1、1绝密启用前2010 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学试题学科网学科网学科网学科网学科网学科网学科网学科网学科网学科网1、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分。请把答案填写在答题卡相应的位置上.1、设集合 A=-1,1,3，B=a+2,a 2+4,AB=3，则实数 a=_.解析 考查集合的运算推理。3 B, a+2=3, a=1.2、设复数 z 满足 z(2-3i)=6+4i（其中 i 为虚数单位） ，则 z 的模为_.解析 考查复数运算、模的性质。z(2-3i)=2(3+2 i), 2-3i 与 3+2 i 的模相等，z 的模为 2。3、盒子中有大小相同的
2、3 只小球，1 只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是_ _.解析考查古典概型知识。 24、某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了 100 根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标） ，所得数据都在区间5,40中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的 100 根中，有_根在棉花纤维的长度小于 20mm。解析考查频率分布直方图的知识。100（0.001+0.001+0.004）5=305、设函数 f(x)=x(ex+ae-x)(x R)是偶函数，则实数 a=_注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共 4 页，包含填空题（第 1
3、题第 14 题） 、解答题（第 15 题第 20 题） 。本卷满分 160分，考试时间为 120 分钟。考试结束后，请将本卷和答题卡一并交回。2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。4.请在答题卡上按照晤顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效。作答必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔。请注意字体工整，笔迹清楚。5.如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。6.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损。2解析考查函数的奇偶性
4、的知识。g(x)=ex+ae-x 为奇函数，由 g(0)=0，得 a=1。6、在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 上一点 M，点 M 的横坐标是 3，则 M24yx到双曲线右 焦点的距离是_解析考查双曲线的定义。 ， 为点 M 到右准线 的距离，MFedd1x=2，MF=4。d7、右图是一个算法的流程图，则输出 S 的值是_解析考查流程图理解。 输出 。24131, 25163S8、函数 y=x2(x0)的图像在点(a k,ak2)处的切线与 x 轴交点的横坐标为 ak+1,k 为正整数，a1=16，则 a1+a3+a5=_ _解析考查函数的切线方程、数列的通项。在点(a k,ak2)处的切
5、线方程为： 当 时，解得 ，2(),kkyaxa0y2kax所以 。1135,641a9、在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 上有且仅有四个点到直线 12x-5y+c=042y的距离为 1，则实数 c 的取值范围是_来源解析考查圆与直线的位置关系。 圆半径为 2，圆心（0，0）到直线 12x-5y+c=0 的距离小于 1， ， 的取值范围是（-13，13） 。|3c10、定义在区间 上的函数 y=6cosx 的图像与 y=5tanx 的图像的交点为 P，过点 P 作20,PP1x 轴于点 P1，直线 PP1 与 y=sinx 的图像交于点 P2,则线段 P1P2 的长为_。解析 考查三角函数
6、的图象、数形结合思想。线段 P1P2 的长即为 sinx 的值，3且其中的 x 满足 6cosx=5tanx，解得 sinx= 。线段 P1P2 的长为3311、已知函数 ,则满足不等式 的 x 的范围是_210(),xf()(fxf_。解析 考查分段函数的单调性。21(1,2)0x12、设实数 x,y 满足 3 8，4 9，则 的最大值是 。 。来源2xyy243x解析 考查不等式的基本性质，等价转化思想。， ， ， 的最大值是 27。2()16,8xy21,3xy241(),27xyxy43yx13、在锐角三角形 ABC，A、B 、C 的对边分别为 a、 b、 c， ，则6cosaC=_。
7、tantCA解析 考查三角形中的正、余弦定理三角函数知识的应用，等价转化思想。一题多解。（方法一）考虑已知条件和所求结论对于角 A、B 和边 a、b 具有轮换性。当 A=B 或 a=b 时满足题意，此时有：， ， ，1cos3C21costan2C2tan， = 4。tatt2ABttAB（方法二） ，26coscsbaCabb22236,a 2tntsincosincosins()1sinicoCBACABCA AB 4由正弦定理，得：上式=2221413cos()66ccCab14、将边长为 1 的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记 ,则 S 的最小值是_。2
