1、辽宁省沈阳市 2019 年中考数学试卷一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的，每小题 3 分，共 24 分）1 （3 分） （2019 沈阳）2019 年第一季度，沈阳市公共财政预算收入完成 196 亿元（数据来源：4 月 16 日沈阳日报 ） ，将 196 亿用科学记数法表示为（ ）A 1.96108 B 19.6108 C 1.961010 D19.61010考点： 科学记数法表示较大的数分析： 科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值是易错点，由于 196 亿有 11 位，所以可以确定 n=111=10解答： 解：196 亿=
2、19 600 000 000=1.9610 10故选 C点评： 此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定 a 与 n 值是关键2 （3 分） （2019 沈阳）如图所示是一个几何体的三视图，这个几何体的名称是（ ）A 圆柱体 B 三棱锥 C 球体 D圆锥体考点： 由三视图判断几何体分析： 主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形解答： 解：由于主视图和左视图为长方形可得此几何体为柱体，由俯视图为圆可得为圆柱体故选 A点评： 本题考查了由三视图来判断几何体，还考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力3 （3 分） （2019 沈阳）下面的
3、计算一定正确的是（ ）A b3+b3=2b6 B （3pq ） 2=9p2q2 C 5y33y5=15y8 Db9b3=b3考点： 单项式乘单项式；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法分析： 根据合并同类项的法则判断 A；根据积的乘方的性质判断 B；根据单项式乘单项式的法则判断 C；根据同底数幂的除法判断 D解答： 解：A、b 3+b3=2b3，故本选项错误；B、 （3pq） 2=9p2q2，故本选项错误；C、5y 33y5=15y8，故本选项正确；D、b 9b3=b6，故本选项错误故选 C点评： 本题考查了合并同类项，积的乘方，单项式乘单项式，同底数幂的除法，熟练掌握运算性质与法则
4、是解题的关键4 （3 分） （2019 沈阳）如果 m= ，那么 m 的取值范围是（ ）A 0m1 B 1m2 C 2m3 D3m4考点： 估算无理数的大小分析： 先估算出 在 2 与 3 之间，再根据 m= ，即可得出 m 的取值范围解答： 解： 2 3，m= ，m 的取值范围是 1m2；故选 B点评： 此题考查了估算无理数的大小，解题关键是确定无理数的整数部分，是一到基础题5 （3 分） （2019 沈阳）下列事件中，是不可能事件的是（ ）A买一张电影票，座位号是奇数 B 射击运动员射击一次，命中 9 环C 明天会下雨 D度量三角形的内角和，结果是 360考点： 随机事件分析： 不可能事件
5、是指在一定条件下，一定不发生的事件解答： 解：A、买一张电影票，座位号是奇数，是随机事件；B、射击运动员射击一次，命中 9 环，是随机事件；C、明天会下雨，是随机事件；D、度量一个三角形的内角和，结果是 360，是不可能事件故选 D点评： 本题考查了不可能事件、随机事件的概念用到的知识点为：不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件6 （3 分） （2019 沈阳）计算 的结果是（ ）A B C D考点： 分式的加减法专题： 计算题分析： 先通分，再根据同分母的分式相加减的法则进行计算即可解答： 解：原式= = 故选 B点评：
