1、1约数与倍数例题 1 题一个数有 8 个约数这个数最小是 正确答案:24 详解：24 有 8 个约数：1，2，3，4，6，8，12，24比 24 小的数都没有 8 个约数(12，18，20 各有 6 个约数，其余的数约数个数少于 6)例题 2 题边长 1 米的正方体 2100 个，堆成一个实心的长方体它的高是 10 米，长、宽都大于高则长方体长与宽的和是 米正确答案:29 提示：由于长方体是用 2100 个边长为 1 米的正方体堆成的，就是说，这个长方体的体积应是 2100 立方米，但长方体的体积长宽高，现在知道高10 米，故长宽210 米，又，长、宽都大于高，所以本题就是找出 210 的两个
2、都大于 10 的约数，使它们的积为 210详解：210010210， 2102357(27)(35)1415由于 14 与 15 都是 210 的大于 10 的约数，且其积210，又只有这一组数据满足题目的要求长方体的长与宽分别为 15 与 14，其和为 29例题 3 题数 360 的约数有 个这些约数的和是 正确答案:24；1170 详解：360 分解质因数： ；360 的约数可以且只能是 ，(其中 a，b，c 均是整数，且 a 为 03，b 为02，c 为 01)因为 a、b、c 的取值是相互独立的，由计数问题的乘法原理知，约数的个数为(31)(21)(11)24我们先只改动关于质因数 3
3、 的约数，可以是 1，3， ，它们的和为 ，所以所有 360 约数的和为 ；我们再来确定关于质因数 2 的约数，可以是 它们的和为 ，所以所有 360 约数的和为 ；最后确定关于质因数 5 的约数，可以是 1，5，它们的和为(15)，所以所有 360 的约数的和为 2于是，我们计算出值：131561170所以，360 所有约数的和为 1170评注：我们在本题中分析了约数个数、约数和的求法下面我们给出一般结论：一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后，将每个质因数的指数(次数)加 1后所得的乘积如：1400 严格分解质因数后为 ，所以它的约数有(31)(21)(11)43224 个(包括 1
4、和它自身)约数的和是在严格分解质因数后，将 M 的每个质因数最高次幂的所有约数的和相乘所得到的积如： ，所以 21000 所有约数的和为例题 4 题从 360 到 630 的自然数中有奇数个约数的数有 个正确答案:7 详解：一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后，将每个质因数的指数(次数)加 1 后所得的乘积如：1400 严格分解质因数后为 ，所以它的约数有(31)(21)(11)43224 个(包括 1 和它自身)如果某个自然数有奇数个约数，那么这个数的所有质因子的个数均为偶数个，这样它们加 1 后均是奇数，所得的乘积才能是奇数而所有质因数的个数均是偶数个的数为完全平方数即完全平方数(除
5、 0 外)有奇数个约数，反过来，有奇数个约数的数一定是完全平方数由以上分析知，我们所求的为 360630 之间有多少个完全平方数1818324，1919361，2525625，2626676，所以在 360630 之间的完全平方数为 即 360 到 630 的自然数中有奇数个约数的数为 361，400，441，484，529，576，625，共 7 个.例题 5 题1112111 的约数共有 个正确答案:24 详解：一般的，一个自然数 N 可能惟一地表示成一些质因数的乘积：其中 是不相同的质数， ，那么 N 的约数的个数公式： 31112111 的约数的个数是：(11)(21)(11)(11)
6、241112111 有 24 个约数例题 6 题在正好有 60 个约数的自然数中，1 万以内最大的数是 正确答案:9360 详解：因为 ，所以所求数分解质因数后，任何质因数的幂小于 14将 60分解为约数小于 14 的乘积，6051261023102563452235根据自然数的约数个数的公式，恰有 60 个约数的小于 10000 的合数应具有下列形式之一：其中 a、b、c、d 均为质数因为 都大于 10000，所以所求数只能是 的形式，所求数是 9360 例题 7 题有甲、乙、丙 3 人,甲每分钟行走 120 米,乙每分钟行走 100 米,丙每分钟行走 70 米.如果 3 个人同时同向,从同
7、地出发,沿周长是 300 米的圆形跑道行走,那么 分钟之后,3 人又可以相聚。正确答案:30 详解：设在 x 分钟后 3 人再次相聚,甲走了 120x 米,乙走了 lOOx 米,丙走了 70x 米,他们3 人之间的路程差均是跑道长度的整数倍即 120x-100x,120x-70x,lOOx-70x 均是 300 的倍数,那么 300 就是 20x,50x,30x 的公约数有(20x,50x,30x):300,而(20x,50x,30x)=x(20,50,30)=lOx,所以 x=30即在 30 分钟后,3 人又可以相聚例题 8 题要使六位数 能被 36 整除，而所得的商最小，那么 A= ，B=