8、(S梯 形 的 周 长 ）梯 形 的 面 积解析 考查函数中的建模应用，等价转化思想。一题多解。设剪成的小正三角形的边长为 ，则：x22(3)4(3)01)111xS x（方法一）利用导数求函数最小值。，24(3)()1xSx 224(6)(1(3)()3xxS22 26)()()()3xx ，1()0,3Sx当 时， 递减；当 时， 递增；13()0,Sx 1,)3x()0,Sx故当 时，S 的最小值是 。x2（方法二）利用函数的方法求最小值。令 ，则：13,(23),(,)xtt2244186633tSt故当 时，S 的最小值是 。1,83xt2二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90
9、分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15、 （本题满分 14 分）在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(1,2)、B(2,3) 、C(2,1)。5(1)求以线段 AB、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长；(2)设实数 t 满足( ) =0，求 t 的值。OCtAB解析 本题考查中点坐标公式、两点间距离公式、向量的数量积等。（1）设该平行四边形的第四个顶点为 D，两条对角线的交点为 E，则:E 为 B、C 的中点，E（0，1）又 E（0，1）为 A、D 的中点，所以 D（1，4）两条对角线的长分别为 BC= 、AD= ；20（2）由题意知： ， BOCt(3,
10、5)B215|AOCt16、 （本题满分 14 分）如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PD平面ABCD，PD=DC=BC=1,AB=2,ABDC，BCD=90 0。(1)求证：PCBC；(2)求点 A 到平面 PBC 的距离。解析 本题主要考查直线与平面的垂直关系，考查空间想象能力、推理论证能力。满分 14 分。（1）证明：因为 PD平面 ABCD，所以 PDBC ，又BCD=90 0，CDBC ，所以 BC平面 PCD，故 PCBC。（2） （方法一）分别取 AB、PC 的中点 E、F，连 DE、DF，则：易证 DECB，DE平面 PBC，点 D、E 到平面 PBC 的距离相等。又点 A 到
11、平面 PBC 的距离等于 E 到平面 PBC 的距离的 2 倍。由（1）知：BC平面 PCD，所以平面 PBC平面 PCD 于 PC，因为 PD=DC，PF=FC，所以 DFPC，所以 DF平面 PBC 于 F。易知 DF= ，故点 A 到平面 PBC 的距离等于 。22（方法二）体积法： ， ，PBCAVPBCABCShD，1212hh故点 A 到平面 PBC 的距离等于 。617、 （本题满分 14 分）某兴趣小组测量电视塔 AE 的高度 H(单位 m） ，如示意图，垂直放置的标杆 BC 高度h=4m，仰角 ABE=，ADE=。(1)该小组已经测得一 组 、 的值，tan=1.24,tan
12、 =1.20, 请据此算出 H 的值；(2)该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离 d（单位 m） ，使 与 之差较大，可以提高测量精确度，若电视塔实际高度为 125m，问 d 为多少时，- 最大。解析 本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用。（1） ，同理： ， 。tantanHHADtanHABtanhDADAB=DB， ，解得：ttth。an41.24tt0hH（2） ，,HhdADBd2tantan() ()1t ()1hdhHd ， （当且仅当 时，取等2()Hhdh 152H号）故当 时， 最大，- 最大。5tan()18、 （本题满分 16 分
13、）在平面直角坐标系 中，如图，已知椭圆xoy7的左右顶点为 A、B，右顶点为 F，设过点 T（ ）的直线 TA、TB 与椭圆1592yx mt,分别交于点 M 、 ，其中 m0,),(1x),(2yxN0,21y设动点 P 满足 ,求点 P 的轨迹；42F设 ，求点 T 的坐标；3,1设 ,求证：直线 MN 必过 x 轴上的一定点。 （其坐标与 m 无关） 。9t解析 本题主要考查求曲线的方程方法、直线方程、解方程组等。考查运算能力。设 P（x，y） ，则：F （2，0） 、B（3，0） 、A （-3，0） 。点 P 的轨迹为直线 。2 9()()4,2yx92x将 分别代入椭圆方程，得：M（
14、2， ） 、N（ ， ）31,1x 5310直线 MTA 方程为： ，直线 NTB 方程为： 。035 39y联立，解得： ，所以点 T 的坐标为 。17,xy10(7,)3点 T 的坐标为 (9)m直线 MTA 方程为： ，直线 NTB 方程为： 。03x309yxm分别与椭圆 联立方程组，1592yx解得： 、223(80)4,)mM223(0),)N直线 MN 方程为：2 220(4380)0)8myx令 ，解得： 。直线 MN 必过 x 轴上的一定点（ 1，0） 。0y1x19、 （本题满分 16 分）设各项均为正数的数列 的前 n 项和为 ，已知 ，数列 是公差为anS312anS的
