1、2016 年浙江省丽水中学高考数学三模试卷（理科）一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ）1设常数 aR，集合 A=x|（x1） （x a）0，B=x|xa 1，若 AB=R，则 a 的取值范围为（ ）A （，2） B （ ，2 C （2，+） D2，+ ）2 “x0 ”是“ln（x+1）0”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件3已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是（ ）A2 B4 C6 D124下列命题正确的是（ ）A若 pq 为假
2、命题，则 p、 q 均为假命题B函数 f（x）=x 2x6 的零点是（3，0）或（ 2，0）C对于命题 p：xR，使得 x2x60，则p：xR，均有 x2x60D命题“若 x2x6=0，则 x=3”的否命题为“若 x2x6=0，则 x3”5将函数 f（x）=sin（ +x） （cosx 2sinx）+sin 2x 的图象向左平移 个单位长度后得到函数 g（x） ，则 g（x）具有性质（ ）A在（0， ）上单调递增，为奇函数B周期为 ，图象关于（ ）对称C最大值为 ，图象关于直线 x= 对称D在（ ）上单调递增，为偶函数6已知 f（x）=ax 2+bx+c（a0） ，g（x）=f（f（x） ）
3、，若 g（x）的值域为2，+） ，f（x）的值域为k，+） ，则实数 k 的最大值为（ ）A0 B1 C2 D47过双曲线 =1（a0，b0）的左焦点 F（c， 0） （c0） ，作圆 x2+y2= 的切线，切点为 E，延长 FE 交双曲线右支于点 P，若 =2 ，则双曲线的离心率为（ ）A B C D8已知函数 f（x）=x（1+a |x|） 设关于 x 的不等式 f（x+a）f（x）的解集为 A，若，则实数 a 的取值范围是（ ）A BC D二、填空题（本题共 7 小题，满分 36 分，9-12 题每题 6 分，13-15 题每题 4 分 ）9已知函数 y=loga（x1）+3， （a 0
4、 且 a1）的图象恒过点 P，则 P 的坐标是_，若角 的终边经过点 P，则 sin2sin2 的值等于_10设定义域为 R 的函数 f（x）= ，则 f（f （ 1） ）=_；函数y=f（f （x） ）的零点共有_ 个11设变量 x，y 满足约束条件 ，则 的取值范围是_12已知单调递增的等差数列a n的前 n 项和为 Sn，若 S8=12，a 3a6=18，则数列a n的通项公式为 an=_；若数列b n的通项公式为 bn=2n，则数列a bn的前 n 项和Tn=_13如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，M 为 BB1 的中点，则直线 MC 与平面 ACD1 所成角的正弦值为_1
5、4已知抛物线 y2=4x 的焦点为 F，过焦点的直线与抛物线交于 A，B 两点，则3|AF|+4|BF|的最小值为_15已知 ， ， 是空间两两垂直的单位向量， =x +y +z ，且 x+2y+4z=1，则| |的最小值为_ 三、解答题（本大题共 5 小题，满分 74 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ）16已知ABC 的三个内角 A，B ，C 的对边分别为 a，b，c，且ABC 的面积为S= accosB（1）若 c=2a，求角 A，B ，C 的大小；（2）若 a=2，且 A ，求边 c 的取值范围17如图，已知长方形 ABCD 中，AB=2，AD=1，M 为 DC 的中点将ADM
6、 沿 AM 折起，使得平面 ADM平面 ABCM（）求证：ADBM；（）若 = （01） ，当二面角 EAMD 大小为 时，求 的值18已知函数 f（x）=（x+a ） （|x|+2）+b（a，bR ）（1）若 f（x）在 R 上不单调，求实数 a 的取值范围；（2）若 a4 且 y=f（x）在1，1上有两个零点，求 a2+（b 17） 2 的最小值19已知点 是离心率为 的椭圆 C： 上的一点斜率为 的直线 BD 交椭圆 C 于 B、D 两点，且 A、B、D 三点不重合（）求椭圆 C 的方程；（）ABD 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？20已知数列a n满
