1、圆周率 （圆的周长与直径的比值）圆周率（Pi）是 圆的 周长与直径的 比值，一般用希腊字母 表示，是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数。 也等于圆形之面积与半径平方之比。是精确计算 圆周长、 圆面积、球体积等几何形状的关键值。 在 分析学里， 可以严格地定义为满 足 sin x = 0 的最小 正实数 x。圆周率用希腊字母 （读作 pi）表示，是一个常数（约等于3.141592654），是代表圆周长和直径的比值。它是一个无理数，即无限不循环小数。在日常生活中，通常都用 3.14 代表圆周率去进行近似计算。而用十位小数 3.141592654 便足以应付一般计算。即使是工程师或物理学家要进行
2、较精密的计算，充其量也只需取值至小数点后几百个位。 1 1965 年，英国数学家约翰沃利斯（John Wallis）出版了一本数学专著，其中他推导出一个公式，发现圆周率等于无穷个分数相乘的积。2015 年，罗 切斯特大学的科学家们在氢原子能级的量子力学计算中发现了圆周率相同的公式 2 。历史发展实验时期一块 古巴比伦石匾（约产于公元前 1900 年至 1600 年）清楚地记载了圆周率 = 25/8 = 3.125。 同一时期的 古埃及文物，莱因德数学纸草书（Rhind Mathematical Papyrus）也表明圆周率等于分数 16/9 的平方，约等于 3.1605。 埃及人似乎在更早的时
3、候就知道圆周率了。 英国作家 John Taylor (17811864) 在其名著金字塔（The Great Pyramid: Why was it built, and who built it?）中指出，造于公元前2500 年左右的胡夫金字塔和圆周率有关。例如，金字塔的周长和高度之比等于圆周率的两倍，正好等于圆的周 长和半径之比。公元前 800 至 600 年成文的古印度宗教巨著百道梵书（Satapatha Brahmana）显示了圆周率等于分数 339/108，约等于 3.139。几何法时期古希腊作为古代几何王国对圆周率的贡献尤为突出。古希腊大数学家阿基米德( 公元前 287212 年
4、) 开创了人 类历史上通过理论计算圆周率近似值的先河。阿基米德从 单位圆出发，先用内接正六边形求出圆周率的下界为 3，再用外接正六边形并借助勾股定理求出圆周率的上界小于 4。接着，他 对内接正六边形和外接正六边形的边数分别加倍，将它们分别变成内接正 12 边形和外接正 12 边形，再借助勾股定理改进圆周率的下界和上界。他逐步对内接正多边形和外接正多边形的边数加倍，直到内接正 96 边形和外接正 96 边形为止。最后，他求出圆周率的下界和上界分别为 223/71 和 22/7， 并取它们的平均值 3.141851 为圆周率的近似值。阿基米德用到了迭代算法和两侧数值逼近的概念，称得上是“ 计算数学
5、”的鼻祖。中国古算书周髀算经 （约公元前 2 世纪）的中有“ 径一而周三”的记载，意即取。 5 汉朝时， 张衡得出，即（约为 3.162） 。这个值不太准确，但它简单易理解。 6 公元 263 年，中国数学家刘徽用“ 割圆术”计算圆周率，他先从圆内接正六边形，逐次分割一直算到圆内接正 192 边形。他说“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割， 则与圆周合体而无所失矣。”，包含了求极限的思想。刘徽给出 =3.141024 的圆周率近似值，刘徽在得圆周率=3.14 之后，将 这个数值和晋武库中汉王莽时代制造的铜制体积度量衡标准嘉量斛的直径和容积检验，发现 3.14 这个数值还是偏小。于是继续
6、割圆到 1536 边形，求出 3072 边形的面积，得到令自己满意的圆周率。公元 480 年左右，南北朝时期的数学家祖冲之进一步得出精确到小数点后 7 位的结果，给出不足近似值 3.1415926 和过剩近似值 3.1415927，还得到两个近似分数值，密率和约率。密率是个很好的分数近似值，要取到才能得出比略准确的近似。 7 （参见丢番图逼近 ）在之后的 800 年里祖冲之计算出的 值都是最准确的。其中的密率在西方直到 1573年才由德国人奥托（Valentinus Otho）得到，1625 年发表于荷兰工程师安托尼斯（Metius ）的著作中，欧洲称之为 Metius number。约在公元
