1、用心 爱心 专心 - 1 -2011年高考试题解析数学（文科）分项版 04 数列一、选择题:1.(2011 年高考安徽卷文科 7)若数列 的通项公式是 ,则na()nagaL（A） 15 (B) 12 (C ) (D) 【答案】A【命题意图】本题考查数列求和.属中等偏易题.【解析】法一：分别求出前 10 项相加即可得出结论；4. （2011 年高考四川卷文科 9)数列a n的前 n项和为 Sn，若 a1=1, an+1 =3Sn(n 1),则 a6=（A）3 4 4 （B）3 4 4+1(C) 44 （D）4 4+1答案： A解析：由题意，得 a2=3a1=3.当 n 1 时，a n+1 =3
2、Sn(n 1) ，所以 an+2 =3Sn+1 ，-得 an+2 = 4an+1 ，故从第二项起数列等比数列，则 a6=3 44.5. （2011 年高考陕西卷文科 10)植树节某班 20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一用心 爱心 专心 - 2 -棵，相邻两棵树相距 10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，现将树坑从 1到 20依次编号，为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为（ ）（A）(1)和（20） （B）(9)和（10） (C) （9）和（11） (D) （10）和（11）7.（2011 年高考全国卷文科 6)设 为等差数列
3、的前 项和，若 ，公差 ，nSna1a2d，则 24AnSk（A）8 （B）7 （C）6 （D）5【答案】D【解析】 22111(2)()2()kkSakdakdakd故选 D。1()451 （2011 年高考重庆卷文科 1)在等差数列 n中，2， 3104,则A12 B14 C16 D18【答案】D二、填空题:用心 爱心 专心 - 3 -8.（2011 年高考浙江卷文科 17)若数列 中的最大项是第 项，则2(4)3nk=_。k【答案】411.(2011 年高考江苏卷 13)设 ，其中 成公比为 q 的等比数721aa 7531,a列， 成公差为 1 的等差数列，则 q 的最小值是_642,
4、a【答案】 3【解析】考察综合运用等差、等比的概念及通项公式，不等式的性质解决问题的能力，难题。用心 爱心 专心 - 4 -由题意： ，23121211aqaaq2,q，而 的最小值分别为 1，2，3；32122,。min15.（2011 年高考辽宁卷文科 15)Sn为等差数列a n的前 n 项和，S 2=S6，a 4=1，则a5=_。答案： -1解析：设等差数列的公差为 d，解方程组 得 d=-2，a 5=a4+d=-1.11652,23,add三、解答题:16. （2011 年高考江西卷文科 21) (本小题满分 14分）（1）已知两个等比数列 ，满足 ，nba,3,2,1,021 aba
5、ba若数列 唯一，求 的值；n（2）是否存在两个等比数列 ，使得 成公差 为n, 4321, 不 0的等差数列？若存在，求 的通项公式；若 存在，说明理由ba不（2）假设存在这样的等比数列 ，则由等差数列的性质可得：21q,，公 比 分 别 为nba用心 爱心 专心 - 5 -，整理得：4132 abab113231 qaqb要使该式成立，则 = 或 此时数列 ，2q021q03a2b公差为 0 与题意不符，所以不存在这样的等比数列 .3 n,17. （2011 年高考福建卷文科 17)（本小题满分 12 分）已知等差数列a n中，a 1=1， a3=-3.（I）求数列a n的通项公式；（II
6、）若数列a n的前 k 项和 Sk=-35，求 k 的值.18 （2011 年高考湖南卷文科 20)（本题满分 13 分）某企业在第 1 年初购买一台价值为 120 万元的设备 M，M 的价值在使用过程中逐年减少，从第 2 年到第 6 年，每年初 M 的价值比上年初减少 10 万元；从第 7 年开始，每年初 M 的价值为上年初的 75%（I）求第 n 年初 M 的价值 na的表达式；（II）设 12,A 若 A大于 80 万元，则 M 继续使用，否则须在第 n 年初对M 更新，证明：须在第 9 年初对 M 更新解析：（I）当 6n时，数列 na是首项为 120，公差为 10的等差数列120()