7、足 a1= ，a n+1=an2+an（1）若 = ，求证：a n1；（2）若 =n，求证： + + 22016 年浙江省丽水中学高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ）1设常数 aR，集合 A=x|（x1） （x a）0，B=x|xa 1，若 AB=R，则 a 的取值范围为（ ）A （，2） B （ ，2 C （2，+） D2，+ ）【考点】集合关系中的参数取值问题；并集及其运算；一元二次不等式的解法【分析】当 a1 时，代入解集中的不等式中，确定出 A，求出满足两集合的并集
8、为 R 时的 a 的范围；当 a=1 时，易得 A=R，符合题意；当 a1 时，同样求出集合 A，列出关于 a的不等式，求出不等式的解集得到 a 的范围综上，得到满足题意的 a 范围【解答】解：当 a1 时，A=（，1a，+） ，B=a1，+） ，若 AB=R，则 a11，1a2；当 a=1 时，易得 A=R，此时 AB=R；当 a1 时，A=（，a 1，+） ，B=a 1，+） ，若 AB=R，则 a1a ，显然成立，a1；综上，a 的取值范围是（，2故选 B2 “x0 ”是“ln（x+1）0”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【考点】充要条件【
9、分析】根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论【解答】解：x0，x+11，当 x+10 时，ln （x+1）0；ln（x+1）0，0x+1 1， 1x0，x0，“x 0 ”是 ln（x+1）0 的必要不充分条件故选：B3已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是（ ）A2 B4 C6 D12【考点】由三视图求面积、体积【分析】几何体为四棱锥，棱锥高为 2，底面为梯形，代入体积公式计算【解答】解：由三视图可知该几何体为四棱锥，棱锥的底面是直角梯形，棱锥的高是 2，V= =4故选 B4下列命题正确的是（ ）A若 pq 为假命题，则 p、
10、 q 均为假命题B函数 f（x）=x 2x6 的零点是（3，0）或（ 2，0）C对于命题 p：xR，使得 x2x60，则p：xR，均有 x2x60D命题“若 x2x6=0，则 x=3”的否命题为“若 x2x6=0，则 x3”【考点】命题的真假判断与应用【分析】A根据复合命题的真假关系进行判断B函数的零点是横坐标 x，不是点C根据特称命题的否定是全称命题进行判断D否命题是同时否定条件和结论【解答】解：A若 pq 为假命题，则 p、q 至少有一个为假命题，故 A 错误，B由 f（x）=x 2x6=0 得 x=3 或 x=2，则函数的零点为 3 和 2，故 B 错误，C特称命题的否定是全称命题得p：
11、 xR，均有 x2x60，故 C 正确，D命题“若 x2x6=0，则 x=3”的否命题为“若 x2x60，则 x3”，故 D 错误，故选：C5将函数 f（x）=sin（ +x） （cosx 2sinx）+sin 2x 的图象向左平移 个单位长度后得到函数 g（x） ，则 g（x）具有性质（ ）A在（0， ）上单调递增，为奇函数B周期为 ，图象关于（ ）对称C最大值为 ，图象关于直线 x= 对称D在（ ）上单调递增，为偶函数【考点】函数 y=Asin（x+）的图象变换【分析】利用函数 y=Asin（x+）的图象变换规律，正弦函数的周期性、单调性、以及它的图象的对称性，得出结论【解答】解：将函数
