1、1 已知椭圆 : （ ）的右顶点 （1，0） ，过 的焦点且垂直长轴的1C2yxab0aA1C弦长为 1。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （I） 求椭圆 的方程；1（II） 设点 在抛物线 : 上， 在点 P 处的切线与 交于点 ，P22()yxhR21M。当线段 AP 的中点与 MN 的中点的横坐标相等时，求 的最小值。N h2. 设 A、B 分别为椭圆 （ ）的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，21xab,0a且 为它的右准线。4x（）求椭圆的方程；（）设 P 为右准线上不同于点（4，0）的任意一点，若直线 AP、BP 分别与椭圆相交于异于 A、B 的点 M、N，证明点 B 在以
2、 MN 为直径的圆内。3. ）己知O：x 2 +y2=6，P 为O 上动点，过 P 作 PMx 轴于 M，N 为 PM 上一点，且PMNurr（I）求点 N 的轨迹 C 的方程；（II）若 A(2，1)，B(3，0)，过 B 的直线与曲线 C 相交于 D、E 两点，则 kAD+kAE 是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由4. 如图圆 与圆 的半径都等于 1， 过动点 分别作圆 、圆 的切线1O2 24OP1O2、 ( 、 分别为切点)，使得 试建立平面直角坐标系，并求PMNPMN动点 的轨迹方程 O2O1NMP5. 已知椭圆 ： 的右顶点为 ，过 的焦点且垂直长轴的1C21(0)yxa
3、b(1,0)A1C弦长为 （I）求椭圆 的方程；1（II）设点 在抛物线 ： 上， 在点 处P22()yxhR2P的切线与 交于点 当线段 的中点与 的中1,MNPMN点的横坐标相等时，求 的最小值6. 已知 ，直线 椭圆 分别为椭圆 C 的左、1m,02:myxl 212,:FyxC右焦点.（I）当直线 过右焦点 F2 时，求直线 的方程；l l（II）设直线 与椭圆 C 交于 A，B 两点， ， 的重心分别为 G，H.若原21F21B点 O 在以线段 GH 为直径的圆内，求实数 m 的取值范围 .7. 已知抛物线 ，圆 的圆心为点 M。1:C2xy2:2(4)1xy（）求点 M 到抛物线
4、的准线的距离；1（）已知点 P 是抛物线 上一点（异于原点） ，过点P 作圆 的两条切线，交抛物线 于 A，B 两点，若过2C1CM，P 两点的直线 垂足于 AB，求直线 的方程.ll8. 如图，椭圆 的离心率为 ，其左焦点到点（,）的距离2:1(0)xyCab12为 ，不过原点的直线与相交于，两点，且线段被直线平分。10（）求椭圆 C 的方程； （）求APB 面积取最大值时直线 l 的方程。 9. 是椭圆 （ ）的一个顶点， 的长轴是圆 的直21:xyCab0a1C2:4xy径 ， 是过点 且互相垂直的两条直线，其中 交圆 于 ， 两点， 交椭圆1l2P1l2AB2l于另一点 D（）求椭圆
5、的方程；1C（）求 面积取最大值时直线 的方程AB1l10. 如图，已知 ， ， ， 分别是椭圆 的四个顶点，1A21B22:1(0)xyCab 是一个边长为 2 的等边三角形，其外接圆为圆 12B M（1）求椭圆 及圆 的方程；CM（2）若点 是圆 劣弧 上一动点（点 异于端点 ， ） ，直线 分别交DA12D1A2B1D线段 ，椭圆 于点 ， ，直线 与 交于点 12EG2BF（i）求 的最大值；GBE（ii）试问： ， 两点的横坐标之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，F说明理由 yE（第 18 题图）FMB1A1 A2B2D OxG11. 本小题15分)已知抛物线的顶点在坐标原点，
6、焦点在 轴上，且过点 .y(2,1)（）求抛物线的标准方程；（）与圆 相切的直线 交抛物线于不同22(1)xy:lykxt的两点 若抛物线上一点 满足 ，,MNC(),(0OMN求 的取值范围.12. 如图，已知直线 与抛物线 和圆1:2(0)lyxm21:(0)Cyax都相切， 是 的焦点.22:(1)5CxyFC（1）求 与 的值；ma（2）设 是 上的一动点，以 为切点作抛物线 的切线 ，直线 交 轴于点 ，A1A1llyB以 为邻边作平行四边形 ，证明：点 在一条定直线上；,FBMB xyOMN l13. 已知椭圆 C 的左、右焦点分别为 F1，F 2, O 为原点.12yx(I)如图
7、，点 M 为椭圆 C 上的一点，N 是 MF1的中点，且 NF2丄 MF1,求点 M 到 y 轴的距离；(II)如图，直线 l: ：y=k + m 与椭圆 C 上相交于 P,G 两点，若在椭圆 C 上存 在点 R,使OPRQ 为平行四边形，求 m 的取值范围. 1. （I）由题意得 所求的椭圆方程为 ，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 21,ba214yx（II）不妨设 则抛物线 在点 P 处的切线斜率为212(,)(,)(,),MxyNPth2C，直线 MN 的方程为 ，将上式代入椭圆 的方程中，得2xty x1，即 ，因为直线24()40h22214()()40ttxthMN 与椭圆