8、 ，C= 正确答案:0；1；5 提示：能被 36 整除的数一定能被 4 和 9 整除，反之，如果一个数既能被 4 整除，又能被 9 整除，那么这个数一定能被 4936 整除，所以，本题应考虑以下三个条件：(1)这个数有约数 4；(2)这个数有约数 9；4(3)这个数被 36 除所得商最小，也就是这个数应最小详解： 有约数 4，其末两位数是 4 的倍数，即 ，于是 C 可取值 1，3，5，7，9 有约数 91+5+A+B+C+612+A+B+C 是 9 的倍数，但 A、B、C 都是 0 到 9 的数字，故1212+A+B+C39，于是 A+B+C 可能取 6，15，24 三个值若 A+B+C6，
9、且 C1，则 A+B5，为使 最小，应取 A0，B5，C1，得数为 150516若 A+B+C6，且 C3，则 A+B3，为使 最小，应取 A0，B3，C3，得数为 150336若 A+B+C6，且 C5，则 A+B1，为使 最小，应取 A0，B1，C5，得数为 150156若 A+B+C6，则 C7，9 不可能若 A+B+C15，C1，则 A+B14，为使 最小，A5，B9 得数 155916 比150156 大，同样 C3，5，7，9，不能得 A0，而 A+B+C24，也不可能得 A0，即可知，使 最小的值为 A0，B1，C5说明：要使 最小，应使 A 取最小值，而不一定使 C 取最小值，
10、如果一开始认为 C1 就错了该数既有约数 4，又有约数 9，该数就一定有约数 36这个结论不能随便推广为：若某数既有约数 a，又有约数 b，则该数一定有约数 ab，例如 24 既有约数 8，又有约数6，但 24 没有约数 48(86)，这里一定要保证 a，b 互质若某数有约数 a 与 b(a，b 是自然数)，且(a，b)=1，则该数有约数 ab(这里 a、b 互质是必不可少的条件)例题 9 题有一类数，它们的 15 倍减 1 能被 1999 整除，这类数中最小的一个是 正确答案:1466 提示：这些数的 15 倍减 1 后是 1999 的倍数，可设这个数为 x，它的 15 倍减 1 就是15x
11、-1，它是 1999 的 y 倍，即可设法求出 x详解：解法一 设所求数为 x，而 15x-1 是 1999 的 y 倍得15x1999y+1由于 1999y+113315y+4y+1 是 15 的倍数，故 4y+1 是 15 的倍数设 4y+115z，故 4y15z-116y-(z+1)于是 z+1 是 4 的倍数，设 z4k-15这时 4y15(4k-1)-160k-16，得 y15k-415x13315y+4y+113315(15k-4)+4(15k-4)+11331515k-133154+415k-16+1x133(15k-4)+4k-1取 k1，得 x13311+31466故所求最小
12、数为 1466说明：本题反复利用整除性把字母的系数减小到 1，就把 k 求出来了解法二 由于 1999y+1 能被 15 整除，故 1999y+1 既是 3 的倍数，又是 5 的倍数，要使1999y+1 有约数 3，可取 y2、5、8、11、14、17、；要使 1999y+1 有约数 5，可取y1，6，11，16，21，由此可知 y11 是使 1999y+1 是 15 的倍数的最小值于是得 x(199911+1)151466例题 10 题修改 31743 的某一个数字，可以得到 823 的倍数，则修改后的这个数是 正确答案:33743 提示：本题当然可以依次算出 823 的 2 倍，3 倍，4
13、 倍一直算到该数的 41 倍，可得8234133743，比较可知，只要把千位上的“1”修改为“3”即是结果但如果这样慢慢算过去，要花费很多时间，所以，不妨从计算 31743823 的竖式入手进行分析详解：用竖式计算 31743823，可得 469。由于最后的余数为 469，而在计算商的十位数“3”时，有 82332469，这说明，如果余数 469 能增加 2000，就恰是 823 的整数倍了，所以，只要把原数加上 2000，得到33743 就是 823 的 38+341 倍此时恰只修改了一个数字例题 11 题三个连续自然数在 100 到 200 之间，其中最小的能被 3 整除，中间的能被 5
14、整除，最大的能被 7 整除，那么，所有这样的三个自然数是 （数字之间用小于号按从小到大的顺序写出来）正确答案:159160161 提示：这三个数的百位数字都是 1，由于中间数能被 5 整除，故中间数的末位数字只能是 0 或 5，最小的数末位数字必为 9 或 4，可分别根据该数可被 3 整除确定其十位数字，最后再用试除的办法确定出这三个数详解：这些数在 100 与 200 之间，故这些数的百位数字都为 1，由于中间数能被 5 整除，故其末位数字为 0 或 56最小数的百位数字为 1，个位数字为 9 或 4若最小数的个位数字为 9，由最小数可被 3 整除，则其十位数字可以是 2，5，8；若最小数的