12、f（x）=sin（ +x） （cosx 2sinx）+sin 2x=cosx （cosx2sinx）+sin 2x=sin2xcos2x= sin（2x ） 的图象向左平移 个单位长度后得到函数 g（x）= sin2（x+ ） = sin2x 的图象，则 g（x）为奇函数，且在（0， ）上单调递增，故 A 正确、D 不正确；由于当 x= 时，函数 g（x）取得最大值为 ，故它的图象不关于（ ）对称，故排除 B；当 x= 时，g（x）=0 ，故 g（x）的图象不关于直线 x= 对称，故 C 不正确；故选：A6已知 f（x）=ax 2+bx+c（a0） ，g（x）=f（f（x） ） ，若 g（x）
13、的值域为2，+） ，f（x）的值域为k，+） ，则实数 k 的最大值为（ ）A0 B1 C2 D4【考点】函数的值域【分析】设 t=f（x） ，即有 g（ x）=f（t ） ，tk，可得函数 y=at2+bt+c，tk 的图象为y=f（x）的图象的部分，即有 g（x）的值域为 f（x）的值域的子集，即有 k 的范围，可得最大值为 2【解答】解：设 t=f（x） ，由题意可得 g（x）=f（t ）=at 2+bt+c，tk，函数 y=at2+bt+c，tk 的图象为 y=f（x）的图象的部分，即有 g（x）的值域为 f（x）的值域的子集，即2，+）k，+） ，可得 k2，即有 k 的最大值为 2
14、故选：C7过双曲线 =1（a0，b0）的左焦点 F（c， 0） （c0） ，作圆 x2+y2= 的切线，切点为 E，延长 FE 交双曲线右支于点 P，若 =2 ，则双曲线的离心率为（ ）A B C D【考点】双曲线的简单性质【分析】设右焦点为 F，由 =2 ，可得 E 是 PF 的中点，利用 O 为 FF的中点，可得 OE 为PFF 的中位线，从而可求 PF、PF ，再由勾股定理得出关于 a，c 的关系式，最后即可求得离心率【解答】解：设右焦点为 F，则 =2 ， + =2 ，E 是 PF 的中点，PF=2OE=a ，PF=3a，OEPF ，PF PF，（3a） 2+a2=4c2，e= = ，
15、故选：C8已知函数 f（x）=x（1+a |x|） 设关于 x 的不等式 f（x+a）f（x）的解集为 A，若，则实数 a 的取值范围是（ ）A BC D【考点】函数单调性的性质【分析】排除法：取 a= ，由 f（x+a）f（x） ，得（x ）|x |+1x|x|，分x0，0x ，x 讨论，可得 A，检验是否符合题意，可排除 B、D；取 a=1，由f（x+a） f（x） ，得（x+1） |x+1|+1x|x|，分 x 1， 1x0，x0 进行讨论，检验是否符合题意，排除 C【解答】解：取 a= 时，f（x）= x|x|+x，f（x+a）f（x） ，（x ）|x |+1x|x|，（1）x0 时，
16、解得 x 0；（2）0x 时，解得 0 ；（3）x 时，解得 ，综上知，a= 时，A= （ ， ） ，符合题意，排除 B、D；取 a=1 时，f （ x）=x|x|+x，f（x+a）f（x） ，（x+1 ）|x+1|+1x|x|，（1）x1 时，解得 x0，矛盾；（2）1 x0 ，解得 x0，矛盾；（3）x0 时，解得 x1，矛盾；综上，a=1，A=，不合题意，排除 C，故选 A二、填空题（本题共 7 小题，满分 36 分，9-12 题每题 6 分，13-15 题每题 4 分 ）9已知函数 y=loga（x1）+3， （a 0 且 a1）的图象恒过点 P，则 P 的坐标是 （2，3） ，若角
17、的终边经过点 P，则 sin2sin2 的值等于 【考点】对数函数的图象与性质【分析】令 x1=1 求出 x 和 y，可求出函数 y=loga（x1）+3 图象过的定点 P 的坐标，由三角函数的定义求出 sin、cos ，由二倍角的正弦公式化简所求的式子，将数据代入计算即可【解答】解：令 x1=1 得，x=2，则此时 y=loga1+3=3，函数 y=loga（x1）+3 的图象过定点 P（2，3） ，角 的终边经过点 P，sin= = ，cos = ，sin 2sin2=sin22sincos= = ，故答案为：（2，3） ； 10设定义域为 R 的函数 f（x）= ，则 f（f （ 1）