7、 530 年，印度数学大师阿耶波多算出圆周率约为。婆罗摩笈多采用另一套方法，推论出圆周率等于 10 的 算术平方根。阿拉伯数学家卡西在 15 世纪初求得圆周率 17 位精确小数值，打破祖冲之保持近千年的纪录。德国数学家 鲁道夫 范 科伊伦（Ludolph van Ceulen）于 1596 年将 值算到 20位小数值，后投入毕生精力，于 1610 年算到小数后 35 位数，该数值被用他的名字称为鲁道夫数。分析法时期这一时期人们开始利用无穷级数或无穷连乘积求 ，摆脱可割圆术的繁复计算。无穷乘积式、无穷连分数、无穷级数等各种 值表达式纷纷出现，使得 值计算精度迅速增加。第一个快速算法由英国数学家梅
8、钦（John Machin）提出，1706 年梅钦计算 值突破 100 位小数大关，他利用了如下公式： 8 其中 arctan x 可由泰勒级数算出。类似方法称为“梅钦类公式”。斯洛文尼亚数学家 Jurij Vega 于 1789 年得出 的小数点后首 140 位，其中只有 137位是正确的。这个世界纪录维持了五十年。他利用了梅钦于 1706 年提出的数式。到 1948 年英国的弗格森（D. F. Ferguson）和美国的伦奇共同发表了 的 808 位小数值，成为人工计算圆周率值的最高纪录。计算机时代电子计算机的出现使 值计算有了突飞猛进的发展。1949 年，美国制造的世上首部电脑ENIAC
9、（ Electronic圆周率Numerical Integrator And Computer）在阿伯丁试验场启用了。次年，里特韦斯纳、冯纽曼和梅卓普利斯利用这部电脑，计算出 的 2037 个小数位。这部电脑只用了 70 小时就完成了这项工作，扣除插入打孔卡所花的时间，等于平均两分钟算出一位数。五年后，IBM NORC（海军兵器研究计算机）只用了 13 分钟，就算出 的 3089 个小数位。科技不断进步，电脑的运算速度也越来越快，在 60 年代至 70 年代，随着美、英、法的电脑科学家不断地进行电脑上的竞争， 的值也越来越精确。在 1973 年，Jean Guilloud 和 Martin
10、Bouyer 以电脑 CDC 7600 发现了 的第一百万个小数位。在 1976 年，新的突破出现了。萨拉明（Eugene Salamin）发表了一条新的公式，那是一条二次收敛算则，也就是说每经过一次计算，有效数字就会倍增。高斯以前也发现了一条类似的公式，但十分复杂，在那没有电脑的时代是不可行的。这算法被称为布伦特-萨拉明（或萨拉明-布伦特）演算法，亦称高斯 -勒让德演算法。1989 年美国哥伦比亚大学研究人员用克雷2 型（Cray-2）和 IBM3090/VF 型巨型电子计算机计算出 值小数点后 4.8 亿位数，后又继续算到小数点后 10.1 亿位数。2010 年 1 月 7 日法国工程师
11、法布里斯 贝拉将圆周率算到小数点后 27000 亿位。2010年 8 月 30 日 日本计算机奇才近藤茂利用家用计算机和 云计算相结合，计算出圆周率到小数点后 5 万亿位。2011 年 10 月 16 日，日本长野县饭田市公司职员近藤茂利用家中电脑将圆周率计算到小数点后 10 万亿位，刷新了 2010 年 8 月由他自己创下的 5 万亿位吉尼斯世界纪录。56 岁的近藤茂使用的是自己组装的计算机，从 10 月起开始计算，花费约一年时间刷新了纪录。计算历史日期 计算者 国籍 正确位数 详细纪录前 20 世纪 未知 古巴比伦王国 1 = 3.125前 20 世纪 未知 古印度 1 = 3.16049
12、3.前 12 世纪 未知 中国 - =3前 6 世纪中 圣经列王记上 7 章 23 节 - =3前 3 世纪 阿基米德 古希腊 3 =3.1418公元前 20 年 维特鲁威 古罗马 1 = 3.125公元前 50 年公元前 23 年刘歆 中国 1=3.1547130 年 张衡 中国 1 =3.162277.150 年 未知 托勒密 3 =3.141666.250 年 王蕃 中国 1 =3.155555.263 年 刘徽 中国 5 =3.14159480 年 祖冲之 中国 7 3.14159263.1415927499 年 阿耶波多 印度 3 =3.1416598 年 婆罗摩笈多 印度 1 =3