6、本题考查的是分式的加减法，异分母分式加减把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，再把分子相加减即可7 （3 分） （2019 沈阳）在同一平面直角坐标系中，函数 y=x1 与函数 的图象可能是（ ）A B C D考点： 反比例函数的图象；一次函数的图象分析： 根据反比例函数的性质可得：函数 的图象在第一三象限，由一次函数与系数的关系可得函数 y=x1 的图象在第一三四象限，进而选出答案解答： 解：函数 中，k=10，故图象在第一三象限；函数 y=x1 的图象在第一三四象限，故选：C点评： 此题主要考查了反比例函数与一次函数图象，关键是掌握一次函数图象与系数的关系一次函数 y=kx+b 的图象
7、有四种情况：当 k0，b0，函数 y=kx+b 的图象经过第一、二、三象限，y 的值随 x 的值增大而增大；当 k0，b0，函数 y=kx+b 的图象经过第一、三、四象限，y 的值随 x 的值增大而增大；当 k0，b0 时，函数 y=kx+b 的图象经过第一、二、四象限，y 的值随 x 的值增大而减小；当 k0，b0 时，函数 y=kx+b 的图象经过第二、三、四象限，y 的值随 x 的值增大而减小8 （3 分） （2019 沈阳）如图， ABC 中，AE 交 BC 于点D，C= E，AD=4，BC=8，BD：DC=5：3，则 DE 的长等于（ ）A B C D考点： 相似三角形的判定与性质分
8、析： 由ADC=BDE ， C=E，可得 ADCBDE，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案解答： 解：ADC=BDE，C= E，ADCBDE， ，AD=4，BC=8，BD ：DC=5：3，BD=5，DC=3，DE= = 故选 B点评： 此题考查了相似三角形的判定与性质此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用二、填空题（每小题 4 题，共 32 分）9 （4 分） （2019 沈阳）分解因式：3a 2+6a+3= 3（a+1） 2 考点： 提公因式法与公式法的综合运用分析： 先提取公因式 3，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解解答： 解：3a 2+6a+3，=3（a 2+2a+1
9、） ，=3（a+1） 2故答案为：3（a+1） 2点评： 本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止10 （4 分） （2019 沈阳）一组数据 2，4，x， 1 的平均数为 3，则 x 的值是 7 考点： 算术平均数分析： 根据求平均数的公式： ，列出算式，即可求出 x 的值解答： 解： 数据 2，4，x， 1 的平均数为 3，（ 2+4+x1）4=3 ，解得：x=7；故答案为：7点评： 本题考查了平均数的求法，属于基础题，熟记求算术平均数的公式是解决本题的关键11 （4 分） （2019
10、沈阳）在平面直角坐标系中，点（ 3，2）关于原点对称的点的坐标是 （3，2 ） 考点： 关于原点对称的点的坐标专题： 数形结合分析： 根据平面直角坐标系内两点关于原点对称横纵坐标互为相反数，即可得出答案解答： 解：根据平面直角坐标系内两点关于原点对称横纵坐标互为相反数，点（ 3，2）关于原点对称的点的坐标是（3，2） ，故答案为（3，2） 点评： 本题主要考查了平面直角坐标系内两点关于原点对称横纵坐标互为相反数，难度较小12 （4 分） （2019 沈阳）若关于 x 的一元二次方程 x2+4ax+a=0 有两个不相等的实数根，则 a 的取值范围是 a 或 a0 考点： 根的判别式分析： 根据方
11、程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于 0，列出关于 a 的不等式，求出不等式的解集即可得到 a 的范围解答： 解：根据题意得：=（4a ） 24a0，即 4a（4a 1）0，解得：a 或 a0，则 a 的范围是 a 或 a0故答案为：a 或 a0点评： 此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键13 （4 分） （2019 沈阳）如果 x=1 时，代数式 2ax3+3bx+4 的值是 5，那么 x=1 时，代数式 2ax3+3bx+4 的值是 3 考点： 代数式求值分析： 将 x=1 代入代数式 2ax3+3bx+4，令其值是 5 求出 2a+3b 的值，再将 x=