18、）= 0 ；函数y=f（f （x） ）的零点共有 7 个【考点】根的存在性及根的个数判断；分段函数的应用【分析】利用分段函数的表达式直接代入即可求值，利用换元法令 t=f（x） ，先求出函数f（x）的零点，利用数形结合进行求解即可【解答】解：f（1）= 1+2=1，f （1）=|lg1 |=0故 f（f（1） ）=f（1）=0，若 x0，则 f（x）=|lgx|=0 得 x=1，由 x0，则由 f（x）= x22x=0 得 x=0 或 x=2，令 t=f（x） ，则 y=f（f（x） ）=f（t） ，由 y=f（f（x） ）=f（t）=0，则 t=1 或 t=0，或 t=2，作出函数 f（x）
19、的图象，以及 t=1 或 t=0，或 t=2，则 t=1 时，两个函数有 3 个交点，当 t=0 时，两个函数有 3 个交点，当 t=2 时，两个函数有一个交点，则共有 7 个交点，即函数 y=f（f（x） ）的零点共有 7 个，故答案为：0，7；11设变量 x，y 满足约束条件 ，则 的取值范围是 【考点】简单线性规划【分析】先画出满足条件的平面区域，结合 的几何意义求出其范围即可【解答】解：画出满足约束条件 的平面区域，如图示：而 的几何意义表示过平面区域内的点和 A（1，1）的直线的斜率，由图象得：K AB= = ，故 的取值范围是 12已知单调递增的等差数列a n的前 n 项和为 Sn
20、，若 S8=12，a 3a6=18，则数列a n的通项公式为 an= 3n12 ；若数列 bn的通项公式为 bn=2n，则数列 abn的前 n 项和 Tn= 62n12n6 【考点】数列的求和【分析】 （1）设出等差数列a n的公差为 d，等比数列b n的公比为 q，且 q0由已知列式求得等差数列的公差和等比数列的公比，代入等差数列和等比数列的通项公式得答案；（2）由 cn=abn 结合数列a n和b n的通项公式得到数列 cn的通项公式，结合等比数列的前 n 项和求得数列c n的前 n 项和 Sn【解答】解：（1）设单调递增的等差数列a n的首项为 a1，公差为 d（d0） ，由 S8=12
21、，a 3a6=18，得解得 d=3，d= 2（舍去） ，a 1=9，a n=9+3（n1 ）=3n 12，（2）由 bn=2n，a bn=32n12，T n=（32 112）+（32 212）+（32 312）+（32 n12）=3（2 1+22+2n） 12n=3 12n=62n12n6；故答案为：3n12，6 2n12n613如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，M 为 BB1 的中点，则直线 MC 与平面 ACD1 所成角的正弦值为 【考点】直线与平面所成的角【分析】以 D 为原点建立坐标系，设正方体边长为 1，求出平面 ACD1 的法向量 和 的坐标，则|cos |即为所求【解
22、答】解：以 D 为原点，以 DA，DC ，DD 1 为坐标轴建立空间直角坐标系 Dxyz，如图所示：设正方体棱长为 1，则 A（1 ，0，0） ，C（0，1，0） ，D 1（0，0，1） ，M（1，1， ） =（ 1，1，0） ， =（1，0，1） ， =（1，0， ） 设平面 ACD1 的法向量为 =（x，y，z） ，则 ， ，设 x=1 得 =（1，1，1） cos = = = 直线 MC 与平面 ACD1 所成角的正弦值为|cos |= 故答案为： 14已知抛物线 y2=4x 的焦点为 F，过焦点的直线与抛物线交于 A，B 两点，则3|AF|+4|BF|的最小值为 7+4 【考点】抛物线
23、的简单性质【分析】设直线方程为 x=my+1，联立方程组得出 A，B 两点坐标的关系，根据抛物线的性质得出 3|AF|+4|BF|关于 A，B 两点坐标的式子，使用基本不等式得出最小值【解答】解：抛物线的焦点 F（1，0） ，设直线 AB 的方程为 x=my+1联立方程组 ，得 x2（4m 2+2）x+1=0设 A（ ，y 1） ，B（ ，y 2） ，则 =1y 22= 由抛物线的性质得|AF|= ，|BF|= = 3|AF|+4|BF|= +3+ +4=7+ + 7+2 =7+4 故答案为： 15已知 ， ， 是空间两两垂直的单位向量， =x +y +z ，且 x+2y+4z=1，则| |的