8、 有两个不同的交点，所以有 ，1C 26设线段 MN 的中点的横坐标是 ，则 ，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 3x21()xt设线段 PA 的中点的横坐标是 ，则 ，由题意得 ，即有4x12t34x，其中的 或 ；2(1)0tht2()0,hh当 时有 ，因此不等式 不3,04216()40tth成立；因此 ，当 时代入方程 得 ，将 代入12()tt1,1不等式 成立，因此 的最小值为 14216()4thth2. ()依题意得 解得 从而24ac1a3b故椭圆方程为23xy（）解法 1：由（）得 设(2,0)(,AB0(,)MxyM 点在椭圆上， 又 M 点异于顶点 A、B，20
9、4yx 02x由 P、A、M 三点共线可得 从而06(,)2yP006(2,)(,)yxyP 2200 004(43)Bxxy将式代入式化简得 05BPA于是 为锐角，从而 为钝角，02,0.xMMBN故点 B 在以 MN 为直径的圆内。解法二：由（）得 .设 ,(2,)(,12(4,)0,(),()xy则直线 AP 的方程为 ,直线 BP 的方程为 .16yx点 M、N 分别在直线 AP、BP 上，.从而 122(),()6yx2112()yx联立 消去 得 =02()143xyy222(7)4(7)x是方程的两根, ,即 12x214(7)()xA21(7)x又 121212(,()BMN
10、yyA于是由、式代入式化简可得 225()7BMNxAN 点在椭圆上，且异于顶点 A、B， 又 ，20x25,07从而 0BMA故 为钝角，即点 B 在以 MN 为直径的圆内。解法 3：由（）得 ，设(2,)(,012(,)(,)MxyN则 .又 MN 的中点 Q 的坐标为 ，122,x112,xy22221111()()()()44xyBQMN化简得 221212直线 AP 的方程为 ，直 线 BP 的方程为1()yx2()yx点 P 在准线 上，4x，即 126y213()yyx又 M 点在椭圆上, ,即 21432211(4)yx于是将、式代入式化简可得 125()0BQMNx从而 B
11、在以 MN 为直径的圆内。3. ()设 , ,则 , ,yxN0P0x0Py0,y由 ,得 , 3 分2My20x20由 于 点 在 圆 上 ,则 有 ,即 .P6:2xO6yx132y点 的 轨 迹 的 方 程 为 .6 分NC1362yx() 设 , ,过 点 的 直 线 的 方 程 为 ,1yxD2EBDE3xky由 消 去 得 : ,其 中362k06182122xkk ;8 分1268,121kxkx2133121 xkxyAED10 分4522121xkk41268222kk42是 定 值 .13AEDk分4. 解：如图，以直线 为 轴，线段 的垂直平分线为 轴，建立平面直角坐标系
12、，12Ox12Oy则两圆心分别为 设 ，(,0)(,)(,)Pxy则 ，2221PM同理 Nxy ， ，22()1()1即 63xy所以动点 的轨迹方程为P （或 ）2()2130xyx O xyP (x, y)M NO 1 O25. 解析：（I）由题意得 所求的椭圆方程为 ，21,ba214yx（II）不妨设 则抛物线 在点 P 处的切线斜率为212(,)(,)(,),MxyNPth2C，直线 MN 的方程为 ，将上式代入椭圆 的方程中，得2xty x1，即 ，因为直线24(40h2 214()()40ttxthMN 与椭圆 有两个不同的交点，所以有 ，1C6设线段 MN 的中点的横坐标是
13、，则 ，3x21()xt设线段 PA 的中点的横坐标是 ，则 ，由题意得 ，即有4t34x，其中的 或 ；2(1)0tht22()0,hh当 时有 ，因此不等式 不3,0 216()40tth成立；因此 ，当 时代入方程 得 ，将 代入不等式2()tt1,成立，因此 的最小值为 14216()4thth6. （）解：因为直线 经过2:0mlxy2(,0)F所以221,m得又因为 .所以 2故直线 的方程为l10.xy（）解：设 ，12(,)(,)AB由 消去 得22,1mxyx2204y则由 ，228(1)80m知 28m且有2121,.8myy由于 12(,0)(,Fc故 O 为 F1F2
14、的中点，由 ，,AGBHO可知21(,)(,)33xy22211| .9y设 M 是 GH 的中点，则 1212(,)6xy由题意可知， 2|OGH好2221111()()4()()69xyxy即 120.而2212112()()mxyyy2(),8m所以210.即 24.又因为 10.m且所以 所以 的取值范围是（ 1，2） 。7. 解：（）M(0,4)，抛物线的准线为 ， 点 M 到抛物线 的准线的距离是 ；14y1C174（）设点 P(t,t2),切线的斜率为 k,则切线方程是 ，则由题意可知：2()ytkxt整理得： *2|4|1tk222(1)(4)10ttt设 12(,)(,)Ax
