1、青岛二中 2016 年自主招生（数学）试题初中学校 姓名 考号 1化简 .2016543122二中学生气象小组预测：“五一”假期中，三天的降水概率依次为 ， ， .请问这%3406三天不经历降水的概率是多少？3一次函数的图象过抛物线 与 的两交点，求一次函数的解析12xy72xy式.4二中 3D 实验室加工一圆柱体，从其内部挖掉一 个等高的小圆柱，得到一个新的几何体，其三视图如图所示，俯视图中与 的弦 相切，且 （如右图） ，2O1AB,/21ABO若该几何体的体积为 ，求弦 的长.605解方程 .23|xx6自行车选手甲、乙、丙三人同时从 点出发沿着 ， ， 三条直线段行进，选手甲在ABCA
2、这三条直线上行进的速度分别为 ， ， ( )，选手乙在这三条直线上行进的速度分别为 ，105hkm/ 15， ( )，选手丙在这三条直线上行进的速度分别为 ， ， ( ).若三名选手同时到150hkm/ 102hkm/达终点 ，求 的大小.ABC7若干学生参加二中模联测试，参加测试学生得分均为 到 的整数(含 和 ).已知此次660测试平均分为 80 分，其中恰有 人得分为 分.试计算参加测试学生人数的最小值 .510 （阅读预备知识，完成相应题目）第 8 题预备知识：二次函数 的图象与 轴交点的横坐标分别为 .cbxay2x )(,212x时，则 ;0a 00221221 cbxaxcbxa
3、xx 时 ，； 当时 ，或时，则 .时 ，； 当时 ，或8求使得 为正整数 的所有实数 的值.42xk第 9 题预备知识：圆的切线与过切点的弦所形成的角（弦切角） ，等于其所夹弧对的圆周角（如图 ）. 219在 中， 为斜边，其内切圆分别与边 ，ABCRt BC， 切于 ， ， ，线段 是 的高 .11F11A（1）求 与 的关系；（2）求 的度数；1（3）证明：点 在 的平分线上. FB 10已知边长为 的正方形 ，将 边 等分，点 是离点 最近的一个分点，正1ABCD)2(nMA方形 截去以 为边长的正方形后，余下部分的面积记为 ，记 .ABCDMnSnS32（1）当 时，求 的值；206
4、nS（2）若函数 的图象与点 所在反比例函数图象交于 两点，过点 作)(kxy)21,(SnB,轴平行线与过点 作 轴平行线交于点 ，则 的面积是否为定值，若是，请求出该定值；若x PAB不是，请说明理由.11 中， 的对边分别为 ，函数ABC, cba,的最小值为 ，且 是关于 的方程)(21)(2cbaxcbay 0Bcos,x的两根.085mxm（1）求证： 是直角三角形；（2）求实数 的值；ABCm（3）若此三角形外接圆面积为 ，求 内接正方形的边长.45ABC12已知点 ， ，)3,()0,1()3,(（1）求经过 、 、 三点的抛物线顶点 和抛物线与 轴另一交点 的坐标；DxE（2
5、）若在线段 上有一动点 （不在端点） ，分别以点 、 为圆心， 、 为半径作OCMOMC圆，在 与 上各有一动点 、 ，求 的范围；PQEC1A1B1FBA 21BA1010主主主（3）若从点 向 轴上某点 出发，再从点 向 轴上某点 出发，再由点 到达点 ，求DyGxHA所走路径长度的最小值.2016 自主招生考试（数学）评分标准1.（本题满分 6 分）解:原式= ）（）（）（）（ 2015-63-42-31-2102.（本题满分 6 分）解: 三天的降雨概率依次为6.0,43.三天不降雨的概率依次为718.406.7P3.（本题满分 6 分）解:设抛物线交点分别为 、),(1yxA),(2
6、yB或72xy132设一次函数解析式为 ，则)0(kby一次函数的解析式为321bk54k54xy4.（本题满分 6 分）解:设大圆半径为 ，小圆半径为Rr， ，即底SV10162底 162rR822rAB5.（本题满分 10 分）解:当 x-2 时, 23|23|23| xxxx,无解.57x当 x-2 时, . ;1x故原方程解为 .6.（本题满分 10 分）解:设 ， ， ，cABaCbA由题意可知 12015102bacc化简得 则 ， .cbcba432 09ABC7.（本题满分 10 分）解:设 n 名学生参加测试,恰有 5 人得 100 分,n-5 人最少每人 60 分,总分最少
7、,平均分最少 得 .206)(015n 80260nn1当 5 人得 100 分, 5 人每人得 60 分时,平均分= .故 n 最小 =10.18.（本题满分 12 分）解: 为正整数,得 ,kx24 042)()2( kxxk若 ,则 ,k,则 , 13647)(8)(22 当 时,解 得 .1k0632x23x综上得 .,x9.（本题满分 12 分）解：(1)设 ， ，在 中，因为 ，1CAB1CAB1AC所以 ，又 ，所以8021 802(2)由预备知识可知， 1因为 ，且1CA9所以 ，即45451CB（3）由（2）知 ，且1F1所以 为等腰直角三角形，所以1CFB又 ， ，所以 A
8、FAC1B1所以 ，所以点 在 的平分线上.1110.（本题满分 14 分）解：（1）由题意，得 22)1(11nnSn 2222232 )1(34)()3( nSn n当 时， .0164021762（2）由题意，得点 所在的反比例函数表达式为 ，图象在第一、三象限，且关于原),(Sn xy21点对称，函数 图象过原点，也关于原点对称，若函数图象有交点，则 ，不妨设在)0(kxy 0k第一象限的交点为 ，则第三象限交点为 ， ，所以 ，,A),(0yxB),(0yxP2yAP， ，又因为点 在 图象上，所以 ，02xBP021yxBPSBP ,0A2101x即 ，所以 的面积为定值 .0yA
9、111.（本题满分 14 分）解：（1）因为 ，所以二次函数的图象开口向上，又最小值为 ，所以 ，即0cba 0)(21)(4)2( c，2b )2(42cbaa，所以 为直角三角形.2caABC（2）依题意，得 58cosm由 ，所以90Ain所以 58sinco2又因为 ，所以cbAa, 1cossin22A故有 1i2)cos(in所以 58(22m所以 ，解得 ，040142m又因为 ，所以 舍去，所以 .cosBA 20（3）因为 ，所以 ， ，,425R255Rc当 时， ，解得 ，0m013x41x32不妨设 ， ，则5cosAcsB,3cbaBDFECA ，解得ACDBE712E过 作高 交 于 ，则HB512ABCH因为 ，解得K3760DE所以 内接正方形边长为 或 .A71212.（本题满分 14 分）解：（1）设二次函数解析式为 ，由题意得：)0(2acbxy313024cbacba 32可得： ，)4,1(D),(E（2）做直线 ，按照与点 的近远分别交 于 ，交 于 点COO21,AC21,B，21BAQPBEA又 ，EEC16323（3）过点 作关于 轴的对称点 ，过 点作关于 轴的对称点 .Dy)4,(/DAx)3,2(/A连接 交 轴于点 ，交 轴于点 ，此时线段 的长度即为所求路径最小值./AxHG/D即 58/BKH FGECAD