7、130;a当 时，数列 n是以 6为首项，公比为 4为等比数列，又 67a，所以7();4用心 爱心 专心 - 6 -因此，第 n年初，M 的价值 na的表达式为 6120()130,774nnna(II)设 nS表示数列 n的前 项和，由等差及等比数列的求和公式得当 16时， 1205(1),205(1)25;nAn当 7时， 6668633()74()780()430214. nnnnnSaA 因为 a是递减数列，所以 nA是递减数列，又86 968 9337021()78021()4742, 80, 所以须在第 9 年初对 M 更新19. （2011 年高考四川卷文科 20)（本小题共
8、12 分）已知 na是以 为首项，q 为公比的等比数列， nS为它的前 项和.（）当 成等差数列时，求 q 的值；134,S()当 m， n， 成等差数列时，求证：对任意自然数 也成等差数列. i ,mknika()当 成等差数列，则 .,mniS2nmiS当 时，由 ，得 ，即 .1q2mia2ni用心 爱心 专心 - 7 -；220mkinkaaa当 时，由 ，得 ，1qnmiS(1)()(1)nmiqaq化简得 .20miq，1112(2)0mkiknkkminkinkaaaqaqq综上，对任意自然数 也成等差数列.,knik20. （2011 年高考湖北卷文科 17)（本小题满分 12
9、 分）成等差数列的三个正数的和等于 15，并且这三个数分别加上 2、5、13 后成为等比数列nb中的 245b、()求数列 的通项公式；n()数列 的前 n 项和为 ，求证：数列 是等比数列 .bnS54nS本小题主要考查等差数列、等比数列及其求和公式等基础知识，同时考查基本运算能力.解析：（1）设成等差数列的三个正数分别为 a-d，a, a+d.依题意，得 a-d+a+a+d=15,解得 a=5.所以 中的 依次为 7-d，10，18+d.nb345,b依题意，有（7-d） （18+d）=100，解得 d=2 或 d=-13（舍去）.故 的第 3 项为 5，公比为 2.n由 ，即 ，解得31
10、2b12b15.4b所以 是以 为首项，2 为公比的等比数列，其通项公式为n4.135nb（2）数列 的前 n 项和 即n 25(1)54,4nnS 25.nnS用心 爱心 专心 - 8 -所以111 2554, .42nnS因此 是以 为首项，公比为 2 的等比数列.nS21. （2011 年高考山东卷文科 20)（本小题满分 12 分）等比数列 中， 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且 中的na123,a 123,a任何两个数不在下表的同一列.第一列 第二列 第三列第一行 3 2 10第二行 6 4 14第三行 9 8 18（）求数列 的通项公式；na（）若数列 满足： ，求数列 的
11、前 项和 .b(1)lnnanb22nS【解析】 （）由题意知 ,因为 是等比数列, 所以公比为 3,所以数列123,6,8a的通项公式 .na3na22.(2011 年高考安徽卷文科 21)（本小题满分 13 分）在数 1 和 100 之间插入 个实数，使得这 个数构成递增的等比数列，将这n2n个数的乘积记作 ，再令 .2nT,lgnaT1（）求数列 的通项公式；n（）设 ，求数列 的前 项和 .1tanbnbnS【命题意图】：本题考察等比和等差数列，指数和对数运算，两角差的正切公式等基本知用心 爱心 专心 - 9 -识，考察灵活运用知识解决问题的能力，综合运算能力和创新思维能力。（）由（）
12、知 ，1tantan(2)t(3)b1n又 t3tan(3)t(2) ta()t()tan2t2t 1tn所以数列 的前 项和为nbta(1)t(3)tan(2)t(3)tan(2)t(3)a2an211tn(2)ta1nS【解题指导】：做数列题时应优先运用数列的相关性质，本题考察的是等比数列前 n项积，自然想到等比数列性质： ，倒序相乘法是借鉴倒221210nnnttt=序相加法得到的，这样处理就避免了对 n 奇偶性的讨论。第二问的数列求和应联想常规的方法：倒序相加法，错位相减法，裂项相消法。而出现 时自然应该联想正切的和角或差角公式。本题只要将这两个知识点有机结合tan起来就可以创造性的把
13、问题解决。23(2011 年高考广东卷文科 20)（本小题满分 14 分）设 b0,数列 满足 , nab1)2(1nan（1）求数列 的通项公式；（2）证明：对于一切正整数 , 21n【解析】用心 爱心 专心 - 10 -11 11111()=+n-111()nnnnnnn nnnnnababBBbaaabBBbbbAA解 ： ） 由 题 得 令当 时 ，数 列 是 一 个 等 差 数 列 （ ）当 时 ， 数 列 是 一 个 等 比 数 列 - n-1n-11n- nn=1()() b1)=1)1(2),22nnn nn bbbaaab a （ ） （ ） （ ） （ ） （ ）（ ） （