12、1 代入代数式2ax3+3bx+4，变形后代入计算即可求出值解答： 解： x=1 时，代数式 2ax3+3bx+4=2a+3b+4=5，即 2a+3b=1，x=1 时，代数式 2ax3+3bx+4=2a3b+4=（2a+3b）+4=1+4=3故答案为：3点评： 此题考查了代数式求值，利用了整体代入的思想，是一道基本题型14 （4 分） （2019 沈阳）如图，点 A、B、C 、D 都在O 上， ABC=90，AD=3， CD=2，则O 的直径的长是 考点： 圆周角定理；勾股定理分析： 首先连接 AC，由圆的内接四边形的性质，可求得ADC=90 ，根据直角所对的弦是直径，可证得 AC 是直径，然
13、后由勾股定理求得答案解答： 解：连接 AC，点 A、 B、C 、D 都在O 上， ABC=90，ADC=180ABC=90，AC 是直径，AD=3，CD=2，AC= = 故答案为： 点评： 此题考查了圆周角定理、圆的内接四边形的性质以及勾股定理此题比较简单，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用15 （4 分） （2019 沈阳）有一组等式：12+22+22=32，2 2+32+62=72，3 2+42+122=132，4 2+52+202=212请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第 8 个等式为 8 2+92+722=732 考点： 规律型：数字的变化类专题： 规律型分析： 观察
14、不难发现，两个连续自然数的平方和加上它们积的平方，等于比它们的积大 1的数的平方，然后写出即可解答： 解： 12+22+22=32，2 2+32+62=72，3 2+42+122=132，4 2+52+202=212，第 8 个等式为：8 2+92+（89） 2=（8 9+1） 2，即 82+92+722=732故答案为：8 2+92+722=732点评： 本题是对数字变化规律的考查，仔细观察底数的关系是解题的关键，也是本题的难点16 （4 分） （2019 沈阳）已知等边三角形 ABC 的高为 4，在这个三角形所在的平面内有一点 P，若点 P 到 AB 的距离是 1，点 P 到 AC 的距离
15、是 2，则点 P 到 BC 的最小距离和最大距离分别是 1，7 考点： 等边三角形的性质；平行线之间的距离专题： 计算题分析： 根据题意画出相应的图形，直线 DM 与直线 NF 都与 AB 的距离为 1，直线 NG 与直线 ME 都与 AC 的距离为 2，当 P 与 N 重合时，HN 为 P 到 BC 的最小距离；当 P与 M 重合时，MQ 为 P 到 BC 的最大距离，根据题意得到 NFG 与 MDE 都为等边三角形，利用锐角三角函数定义及特殊角的三角函数值求出 DB 与 FB 的长，以及CG 与 CE 的长，进而由 DB+BC+CE 求出 DE 的长，由 BCBFCG 求出 FG 的长，求
16、出等边三角形 NFG 与等边三角形 MDE 的高，即可确定出点 P 到 BC 的最小距离和最大距离解答： 解：根据题意画出相应的图形，直线 DM 与直线 NF 都与 AB 的距离为 1，直线 NG与直线 ME 都与 AC 的距离为 2，当 P 与 N 重合时， HN 为 P 到 BC 的最小距离；当 P 与 M 重合时，MQ 为 P 到 BC的最大距离，根据题意得到NFG 与MDE 都为等边三角形，DB=FB= = ，CE=CQ= = ，DE=DB+BC+CE= + + = ，FG=BCBF CG= ，NH= FG=1，MQ= DE=7，则点 P 到 BC 的最小距离和最大距离分别是 1，7故
17、答案为：1，7点评： 此题考查了等边三角形的性质，以及平行线间的距离，作出相应的图形是解本题的关键三、解答题（第 17、18 小题各 8 分，第 19 小题 10 分，共 26 分）17 （8 分） （2019 沈阳）计算： 考点： 实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值专题： 计算题分析： 本题涉及零指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个考点针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果解答： 解：原式= 6 +1+2 2=2 点评： 本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握零指数
