1、第四章 数值积分与数值微分,Newton-Cotes公式,数值分析,微积分学- “人类精神的卓越胜利”,微积分就是微分运算和积分运算这两种互逆运算方法的合称，就像加法与减法，乘法与除法是互逆运算一样，但微积分的运算法则要比加减乘除，乘方，开方等运算复杂得多，现在已成为高等数学的核心内容。,为什么要数值积分？在微积分里，按Newton-Leibniz公式求定积分要求被积函数f(x) 有解析表达式； f(x)的原函数F(x)为初等函数,Why do we do numerical integral?, f(x)没有解析表达式，只有数表形式,e.g., f(x)有表达式，但原函数不是初等函数,e.g
2、.,它们的原函数都不是初等函数., f(x)原函数表达式很复杂，计算量很大,e.g.,讨论数值积分的必要性,更一般地，我们可以在区间a,b上选取某些节点,4.,-(1.3),数值求积的方法是近似方法，要保证精度，我们自然希望求积公式对尽可能多的函数准确地成立，因此定义代数精度的概念:,P98-99,考察其代数精度。,梯形公式/* trapezoidal rule*/,解：逐次检查公式是否精确成立,代入 P0 = 1：,=,代入 P1 = x ：,=,代入 P2 = x2 ：,代数精度 = 1,例1.,试确定下面积分公式中的参数使其代数精确度尽量高.,解:,因此,所以该积分公式具有3次代数精确度
3、,各节点为,Cotes系数,注：Cotes 系数仅取决于 n 和 i，可查表得到。与 f (x) 及区间a, b均无关。,梯形公式,时，,3/8公式,例 用n=6的牛顿柯特斯公式计算定积分值,解：将积分区间0,1划分为n份，得到节点列为,在这些节点处的函数值为,则n=6的牛顿柯特斯公式为,Simpson公式及其余项,Cotes系数为,求积公式为,上式称为Simpson求积公式，也称三点公式或抛物线公式,记为,Simpson公式的余项为,Simpson公式具有3次代数精度,Cotes公式及其余项,Cotes系数为,求积公式为,上式称为Cotes求积公式，也称五点公式,记为,Cotes公式的余项为
4、,Cotes公式具有5次代数精度,思考,使用n次Lagrange插值多项式的Newton-Cotes公式至少具有n次代数精度,并且n为偶数时至少具有n+1次代数精度.,n=偶数时Newton-Cotes 求积公式的代数精确度,考察Cotes系数,因此用Newton-Cotes公式计算积分的舍入误差主要由,其值可以精确给定,记,而理论值为,使用机械求积公式计算,得到的近似值记为,舍入误差,充分小,这表明求积公式计算是稳定的。,定理2：若机械求积公式中的系数则此求积公式是稳定的。,证：,Havent we had enough formulae? Whats up now?,Oh come on,
5、 you dont seriously consider h=(ba)/2 acceptable, do you?,Why cant you simply refine the partition if you have to be so picky?,Dont you forget the oscillatory nature of high-degree polynomials!,Uh-oh,4.3 复化求积公式,直接使用Newton-Cotes公式的余项将会较大,公式的舍入误差又很难得到控制,为了提高公式的精度,又使算法简单易行,往往使用复化方法,然后在每个小区间上使用低阶Newton-
6、Cotes公式,最后将每个小区间上的积分的近似值相加, 复化 Simpson 公式：,= Sn,注：为方便编程，可采用另一记法：令 n = 2n 为偶数， 这时 ，有,复化求积公式的余项和收敛的阶,我们知道,三个求积公式的余项分别为,单纯的求积公式,复化求积公式的每个小区间,则复合梯形公式的余项为,由于,即有,例1 对于函数f(x)=sinx/x，给出n=8的函数表，试用复化梯形公式和复化辛普森公式 计算积分,解 将积分区间0,1划分为8等分，用复化梯形公式求得,而将积分区间0, 1划分为24等分，用复化辛普森公式求得,比较上面两个计算结果T8与S4，它们都需要提供9个点上的函数值，然而精度却
