1、等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于一腰上的高证明例一：如图所示,已知ABC 中,AB=AC=8,P 是 BC 上任意一点,PDAB 于点D，PEAC 点 E，若ABC 的面积为 14。问：PD+PE 的值是否确定？若能确定，是多少？若不能确定，请说明理由。解：三角形 ABC 的面积为 14，所以 PD+PE 的值为定值。由已知：AB=AC=8，S(ABC)=14，得S(ABC)=1/2*AB*PD+1/2*AC*PE=1/2*8*PD+1/2*8*PE)=141/2*8*(PD+PE)=14PD+PE=14/4=3.5即 PD+PE=3.5这道题得出的结论是：等腰三角形底边上任一点到两
2、腰上的距离之和等于一腰上的高。结论虽简单，我们又应当如何证明呢？关于这道题的证明方法有很多种。求证；等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于一腰上的高。 这是一道常见的几何证明问题，难度不大，但很经典，证明方法也很多。已知：等腰三角形 ABC 中，ABAC，BC 上任意点 D，DEAB，DFAC，BHAC 求证： DEDFBH 证法一：连接 AD则ABC 的面积AB*DE/2AC*DF/2(DEDF)*AC/2 而ABC 的面积BH*AC/2 所以：DEDFBH 即：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于腰上的高 证法二：作 DGBH，垂足为 G因为 DGBH，DFAC，BHAC所以四
3、边形 DGHF 是矩形所以 GHDF因为 ABAC所以EBDC因为 GD/AC所以GDBC所以EBDGDB又因为 BDBD所以BDEDBG（ASA）所以 DEBG所以 DEDFBGGHBH证法三：提示：过 B 作直线 DF 的垂线，垂足为 M运用全等三角形同样可证另外运用三角函数也能进行证明如果 D 在 BC 或 CB 的延长线上，有下列结论：|DEDF|BH问题：这个问题的另外一个表达形式：将此结论推广到等边三角形：等边三角形中任意一点到三边的距离的和等于等边三角形的一条高。证明的方法与上面的方法类似。这是两条很有用的性质。如果点在三角形外部，结论形式有所不同，道理是一样的如图，已知等边三角
4、形 ABC 和点 P，设点 P 到三角形 ABC 三边 ABACBC(或其延长线）的距离分别为 h1、h2、h3，三角形 ABC 的高为 h。解答提示：如图，过 P 作 BC 的平行线交 AB、AC 的延长线于 G、H，作 HQAG先证明 PDPEHQ（见：）而 HQAN，FPMN所以 PDPEPFANPFAMMNPFAM即 h1h2h3h另外一个变式问题：已知：如图，在ABC 中，C90，点 D、P 分别在边 AC、AB 上，且BD=AD，PEBD，PFAD，垂足分别为点 E、F。 （1）当A30时，求证：PE+PFBC （2）当A30（AABC）时，试问以上结论是否依然正确？如果正确，请加
5、以证明：如果不正确，请说明理由。腰长 5 厘米 底边长 6 厘米 p 是底边任意一点 pd 垂直于 ab pe 垂直于 ac 垂足为 d e pd+pe=解：作底边 BC 上的高 AM，设腰上的高h，连接 PA因为 ABAC5，BC6所以 BMCM3所以根据勾股定理得 AM4因为 SABCBC*AM/2AB*h/212所以 h24/5因为 SABCSABPSACPAB*PD/2AC*PE/2所以 5*PD/25*PE/212所以 PDPE24/5如图，点 P 是矩形 ABCD 的边 AD 上的一个动点，矩形的两天边长 AB/BC 分别为8 和 15，求点 P 到矩形的两条对角线 AC 和 BD 的距离之和。 解：设 AC、BD 交于 O，作 AEBD，PMAC，PNBD，连接 OP因为 AB8，BCAD15所以根据勾股定理得 BD17因为 SABCAB*AD/2AE*BD/2所以可得 AE120/17因为四边形 ABCD 是矩形所以 OAOD因为 SOADSOPASOPDOA*PM/2OD*PN/2（PMPN）*OD/2SOADAE*OD/2所以 PMPNAE120/17