18、幂、绝对值、特殊角的三角函数值、二次根式化简等考点的运算18 （8 分） （2019 沈阳）一家食品公司将一种新研发的食品免费送给一些人品尝，并让每个人按 A（不喜欢） 、B（一般） 、C（比较喜欢） 、D（非常喜欢）四个等级对该食品进行评价，图和图是该公司采集数据后，绘制的两幅不完整的统计图请你根据以上统计图提供的信息，回答下列问题：（1）本次调查的人数为 200 人；（2）图中，a= 35 ，C 等级所占的圆心角的度数为 126 度；（3）请直接在答题卡中补全条形统计图考点： 条形统计图；扇形统计图分析： （1）用 A 的人数与所占的百分比列式计算即可得解；（2）先求出 C 的人数，再求出
19、百分比即可得到 a 的值，用 C 所占的百分比乘以360计算即可得解；（3）根据计算补全统计图即可解答： 解：（1）2010%=200 人；（2）C 的人数为：200 204664=70，所占的百分比为： 100%=35%，所以，a=35，所占的圆心角的度数为：35%360=126 ；故答案为：（1）200；（2）35，126（3）补全统计图如图所示点评： 本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小19 （10 分） （2019 沈阳）如图， ABC 中
20、，AB=BC，BEAC 于点 E，ADBC 于点D，BAD=45，AD 与 BE 交于点 F，连接 CF（1）求证：BF=2AE；（2）若 CD= ，求 AD 的长考点： 全等三角形的判定与性质；勾股定理专题： 证明题分析： （1）先判定出ABD 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AD=BD，再根据同角的余角相等求出CAD=CBE，然后利用 “角边角”证明ADC和BDF 全等，根据全等三角形对应边相等可得 BF=AC，再根据等腰三角形三线合一的性质可得 AC=2AF，从而得证；（2）根据全等三角形对应边相等可得 DF=CD，然后利用勾股定理列式求出 CF，再根据线段垂直平分线上的点
21、到线段两端点的距离相等可得 AF=CF，然后根据AD=AF+DF 代入数据即可得解解答： （1）证明：AD BC，BAD=45，ABD 是等腰直角三角形，AD=BD，BEAC，ADBC，CAD+ACD=90，CBE+ACD=90，CAD=CBE，在ADC 和 BDF 中， ，ADCBDF（ASA） ，BF=AC，AB=BC，BE AC，AC=2AF，BF=2AE；（2）解：ADC BDF，DF=CD= ，在 RtCDF 中，CF= = =2，BEAC，AE=EC，AF=CF=2，AD=AF+DF=2+ 点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性
22、质，勾股定理的应用，以及线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键四、解答题（每小题 10 分，共 20 分）20 （10 分） （2019 沈阳）在一个不透明的盒子中放有三张卡片，每张卡片上写有一个实数，分别为 3， ， （卡片除了实数不同外，其余均相同）（1）从盒子中随机抽取一张卡片，请直接写出卡片上的实数是 3 的概率；（2）先从盒子中随机抽取一张卡片，将卡片上的实数作为被减数；卡片不放回，再随机抽取一张卡片，将卡片上的实数作为减数，请你用列表法或树状图（树形图）法，求出两次好抽取的卡片上的实数之差为有理数的概率考点： 列表法与树状图法；概率公式分析