7、差别很大，同积分准确值I=0.9460831比较，应用复化梯形公式计算的结果T8=0.9456909只有2位有效数字，而应用复化辛普森公式计算的结果S4= 0.9460832却有6位有效数字.,为了利用余项公式估计误差，要求f(x)=sinx/x的高阶导数，由于,所以有,于是,复化梯形公式误差为,复化辛普森公式误差为,例2 利用复化梯形公式计算 使其误差限为0.5*10-6，应将区间0, 1几等分?,解 利用例1的结果,取n=236可满足要求.,由复化梯形公式的余项得,6,因此只需将区间0, 1四等分，即取9个点,n3.4,取n=4,使用复合Cotes公式，只需要将区间1等分，即四小等分，五个
8、点。,前面用复化梯形公式计算此题，满足相同的精度需要将区间0, 1划分17等分，可见复化辛普森公式的精度的确比复化梯形公式精度高同样也可用| S4m-S2m |来控制计算的精度. 这就是下面要介绍的龙贝格求积公式.,例 用复化Simpson公式计算积分 的近似值，并估计误差。（取n=5）,解：n=5，h=(1-0)/n=0.2，节点列为,则复化Simpson公式为,截断误差估计：, 理查德森外推法 /* Richardsons extrapolation */,利用低阶公式产生高精度的结果。,设对于某一 h 0，有公式 T0(h) 近似计算某一未知值 I。由Taylor展开得到： T0(h)
9、I = 1 h + 2 h2 + 3 h3 + ,i 与 h 无关,Q：如何将公式精度由 O(h) 提高到 O(h2) ？,即：,求积公式 (1)当求积系数 、求积节点 都可以自由选取时,其代数精确度最高可以达到多少次?,4.5 高斯型积分 /* Gaussian Quadrature */,构造具有2n+1次代数精度的求积公式,将节点 x0 xn 以及系数 A0 An 都作为待定系数。令 f (x) = 1, x, x2, , x2n+1 代入可求解，得到的公式具有2n+1 次代数精度。这样的节点称为Gauss 点，公式称为Gauss 型求积公式。,例：求 的 2 点 Gauss 公式。,代
10、入 f (x) = 1, x, x2, x3,不是线性方程组，不易求解。,正交多项式,证明： “”,对任意次数不大于n 的多项式 Pm(x)， Pm(x) w(x)的次数不大于2n+1，则代入公式应精确成立：,= 0,“” 要证明 x0 xn 为 Gauss 点，即要证公式对任意次数不大于2n+1 的多项式 Pm(x) 精确成立，即证明：,设,TH5表明，在a,b上带权的n+1次正交多项式的零点就是求积公式的高斯点。,如何通过正交多项式求高斯点？,正交多项式族 0, 1, , n, 有性质：任意次数不大于n 的多项式 P(x) 必与n+1 正交。,Step 1：构造正交多项式2,即：,Step
11、 2：求2 = 0 的 2 个根，即为 Gauss 点 x0 ，x1,Step 3：代入 f (x) = 1, x 以求解 A0 ，A1,解线性方程组，简单。,结果与前一方法相同：, 利用此公式计算 的值,注：构造正交多项式也可以利用 L-S 拟合中介绍过的递推式进行。,Gauss型求积公式具有数值结果精度高,收敛得以保证、计算简便、易于在计算机上实现等优点,并且在积分区间a,b有限时便于推广到高维数值积分.不足之处是公式的构造比较困难,另一个是由于相邻次数的正交多项式的根,从而造成增加求积节点以提高计算结果的精度时,原先所有求积节点上的函数值全部无用.所以在具体应用Gauss求积公式计算数值积分时,n取得都较小., Gauss 公式的余项：,/* 设P为f 的过x0 xn的插值多项式 */,/*只要P 的阶数不大于2n+1，则下一步等式成立*/,插值多项式的余项,Q：什么样的插值多项式在 x0 xn 上有 2n+1 阶？,A：Hermite 多项式！,满足,Th6,高斯求积公式的求积系数Ak(k=0,1,2,n)全是正的。,是n次多项式。,2n次多项式,因而，高斯公式能够准确成立。,推论：由定理2得知，高斯求积公式是稳定的。,