15、Bx解得： （ 是方程*的根）2ytkt12kt12,因过 M，P 两点的直线 垂足于 AB，l22212112444()()1ytttxktx解得：22()ttt 235t直线 的方程 （ ）l24tyx2t8（）设椭圆左焦点为 ，则由题意得(0)Fc，2)1ca得 2所以椭圆方程为2143xy（）设 ， ，线段 的中点为 1()A， 2()Bxy， ABM当直线 与 轴垂直时，直线 的方程为 ，与不过原点的条件不符，舍0x去故可设直线 的方程为，(0)ykxm由 消去 ，整理得2341y， （1）22(34)8410kxm则，2264(34)1)0kk122834kmx所以 线段的中点 ，
16、AB284(,)3mMk因为 在直线 上，所以OP，2234mk得（舍去）或 ，03此时方程（1）为 ，则220xm，23()0123所以，2 2129|16ABkxm设点 到直线 距离为 ，则Pd，2|8|4|133md设 的面积为 ，则ABS，221| (4)26Sdm其中 ，(3,0),m令 ，22)1(4u3,2，(4)6)(4)17)()mm所以当且仅当 ， 取到最大值，7u故当且仅当 ， 取到最大值1S综上，所求直线 方程为 l3270xy9. （）由题意得 1ba所以椭圆 的方程为 1C214xy（）设 ， ， 由题意知直线 的斜率存在，不妨设为1()Axy， 2()B， 0()
17、D， 1l，则直线 的方程为 kl1k又圆 ，故点 到直线 的距离 ，2:4CxyO1l21dk所以 223| kABd又 ，故直线 的方程为 12l2l 0xy由 消去 ，整理得 ，204xky2(4)8kx故 028k所以 21|4PD设 的面积为 ，则 ，ABS2843|kABPD所以 ，2 22 23161443Skk当且仅当 时取等号0所以直线 的方程为 1l12yx10. （1）由题意知， ， ，2(0,)B1(3,0)A所以 ， ，所以椭圆 的方程为 ， 2 分b3aC21y易得圆心 ， ，所以圆 的方程为 4 分3(,0)M123AM23()xy（2）证明：设直线 的方程为 ，
18、BD31()ykx与直线 的方程 联立，解得点 ， 6 分12A3yx21,)kE联立 ，消去 并整理得， ，解得点 ，23ykx 2(1+3)60kx2231(,)kG9 分 （i）221 2633111 2(3)()GEkxBkkk，当且仅当 时，取“=” ，22 6k所以 的最大值为 12 分1BE1（ii）直线 的方程为 ，2G223163kyxk与直线 的方程 联立，解得点 ， 14 分1AB1361(,)kF所以 、 两点的横坐标之和为 EF+231k故 、 两点的横坐标之和为定值，该定值为 16 分11. (1) 4分24xy（2） 由圆心 到直线 的距离 6 分0,1l21td
19、k2kt设交点 ，Mxy2,Nxy由 24kt40kt其中 16t233t或9 分211xytt代入12(,)OCMNxy 2(4,)kt24xy得 224()kkt即 13 221kttkt分，在 都是单调递减函数03t或 ,(0,)15 分15,2412. （1）由已知，圆 的圆心（0，-1） ，5)1(:22yxC圆心到直线 的距离 ,ml:1 51|2d解得 （ 舍去） ， 3 分64设 与抛物线的相切点为 ，1l ),(0yxA得 ，代入直线方程得： ，axa1,2000即 61,21a所以 ， 6 分6m（2）由（1）知抛物线 方程为 ，焦点 ，设 ，1C26xy)3,0(F),(
20、21xA由（1）知以 为切线 的方程为 ，8 分Al 2116令 ，得切线 交 轴的 点坐标为（0， ） ，0xyBx所以 10 分,)2361,(xF,)236,(1F四边形 是以 为邻边作平行四边形，AM,13 分)3,(1xB因为 是定点，所以点 在定直线 上。 15 分Fxy2313. 解（） )0,(1， 1 分 设 ),(0yxM，则 1的中点为)2,1(0yxN， 2 分 21NF， 02，即0)2,3(,00yx， 3 分 3002yx（1） 4 分 又有12， （2）由（1） 、 （2）解得 20x（ 20x舍去） 5 分所以点 M 到 y 轴的距离为 . 6 分 （）设 ),(1xP， ),(2yxQ，OPRQ 为平行四边形， R1， Ry21 8 分R 点在椭圆上，)(2)(21yx，即)(2)( 211 mkx， 9 分化简得， 28)(8)( 2121xx（1） 10 分由 mkxy2得 024)21( mkx由 0，得 （2） ， 11 分且 214kx 12 分代入（1）式，得28213)21(6mk，化简得 24km，代入（2）式，得 0 14 分又 1， 2m或 15 分