23、： （1）由在一个不透明的盒子中放有三张卡片，每张卡片上写有一个实数，分别为3， ， ，直接利用概率公式求解即可求得答案；（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图即可求得所有等可能的结果与两次好抽取的卡片上的实数之差为有理数的情况，再利用概率公式求解即可求得答案解答： 解：（1）在一个不透明的盒子中放有三张卡片，每张卡片上写有一个实数，分别为 3， ， 从盒子中随机抽取一张卡片，卡片上的实数是 3 的概率是： ；（2）画树状图得：共有 6 种等可能的结果，两次好抽取的卡片上的实数之差为有理数的有 2 种情况，两次好抽取的卡片上的实数之差为有理数的概率为： = 点评： 本题考查的是用列表法或画
24、树状图法求概率列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件注意概率=所求情况数与总情况数之比21 （10 分） （2019 沈阳）身高 1.65 米的兵兵在建筑物前放风筝，风筝不小心挂在了树上在如图所示的平面图形中，矩形 CDEF 代表建筑物，兵兵位于建筑物前点 B 处，风筝挂在建筑物上方的树枝点 G 处（点 G 在 FE 的延长线上） 经测量，兵兵与建筑物的距离BC=5 米，建筑物底部宽 FC=7 米，风筝所在点 G 与建筑物顶点 D 及风筝线在手中的点 A在同一条直线上，点 A 距地面的高度 AB=1.4 米，风筝
25、线与水平线夹角为 37（1）求风筝距地面的高度 GF；（2）在建筑物后面有长 5 米的梯子 MN，梯脚 M 在距墙 3 米处固定摆放，通过计算说明：若兵兵充分利用梯子和一根米长的竹竿能否触到挂在树上的风筝？（参考数据：sin370.60，cos37 0.80，tan370.75）考点： 解直角三角形的应用分析： （1）过 A 作 APGF 于点 P在直角 PAG 中利用三角函数求得 GP 的长，进而求得 GF 的长；（2）在直角MNF 中，利用勾股定理求得 NF 的长度，NF 的长加上身高再加上竹竿长，与 GF 比较大小即可解答： 解：（1）过 A 作 APGF 于点 P则 AP=BF=12，
26、AB=PF=1.4，GAP=37，在直角PAG 中，tanPAG= ，GP=APtan37120.75=9（米） ，GF=9+1.410.4（米） ；（2）由题意可知 MN=5，MF=3，在直角MNF 中，NF= =4，10.451.65=3.754，能触到挂在树上的风筝点评： 本题考查了勾股定理，以及三角函数、正确求得 GF 的长度是关键五、 （本题 10 分）22 （10 分） （2019 沈阳）如图，OC 平分MON，点 A 在射线 OC 上，以点 A 为圆心，半径为 2 的A 与 OM 相切与点 B，连接 BA 并延长交 A 于点 D，交 ON 于点 E（1）求证：ON 是A 的切线；
27、（2）若MON=60，求图中阴影部分的面积 （结果保留 ）考点： 切线的判定；扇形面积的计算分析： （1）首先过点 A 作 AFON 于点 F，易证得 AF=AB，即可得 ON 是A 的切线；（2）由MON=60，AB OM，可求得 AF 的长，又由 S 阴影 =SAEFS 扇形 ADF，即可求得答案解答： （1）证明：过点 A 作 AFON 于点 F，A 与 OM 相切与点 B，ABOM，OC 平分MON，AF=AB=2，ON 是 A 的切线；（2）解：MON=60 ，AB OM，OEB=30，AFON，FAE=60，在 RtAEF 中， tanFAE= ，AF=AFtan60=2 ，S 阴
28、影 =SAEFS 扇形 ADF= AFEF AF2=2 点评： 此题考查了切线的判定与性质、扇形的面积以及三角函数的性质此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用六、 （本题 12 分）23 （12 分） （2019 沈阳）某市对火车站进行了大规模的改建，改建后的火车站除原有的普通售票窗口外，新增了自动打印车票的无人售票窗口某日，从早 8 点开始到上午 11 点，每个普通售票窗口售出的车票数 y1（张）与售票时间 x（小时）的正比例函数关系满足图中的图象，每个无人售票窗口售出的车票数 y2（张）与售票时间 x（小时）的函数关系满足图中的图象（1）图中图象的前半段（含端点）是以原