13、.162277.800 年 花拉子米 乌兹别克 3 =3.141612 世纪 婆什迦罗第二 印度 4 =3.141561220 年 斐波那契 意大利 3 =3.1418181400 年 Madhava 10 =3.141592653591424 年Jamshid Masud Al Kashi=16 位小数1573 年 Valentinus Otho =6 位小数1593 年 弗朗索瓦韦达 =9 位小数1593 年Adriaan van Roomen=15 位小数1596 年 =20 位小数1615 年鲁道夫范科伊伦=32 位小数1621 年威理博司乃耳， 范科伊伦的学生=35 位小数1665
14、年 牛顿 =16 位小数1699 年 Abraham Sharp =71 位小数1700 年 关孝和 =10 位小数1706 年 John Machin =100 位小数1706 年 William Jones 引入希腊字母 1719 年 De Lagny=127 位小数（只有 112位正确）1723 年 建部贤弘 =41 位小数1730 年 Kamata =25 位小数1734 年 莱昂哈德欧拉引入希腊字母 并肯定其普及性1739 年 松永良弼 =50 位小数1761 年约翰海因里希兰伯特证明 是无理数1775 年 欧拉 指出 可能是超越数1794 年 Jurij Vega=140 位小数（
15、只有 136位正确）1794 年阿德里安-马里勒让德-1841 年 Rutherford=208 位小数（只有 152位正确）1844 年Zacharias Dase及 Strassnitzky=200 位小数1847 年Thomas Clausen=248 位小数1853 年 Lehmann =261 位小数1853 年William Rutherford=440 位小数1855 年 Richter =500 位小数1874 年 William Shanks=707 位小数（只有 527位正确）1882 年 Lindemann 证明 是超越数1946 年 =620 位小数1947 年D. F
16、. Ferguson=710 位小数1947 年 =808 位小数1949 年J. W. Wrench 爵士和 L. R. Smith=2,037 位小数（首次使用计算机）1955 年J. W. Wrench 爵士及 L. R. Smith=3,089 位小数1957 年 G.E.Felton =7,480 位小数1958 年Francois Genuys=10,000 位小数1958 年 G.E.Felton =10,020 位小数1959 年Francois Genuys=16,167 位小数1961 年IBM 7090 晶体管计算机=20,000 位小数1961 年 =100,000 位
17、小数1966 年 =250,000 位小数1967 年 =500,000 位小数1974 年J. W. Wrench, Jr，及 L. R. Smith=1,000,000 位小数1981 年 =2,000,000 位小数1982 年 =4,000,000 位小数1983 年 =8,000,000 位小数1983 年金田康正=16,000,000 位小数1985 年 Bill Gosper =17,000,000 位小数1986 年 David H. Bailey =29,000,000 位小数1986 年 =33,000,000 位小数1986 年 =67,000,000 位小数1987 年
18、 =134,000,000 位小数1988 年金田康正=201,000,000 位小数1989 年 =480,000,000 位小数1989 年楚诺维斯基兄弟=535,000,000 位小数1989 年 金田康正 =536,000,000 位小数1989 年 楚诺维斯基兄弟 =1,011,000,000 位小数1989 年 金田康正 =1,073,000,000 位小数1992 年 =2,180,000,000 位小数1994 年 楚诺维斯基兄弟 =4,044,000,000 位小数1995 年 =4,294,960,000 位小数1995 年金田康正和高桥大介 =6,000,000,000