14、 ） （ ） （当 时 ， 不 等 式 左 边 右 边 11111 12212b- b-2()()+02n()n nn nnnn bbbb （ ） （ ）当 时 ， 即 证 即 证即 证 （ ） 即 证即 证当 时 ， 即 证 （ ） 1()2n1 annb 即 证 （ ） 利 用 数 学 归 纳 法 可 以 证 明同 理 当 时 ， 不 等 式 成 立 。 综 合 得 对 于 一 切 正 整 数 ,224. （2011 年高考全国新课标卷文科 17)（本小题满分 12分）已知等比数列 中， ，na31,1q（1） 为数列 前 项的和，证明： ns 2nnas（2）设 ，求数列 的通项公式；b
15、32313logllog nb17.分析：（1）直接用等比数列通项公式与求和公式；（2）代人化简得到等差数列在求其和。解：（1） 21,3)1(nnnn asa用心 爱心 专心 - 11 -2)1( logllog3233naabn 点评：本题考查等比、等差数列的通项公式与求和公式。注意正确用公式计算。25 （2011 年高考浙江卷文科 19)（本题满分 14分）已知公差不为 0的等差数列 的首项na为 ( ),且 ， ， 成等比数列（）求数列 的通项公式（）对1aR1a24 na，试比较 与 的大小.*nN22.n1a【解析】：（） 21411214()(3)dada1a数列 的通项公式n
16、11()nan（）记 因为 ，所以22.nTaa2n21(.)nnTa1()2n从而当 时， ；当 时，1()na0a1nTa01nTa26. (2011年高考天津卷文科 20)（本小题满分 14分）已知数列 与 满足 , ,且 .nb11(2)nnnb13(),2nbN12a（）求 的值;23,a()设 , ,证明 是等比数列;12nncNnc()设 为 的前 n项和,证明 .nSa2112 ()3nSSnNaa【解析】 （）由 ,可得 ,13(),2nbN,nb是 奇 数是 偶 数用心 爱心 专心 - 12 -,11(2)nnnba当 n=1时, 由 ,得 ;1a23当 n=2时, 可得
17、.235,38()证明:对任意 , -nN2121nn-221na-得: ,即 ,于是 ,所以 是等比数列.21213nna213nc14ncnc()证明: ,由()知,当 且 时,1kN2353213()()()k kaaa =2+3(2+ )=2+ ,故对任意 , ,52k 214kkN由得 所以 , ,2121,kkka212kka因此, ,于是2123412()()()k kS 212kkSa,故 = ,21kkSa21k21k21k4(1)kk所以 .2112 ()3nSnNa【命题意图】本小题主要等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析能力和解决问题
18、的能力及分类讨论的思想方法.27.(2011年高考江苏卷 20)设 M为部分正整数组成的集合，数列 的首项 ，前 n项na1和为 ，已知对任意整数 k属于 M，当 nk时， 都成立nS )(2kknSS（1）设 M=1 ， ，求 的值；2a5（2）设 M=3，4 ，求数列 的通项公式n用心 爱心 专心 - 13 -由（5） （6）得： 3242421541,(9); 2,(0);nnnnadadadad由（9） （10）得： 成5113,a2n等差，设公差为 d,在（1） （2）中分别取 n=4,n=5得： 12122+6a5(5),4;dad即128(79),3adad即23,.n28(20
19、11 年高考江苏卷 23)（本小题满分 10分）设整数 ， 是平面直角坐标系 中的点，其中4(,)PabxOy,12,3abn（1）记 为满足 的点 的个数，求 ；A3nA用心 爱心 专心 - 14 -（2）记 为满足 是整数的点 的个数，求nB1()3abPnB*(1)2,3126(),nnkorBkN29.（2011 年高考全国卷文科 17) (本小题满分 l0分)(注意：在试题卷上作答无效)设数列 的前 N项和为 ,已知 求 和nanS26,a1230,naS【解析】设等比数列 的公比为 ，由题 解得nq21,q113,2,.aq、所以 则13,a11=32.nnq()=3nnaS则12,11.nn()1nq30 （2011 年高考重庆卷文科 16)（本小题满分 13 分， （）小问 7 分， （）小问 6 分）设 是公比为正数的等比数列， ， 。na12a324（）求 的通项公式；n（）设 是首项为 1，公差为 2 的等差数列，求数列 的前 项和 。b nabns解：（I）设 q 为等比数列 的公比，则由 ，na2132,44aq得用心 爱心 专心 - 15 -即 ，解得 （舍去） ，因此20q21q或 2.q所以 的通项为na*().nN（II） 2(1)2.nnS