29、点为顶点的抛物线的一部分，根据图中所给数据确定抛物线的表达式为 60x 2 ，其中自变量 x 的取值范围是 0x ；（2）若当天共开放 5 个无人售票窗口，截至上午 9 点，两种窗口共售出的车票数不少于1450 张，则至少需要开放多少个普通售票窗口？（3）上午 10 点时，每个普通售票窗口与每个无人售票窗口售出的车票数恰好相同，试确定图中图象的后半段一次函数的表达式考点： 二次函数的应用；一次函数的应用分析： （1）设函数的解析式为 y=ax2，然后把点（1，60）代入解析式求得 a 的值，即可得出抛物线的表达式，根据图象可得自变量 x 的取值范围；（2）设需要开放 x 个普通售票窗口，根据售
30、出车票不少于 1450，列出不等式解不等式，求最小整数解即可；（3）先求出普通窗口的函数解析式，然后求出 10 点时售出的票数，和无人售票窗口当 x= 时，y 的值，然后把运用待定系数法求解析式即可解答： 解：（1）设函数的解析式为 y=ax2，把点（1，60）代入解析式得：a=60，则函数解析式为：y=60x 2（0x ） ；（2）设需要开放 x 个普通售票窗口，由题意得，80x+605 1450，解得：x14 ，x 为整数，x=15，即至少需要开放 15 个普通售票窗口；（3）设普通售票的函数解析式为 y=kx，把点（1，80）代入得：k=80，则 y=80x，10 点是 x=2，当 x=
31、2 时，y=160 ，即上午 10 点普通窗口售票为 160 张，由（1）得，当 x= 时，y=135，图 中的一次函数过点（ ，135） ， （2，160） ，设一次函数的解析式为：y=mx+n，把点的坐标代入得： ，解得： ，则一次函数的解析式为 y=50x+60点评： 本题考查了二次函数及一次函数的应用，解答本题的关键是根据题意找出等量关系求出函数解析式，培养学生的读图能力以及把生活中的实际问题转化为数学问题来解决七、 （本题 12 分）24 （12 分） （2019 沈阳）定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“ 友好三角形” 性质：如果两个三角形是“友好三角形”，那么这两个
32、三角形的面积相等理解：如图，在ABC 中，CD 是 AB 边上的中线，那么 ACD 和 BCD 是“ 友好三角形”，并且 SACD=SBCD应用：如图，在矩形 ABCD 中，AB=4，BC=6，点 E 在 AD 上，点 F 在 BC 上，AE=BF，AF 与 BE 交于点 O（1）求证：AOB 和AOE 是“友好三角形”；（2）连接 OD，若AOE 和 DOE 是“友好三角形”，求四边形 CDOF 的面积探究：在ABC 中， A=30，AB=4 ，点 D 在线段 AB 上，连接 CD，ACD 和BCD 是“友好三角形” ，将 ACD 沿 CD 所在直线翻折，得到ACD，若ACD 与ABC 重合
33、部分的面积等于 ABC 面积的 ，请直接写出ABC 的面积考点： 四边形综合题分析： （1）利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得到四边形 ABFE 是平行四边形，然后根据平行四边形的性质证得 OE=OB，即可证得AOE 和AOB 是友好三角形；（2）AOE 和DOE 是“ 友好三角形”，即可得到 E 是 AD 的中点，则可以求得ABE、ABF 的面积，根据 S 四边形 CDOF=S 矩形 ABCD2SABF 即可求解探究：画出符合条件的两种情况：求出四边形 ADCB 是平行四边形，求出 BC和 AD 推出ACB=90，根据三角形面积公式求出即可； 求出高 CQ，求出ADC 的面积即可
34、求出ABC 的面积解答： （1）证明：四边形 ABCD 是矩形，ADBC，AE=BF，四边形 ABFE 是平行四边形，OE=OB，AOE 和AOB 是友好三角形（2）解：AOE 和DOE 是友好三角形，SAOE=SDOE，AE=ED= AD=3，AOB 与AOE 是友好三角形，SAOB=SAOEAOEFOB，SAOE=SFOB，SAOD=SABF，S 四边形 CDOF=S 矩形 ABCD2SABF=462 43=12探究：解：分为两种情况：如图 1，SACD=SBCDAD=BD= AB，沿 CD 折叠 A 和 A重合，AD=AD= AB= 4=2，ACD 与ABC 重合部分的面积等于ABC 面