15、个位数字为 4，则其十位数字可以是 1，4，7，即最小数只可能是129，159，189，114，144，174 这六个数中的某几个若最小数为 129，则最大数为 131，但 131 没有约数 7；若最小数为 159，则最大敏为 161，而 7 是 161 的约数；若最小数为 189，则最大数为 191，但 191 没有约数 7；若最小数为 114，则最大数为 116，但 116 没有约数 7；若最小数为 144，则最大数为 146，但 146 没有约数 7；若最小数为 174，则最大数为 176，但 176 没有约数 7；故经检查，159，160，161 这一组数是所求的三个数例题 12 题两
16、个数的和是 616，其中一个数的最后一位数字是 0，如果把 0 去掉，就与另一数相同，这两个数的差是 正确答案:504 提示：把一个整数的末尾添上一个 0，得数是原数的 10 倍，反之，把一个末位是 0 的整数的末位上的 0 去掉，则原数是所得数的 10 倍，本题就是根据这一点求解的据题意，原数是去掉末位的 0 后所得数的 10 倍，而 616 是这两数的和，故 616 是所得数的(10+1)倍详解：解法一 616(10+1)61611565610560560-56504这两个数的差为 504解法二 由于原数是所得数的 10 倍，所以这两数的差应是所得数的(10-1)倍，故这两数的差616(1
17、0+1)(10-1)616119569504说明：如果进一步考虑本题，还可以根据以下性质来解题，把一个数的小数点向左移动一位，二位，三位，得数是原数的 0.1，0.01，0.001，把一个数的小数点向右移动一位，二位，三位，得数是原数的 10，100，1000，倍一个末位数字是“0”的整数，去掉末位的“0”，就相当于把它的小数点向左移动了一位，即原数是所得数的 10 倍本题还可以这样来解：解法三 由于这两数中的一个数(不妨称为甲数)末位为 0，两数和为 616，故另一数(不7妨称为乙数)的末位必为 6，于是甲数的十位数字为 6，而由甲、乙两数十位数字和必为11 知乙数的十位数字为 5，从而甲数
18、的百位数字为 5，即甲数为 560，乙数为 56，故两数的差为 504例题 13 题如果 ，则五位数 = 正确答案:21978 详解： 的 4 倍仍为五位数，故 ，a2、e4 的末位数应为偶数，故 a2，而 e4a8，又 b4 不进位，故 b0，1，2，d4+3 的末位数不可能为0 与 2，故 b1，d2 或 7，又 d144，故 d7，最后 c4+330+c，(注意：千位 144，需百位要进 3 方可得 7)，于是 c9，从而 例题 14 题7824 （是或否）是 9 的倍数正确答案:否 提示：直接用 78249，看余数是不是 0，可以判断 7824 是不是 9 的倍数但为了得出更一般的法则
19、，我们先将 7824 写成 7100081002104详解：7824710008 100210479998 9929(7824)由于 7999，899，29 都是 9 的倍数，所以只需要看数字和 7824 是不是 9的倍数由于 782421 不是 9 的倍数，所以 7824 不是 9 的倍数说明：由例题我们得到一个被 9 整除的判别法一个数被 9 整除的特征是它的数字和被 9 整除同样地，可得被 3 整除的判别法：一个数被 3 整除的特征是它的数字和被 3 整除例题 15 题某个 7 位数 1993能同时被 2，3，4，5，6，7，8，9 整除，那么，它的后三位数字是 （数字之间不要有空格）正
20、确答案:320 提示：由于能被 8 整除的数一定能被 4 与 2 整除，能被 9 整除的数一定能被 3 整除，而如果同时能被 8 和 9 整除的数，就一定能被 6 整除，所以本题只要考虑该七位数能同时被 5，7，8，9 整除即可详解：设此数为 1993abc，其后三位数字为 a、b、c8该数有约数 5c0 或 5该数能被 8 整除c0该数有约数 91+9+9+3+a+b22+a+b 是 9 的倍数，但 0a，b9，a+b5 或 a+b14a5，b0；a4，b1；a2，b3；a1，b4；a0，b5 及a9，b5；a8，b6；a7，b7；a5，b9 均不合条件只有 a3，b2 或 a6，b8 能使该数被 5，8，9 整除现检查 1993320 与 1993680 这二个数是否有约数 7，知 1993320 有约数 7，而 1993680没有约数 7只有 a3，b2，c0 满足条件小结：约数与倍数在竞赛题中经常遇到，两个整数 a、b，如果 a 能被 b 整除，那么 b就是 a 的约数，而 a 就是 b 的倍数，注意：每个自然数都是自己的约数，又是自己的倍数；1 是任何数的约数；0 则是任何自然数的倍数，而且是比该自然数小的倍数这三句话表达的性质在竞赛中都常常有用，约数与倍数和整除性联系紧密，解这类问题也常常通过分解因数的办法来解决