19、位小数1996 年 楚诺维斯基兄弟 =8,000,000,000 位小数1997 年 =51,500,000,000 位小数1999 年 =68,700,000,000 位小数1999 年金田康正和高桥大介=206,000,000,000 位小数2002 年 金田康正的队伍=1,241,100,000,000 位小数2009 年 高桥大介=2,576,980,370,000 位小数2009 年 法布里斯贝拉=2,699,999,990,000 位小数2010 年 近藤茂=5,000,000,000,000 位小数 9 2011 年IBM“蓝色基因/p”超级电脑2 的 60,000,000,00
20、0,000位二进制小数 10 注：上表正确位数是指小数点后的位数。算准记录小数点后位数 首次算准者 首次算准时间1 巴比伦人 前 20 世纪2-3 阿基米德 前 3 世纪（距离上次 1700 年）4-5 刘徽263 年（距离上次 563 年以上）6-7 祖冲之 480 年（距离上次 217 年）8-10 Madhava 1400 年（距离上次 920 年）11-16 Jamshid Masud Al Kashi 1424 年（距离上次 24 年）17-20 1596 年（距离上次 172 年）21-32鲁道夫范 科伊伦1615 年（距离上次 19 年）33-35 威理博司乃耳， 范科伊伦的学生
21、 1621 年（距离上次 6 年）36-71 Abraham Sharp 1699 年（距离上次 78 年）72-100 John Machin 1706 年（距离上次 7 年）101-112 De Lagny 1719 年（距离上次 13 年）113-136 Jurij Vega 1794 年（距离上次 75 年）137-152 Rutherford 1841 年（距离上次 47 年）153-200 Zacharias Dase 及 Strassnitzky 1844 年（距离上次 3 年）201-248 Thomas Clausen 1847 年（距离上次 3 年）249-261 Lehm
22、ann 1853 年（距离上次 6 年）262-440 William Rutherford 1853 年（距离上次 0 年）441-500 Richter 1855 年（距离上次 2 年）501-527 William Shanks 1874 年（距离上次 19 年）528-620 1946 年（距离上次 72 年）621-710 1947 年（距离上次 1 年）711-808D. F. Ferguson1947 年（距离上次 0 年）备注：这里只列出人工计算的最高记录，808 位记号是第十六个希腊字母的小写。这个符号，亦是希腊语 （表示周边，地域，圆周等意思）的首字母。1706 年英国数学
23、家威廉琼斯（ William Jones ，1675 1749）最先使用“” 来表示圆周率11。 1736 年， 瑞士大数学家欧拉也开始用 表示圆周率。从此， 便成了圆周率的代名词。 12 要注意不可把 和其大写 混用，后者是指连乘的意思。公式圆周率（ ）一般定义为一个圆形的周长（ ）与直径（ ）之比：，或直接定义为单位圆的周长的一半。由相似图形的性质可知，对于任何圆形，的值都是一样，这样就定义出常数 。注意：将 定义为单位圆的周长的一半是有意义的，这是因为从现代数学的角度来看，直径为 d、半径为 r 的圆的周长 C 由以下积分给出：即上式中令，由定积分的换元法可得：其中是单位圆周的周长（C
24、的表达式中取 r=1 即得） 。若定义 ，则，与我们熟知的周长公式相符。而半径为 r 的圆的面积 S 由以下积分给出：令 ，由定积分的换元法可得：其中是单位圆的面积（S 的表达式中取 r=1 即得） 。利用分部积分法，于是，因此，我们得到关系式：这样一来也得到了我们熟知的圆面积公式 第二个做法是，以圆形半径为边长作一正方形，然後把圆形面积和此正方形面积的比例定为 ，即圆形之面积与半径平方之比。定义圆周率不一定要用到几何概念，比如，我们可以定义 为满足 的最小正实数 。这里的正弦函数定义为幂级数特性把圆周率的数值算得这么精确，实际意义并不大。现代科技领域使用的圆周率值，有十几位已经足够了。如果以