35、积的 ，SDOC= SABC= SBDC= SADC= SADC，DO=OB，A O=CO，四边形 ADCB 是平行四边形，BC=AD=2，过 B 作 BMAC 于 M，AB=4，BAC=30 ，BM= AB=2=BC，即 C 和 M 重合，ACB=90，由勾股定理得：AC= =2 ，ABC 的面积是 BCAC= 22 =2 ；如图 2，SACD=SBCDAD=BD= AB，沿 CD 折叠 A 和 A重合，AD=AD= AB= 4=2，ACD 与ABC 重合部分的面积等于ABC 面积的 ，SDOC= SABC= SBDC= SADC= SADC，DO=OA，BO=CO，四边形 ADCB 是平行
36、四边形，BD=AC=2，过 C 作 CQAD 于 Q，AC=2，DA C=BAC=30，CQ= AC=1，SABC=2SADC=2SADC=2 ADCQ=2 21=2；即ABC 的面积是 2 或 2 点评： 本题考查了平行四边形性质和判定，三角形的面积，勾股定理的应用，解这个题的关键是能根据已知题意和所学的定理进行推理题目比较好，但是有一定的难度八、 （本题 14 分）25 （14 分） （2019 沈阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y= x2+bx+c 经过点A（ ，0）和点 B（1， ） ，与 x 轴的另一个交点为 C（1）求抛物线的函数表达式；（2）点 D 在对称轴的右侧， x 轴
37、上方的抛物线上，且 BDA=DAC，求点 D 的坐标；（3）在（2）的条件下，连接 BD，交抛物线对称轴于点 E，连接 AE判断四边形 OAEB 的形状，并说明理由；点 F 是 OB 的中点，点 M 是直线 BD 的一个动点，且点 M 与点 B 不重合，当BMF= MFO 时，请直接写出线段 BM 的长考点： 二次函数综合题分析： （1）利用待定系数法求出抛物线的函数表达式；（2）由BDA=DAC，可知 BDx 轴，点 B 与点 D 纵坐标相同，解一元二次方程求出点 D 的坐标；（3）由 BE 与 OA 平行且相等，可判定四边形 OAEB 为平行四边形；点 M 在点 B 的左右两侧均有可能，需
38、要分类讨论综合利用相似三角形的性质、等腰三角形的性质和勾股定理，求出线段 BM 的长度解答： 解：（1）将 A（ ，0） 、B（1， ）代入抛物线解析式 y= x2+bx+c，得：，解得： y= x2 x+ （2）当BDA=DAC 时，BDx 轴B（1， ） ，当 y= 时， = x2 x+ ，解得：x=1 或 x=4，D（ 4， ） （3）四边形 OAEB 是平行四边形理由如下：抛物线的对称轴是 x= ，BE= 1= A（ ， 0） ，OA=BE= 又 BEOA，四边形 OAEB 是平行四边形O（0，0） ，B （1， ） ，F 为 OB 的中点，F （ ， ） 过点 F 作 FN直线 BD
39、 于点 N，则 FN= = ，BN=1 = 在 RtBNF 中，由勾股定理得：BF= = BMF= MFO，MFO=FBM+BMF，FBM=2BMF（I）当点 M 位于点 B 右侧时在直线 BD 上点 B 左侧取一点 G，使 BG=BF= ，连接 FG，则 GN=BGBN=1，在 RtFNG 中，由勾股定理得：FG= = BG=BF，BGF= BFG又FBM= BGF+BFG=2BMF，BFG=BMF，又MGF= MGF，GFBGMF， ，即 ，BM= ；（II）当点 M 位于点 B 左侧时设 BD 与 y 轴交于点 K，连接 FK，则 FK 为 RtKOB 斜边上的中线，KF= OB=FB= ，FKB=FBM=2BMF，又FKB=BMF+ MFK，BMF=MFK，MK=KF= ，BM=MK+BK= +1= 综上所述，线段 BM 的长为 或 点评： 本题是中考压轴题，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、解方程、相似三角形、等腰三角形、平行四边形、勾股定理等知识点难点在于第（3）问，满足条件的点 M 可能有两种情形，需要分类讨论，分别计算，避免漏解
