运算。专题：计算题。分析：先求出 A、B 两个点的坐标，根据 ，计算 的坐标+=0 解答：解：由题意可知：A（2，0 ） ，即向量 =（2，0） ；B ，则向量 = ，（ 12， 32） （ 12， 32） ， = =+=0 （ +） （ 32， 32）故答案为：（ 32， 32）点评：本题考查平面向量数量积的运算，向量和复平面内的点
21、的对应关系，是基础题16、 ABC 中，AB=3，BC=5， CA=7，点 D 是边 AC 上的点，且 ，则 = =13 174考点：平面向量数量积的运算。专题：计算题。分析：利用两个向量的数量积的定义求出 =（ ） =21cosA+ + 494余弦定理求出 cosA 代入可求得结果解答：解：由题意得 AD= AC= ， =（ ） = +14 74 +=BAAC（cosA）+ 7=21cosA+ 74 494ABC 中，由余弦定理得 25=9+49237cosA， cosA= ，3342 =21 + = ，3342494174故答案为： 174点评：本题考查两个向量的数量积的定义，余弦定理的应
22、用，计算 是本题得易错点17、已知 ， 是平面内的两个单位向量，设向量 = ，且| |1， （ ）=0，则实数 的取值范围是 （1，1） 考点：平面向量数量积的运算。专题：计算题。分析：本小题主要考查向量的数量积及向量模的相关运算问题，由 （ ）=0，变化式子为模和夹角的形式， 整理出 的表达式，根据夹角的范围得到结果解答：解： （ ）=0， = ， ，2=0 且 0，=2 ， 是平面内的两个单位向量，=cos， | |1，1 ，实数 的取值范围是（ 1， 1） 故答案为（1， 1） 点评：本题是向量数量积的运算，条件中给出两个向量的模和两向量的夹角，代入数量积的公式运算即可，只是题目所给的向
23、量要应用向量的性质来运算，本题是把向量的数量积同三角函数问题结合在一起属中档题18、如图，A，B，C 是直线 l 上三点，P 是直线 l 外一点，已知 AB=BC=a，APB=90， BPC=45，记 PBA=，则= （用 a 表示）452考点：平面向量数量积的运算。专题：计算题；综合题。分析：三角形 ABP 是直角三角形，求出 、 ，再有正弦定理求 ，结合余弦定理，求出 的余弦值， 求数量积即可解答：解： =asin， =acos， = ， （ ） 45=2且 =a2+a2cos2+2a2cos22=2+22（ ）=a2+3a2cos2， 2a2sin2=a2+3a2cos2，解得 sin2
24、= ，45则 = = ，135= 22222452故答案为： 452点评：本题考查平面向量数量积，正弦定理，余弦定理等知识，是综合题19、 可以看成向量 在向量 上的投影与 的乘积已知点 B，C 在以 AD 为直径的圆上，若 AB=2， AC=3，则 的值为 5 考点：平面向量数量积的运算。专题：计算题；综合题。分析：根据向量加法的三角形法则可得 = = ，利用已知条件（ ） 点 B，C 在以 AD 为直径的圆上，以及向量数量积的几何意义可求得结果解答：解： = =（ ） 点 B，C 在以 AD 为直径的圆上， = =94=5，22故答案为：5点评：此题考查平面向量数量积的几何意义以及向量加法的三角形法则，把 用 、 来表示是解题的关键，属中档题菁优网 版权所有仅限于学习使用，不得用于任何商业用途