25、 39 位精度的圆周率值，来计算宇宙的大小，误差还不到一个原子的体积 1 。以前的人计算圆周率，是要探究圆周率是否循环小数。自从 1761 年兰伯特证明了圆周率是无理数，1882 年林德曼证明了圆周率是超越数后，圆周率的神秘面纱就被揭开了。 在许多数学领域都有非常重要的作用。几何平面图形 周长 面积圆圆环扇形注： 为周长， 为面积， 为弧长； 为直径， 为半径（内圆半径） ， 为外圆半径，为圆心角度数。周长、弧长用长度单位，面积用面积单位。立体图形 表面积 体积圆柱圆锥注： 为底面周长， 为底面积， 为侧面积， 为表面积， 为体积； 为底面直径，为底面半径， 为高。底面周长用长度单位，表面积（
26、含底面积和侧面积）用面积单位，体积用体积单位或容积单位。代数 是个无理数，即不可表达成两个整数之比，是由瑞士科学家 约翰海因里希兰伯特于 1761 年证明的。 1882 年，林德曼（Ferdinand von Lindemann）更证明了 是超越数，即 不可能是任何 整系数多项式的根。圆周率的超越性否定了化圆为方这古老尺规作图问题的可能性，因所有尺规作图只能得出代数数，而超越数不是代数数。数学分析Leibniz 定理：wallis 公式 ：高斯积分：斯特林公式：欧拉公式：数论两个任意自然数是互质的概率是 。任取一个任意整数，该整数没有重复质因子的概率为 。一个任意整数平均可用 个方法写成两个完
27、全数之和。概率论设我们有一个以平行且等距木纹铺成的地板，随意抛一支长度比木纹之间距离小的针，求针和其中一条木纹相交的概率。这就是布丰投针问题。1777 年，布丰自己解决了这个问题这个概率值是 1/。统计学 正态分布的概率密度函数：物理学海森堡不确定性原理：相对论的场方程：国际圆周率日2011 年，国际数学协会正式宣布，将每年的 3 月 14 日设为国际数学节，来源则是中国古代数学家祖冲之的圆周率。 13 国际圆周率日可以追溯至 1988 年 3 月 14 日，旧金山科学博物馆的物理学家 Larry Shaw，他组织博物馆的员工和参与者围绕博物馆纪念碑做 3 又 1/7 圈(22/7， 的近似值
28、之一) 的圆周运动，并一起吃水果派。之后，旧金山科学博物馆继承了这个传统，在每年的这一天都举办庆祝活动。2009 年，美国众议院正式通过一项无约束力决议，将每年的 3 月 14 日设定为“ 圆周率日” 。决议认为， “鉴于数学和自然科学是教育当中有趣而不可或缺的一部分，而学习有关 的知识是一教孩子几何、吸引他们学习自然科学和数学的迷人方式 约等于 3.14，因此 3 月 14 日是纪念圆周率日最合适的日子。 ”趣闻事件历史上最马拉松式的人手 值计算，其一是德国的 鲁道夫 范科伊伦（Ludolph van Ceulen） ，他几乎耗尽了一生的时间，于 1609 年得到了圆周率的 35 位精度值，
29、以至于圆周率在德国被称为 Ludolphine number；其二是英国的威廉 山克斯（William Shanks） ，他耗费了 15 年的光阴，在 1874 年算出了圆周率的小数点后 707 位，并将其刻在了墓碑上作为一生的荣誉。可惜，后人发现，他从第 528 位开始就算错了。 14 在谷歌公司 2005 年的一次公开募股中，共集资四十多亿美元，A 股发行数量是14,159,265 股，这当然是由 小数点后的位数得来。 （顺便一提，谷歌公司 2004 年的首次公开募股，集资额为$2,718,281,828，与数学常数 e 有关 15 ）排版软件 TeX 从第三版之后的版本号为逐次增加一位小
30、数，使之越来越接近 的值：3.1， 3.14， 当前的最新版本号是 3.1415926。 16-17 每年 3 月 14 日为圆周率日， “终极圆周率日”则是 1592 年 3 月 14 日 6 时 54 分， （因为其英式记法为“3/14/15926.54” ，恰好是圆周率的十位近似值。 ）和 3141 年 5 月 9 日 2时 6 分 5 秒（从前往后，3.14159265 ）7 月 22 日为圆周率近似日（英国式日期记作 22/7，看成圆周率的近似分数）有数学家认为应把“真正的圆周率 “定义为 2，并将其记为 （发音：tau） 。 18 3.1415926535 8979323846 2
31、643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249
32、141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217
33、176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989这是圆周率前 1000 位