15、等差数列。d8求数列 的通项公式（用 表示） ；nadn,设 为实数，对满足 的任意正整数 ，不等式cmk且3knm,都成立。求证： 的最大值为 。knmSc29解析 本题主要考查等差数列的有关知识、恒成立问题。由题意知： ， 0d11()()nSdand，2132323aaS2211(),ad化简，得： 211,，2(),nnSddS当 时， ，适合 情形。2221()(1)nadn1n故所求 2() ， 恒成立。2222mnkScdnckdmnck2mk又 ， ， 的最大值为 。且3 2229()()9c2920、 （本题满分 16 分）设 使定义在区间 上的函数，其导函数为 。如果存在实
16、数 和函数)(xf ),1()(xfa，其中 对任意的 都有 0，使得 ，则hx)(xh)1(2xh称函数 具有性质 。)(xf)(aP(1)设函数 ，其中 为实数。2ln1bxb求证：函数 具有性质 ；)(xf)(求函数 的单调区间。(2)已知函数 具有性质 ，给定 设 为实数。)(xg)2(P1212,(,),xxm， ，且 ，21mm9若| |0，)(xh,1(所以对任意的 都有 ， 在 上递增。)()0x()g,)又 。1212,xm当 时， ，且 ，,m1212()(),()()xmxxm10综合以上讨论，得：所求 的取值范围是（0，1） 。m数学（附加题）21.选做题 在 A、B、
17、C、D 四小题中只能选做两题，每小题 10 分，共计 20 分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(1)几何证明选讲AB 是O 的直径，D 为O 上一点，过点 D 作O 的切线交 AB 延长线于 C，若DA=DC，求证： AB=2BC。BOCAD解析 本题主要考查平面几何的推理证明。证明：连 OD，则：ODDC， 又 OA=OD，DA=DC ，所以DAO=ODA= DCO ， DOC=DAO+ODA=2DCO，11所以DCO=30 0，DOC=60 0，所以 OC=2OD，即 OB=BC=OD=OA，所以 AB=2BC。(2)矩 阵与变换在平面直角坐标系 xO
18、y 中， A(0,0),B(-3,),C(-2,1),设 k0， kR ，M= ,N= ,100点 A、B、C 在矩阵 MN 对应的变换下得到点 A1、B 1、C 1，A 1B1C1 的面积是ABC 面积的 2 倍，求实数 k 的值。解析 本题主要考查矩 阵的乘法运算及变换。010kMN03211k(3)参数方程与极坐标在极坐标系中，圆 =2cos 与直线 3cos+4 sin +a=0 相切，求实数 a 的值。解析 本题主要考查参数方程和普通方程的基本知识，考查转化问题的能力。满分 10 分。解： ，圆 =2cos 的普通方程为： ，2cos22,(1)xyxy直线 3cos+4sin+a=
19、0 的普通方程为： ，340a又圆与直线相切，所以 解得： ，或 。2|3140|1,a28(4)不等式证明选讲已知实数 a、b0，求证： 。32()abab解析 本题主要考查比较法证明不等式的常见方法，考查代数式的变形能力。满分 10 分。证明： 3222()()()abababa55()243234()()()()b12因为实数 a、b0，所以上式0。即有 。32()abab22、 （本题满分 10 分）某厂生产甲、乙两种产品，生产甲产品一等品 80%，二等品 20%；生产乙产品，一等品 90%，二等品 10%。生产一件甲产品，如果是一等品可获利 4 万元，若是二等品则要亏损 1 万元；生
20、产一件乙产品，如果是一等品可获利 6 万元，若是二等品则要亏损 2 万元。设生产各种产品相互独立。（1）记 x（单位：万元）为生产 1 件甲产品和件乙产品可获得的总利润，求 x 的分布列；（2）求生产 4 件甲产品所获得的利润不少于 10 万元的概率。解析 本题主要考查概率的基本知识，考查探究能力。满分 10 分。解：（1）x 的分布列为：X 10 5 2 -3P 0.72 0.18 0.08 0.02（2）生产一件甲产品，如果是一等品可获利 4 万元，依题意，至少需要生产 3 件一等品。所求概率为 340.82.08192C答：生产 4 件甲产品所获得的利润不少于 10 万元的概率为 0.8
21、192。23、 （本题满分 10 分）已知ABC 的三边长为有理数。（1）求证 cosA 是有理数；（2）对任意正整数 n，求证 cosnA 也是有理数。解析 本题主要考查推理证明能力。满分 10 分。（1） 证明：设三边长分别为 ， ， 是有理数，,abc22osbcaA,bc是有理数，分母 为正有理数，又有理数集对于除法的具有封闭22bc性， 必为有理数，cosA 是有理数。22ac（2）当 时，显然 cosA 是有理数；1n当 时， ，因为 cosA 是有理数， 也是有理数；2oscs1Acos2A假设当 时，结论成立，即 coskA、 均是有理数。()nkcos(1)k13当 时， ，1nkcos(1)cossinkAkkA，1()cos()2k，1cos(1)coscos2kkkA解得： ()AcosA ， ， 均是有理数， 是有理数，cosk(1)coscos(1)kk 是有理数。(1)即当 时，结论成立。nk综上所述，对于任意正整数 n，cosnA 也是有理数。