24、最小值为 【考点】平面向量的基本定理及其意义【分析】根据题意设 =（1，0，0） ， =（0，1，0） ， =（0，0，1） ，求出=（x，y，z） ，表示出| |，根据 x+2y+4z=1 表示一个平面， （x1） 2+（y1）2+z2 的值表示空间中的点（x，y，z）到点 D（1，1，0）的距离，利用点 D 到此平面的距离，即可求出| |的最小值【解答】解：设 =（1，0，0） ， =（0，1，0） ， =（0，0，1） ，则 =x +y +z =（x，y，z） ，且 x+2y+4z=1，则 =（x1，y 1，z ） ，| |= ；又 x+2y+4z=1 表示一个平面，（x1） 2+（y
25、1） 2+z2 的值表示空间中的点（x，y，z）到点 D（1，1，0）的距离，这样的点在以点 D（1，1，0 ）为球心的球面上，（x1 ） 2+（y 1） 2+z2 的最小值是球与此平面相切时切点与 D 点的距离平方，即点 D 到此平面的距离的平方；又点 D（1，1，0）到平面 x+2y+4z=1 的距离是d= = = ；| |的最小值是 故答案为： 三、解答题（本大题共 5 小题，满分 74 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ）16已知ABC 的三个内角 A，B ，C 的对边分别为 a，b，c，且ABC 的面积为S= accosB（1）若 c=2a，求角 A，B ，C 的大小；（2）
26、若 a=2，且 A ，求边 c 的取值范围【考点】正弦定理；余弦定理【分析】 （1）法一：根据正弦定理，建立条件关系，即可求出角 A，B，C 的大小；法二：根据余弦定理，建立条件关系，即可求出角 A，B，C 的大小（2）根据正弦定理表示出 c，根据三角函数的图象和性质即可得到结论【解答】解：由已知及三角形面积公式得 S= acsinB= accosB，化简得 sinB= cosB，即 tanB= ，又 0B，B= （1）解法 1：由 c=2a，及正弦定理得，sinC=2sinA，又A+B= ，sin（ A）=2sinA，化简可得 tanA= ，而 0A ，A= ，C= 解法 2：由余弦定理得，
27、b 2=a2+c22accosB=a2+4a22a2=3a2，b= ，a：b：c=1： ，知 A= ，C= （2）由正弦定理得 ，即 c= ，由 C= A，得= = = +1又由 A ，知 1tanA ，故 c2， 17如图，已知长方形 ABCD 中，AB=2，AD=1，M 为 DC 的中点将ADM 沿 AM 折起，使得平面 ADM平面 ABCM（）求证：ADBM；（）若 = （01） ，当二面角 EAMD 大小为 时，求 的值【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系【分析】 （）推导出 BMAM，从而 BM平面 ADM，由此能证明 ADBM（）法一：过点 E 作 MB 的
28、平行线交 DM 于 F，过点 F 作 AM 的垂线，垂足为 H，连接HE，则EHF 即为二面角 EAMD 的平面角，由此能求出当二面角 EAMD 大小为 时 的值法二：以 M 为原点，MA，MB 所在直线为 x 轴，y 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出当二面角 EAMD 大小为 时 的值【解答】证明：（） ，BMAM，又平面 ADM平面 ABCM，平面 ADM平面 ABCM=AM，BM 平面 ABCM，BM平面 ADM又 AD平面 ADM，AD BM解：（） （方法一）过点 E 作 MB 的平行线交 DM 于 F，由 BM平面 ADM，得 EF平面 ADM，在平面 ADM 中过点 F
29、作 AM 的垂线，垂足为 H，连接 HE，则EHF 即为二面角 EAMD 的平面角，大小为 设 FM=x，则 ，在 Rt FHM 中，由EFH=90 ，EHF=60 ，则 由 EFMB，MB=2，则 ，即 ，解得 x=42 故当二面角 EAMD 大小为 时， ，即 （方法二）以 M 为原点，MA，MB 所在直线为 x 轴，y 轴，建立如图所示空间直角坐标系，M（0，0，0） ， ， ， ，且 ，所以， ，设平面 EAM 的法向量为 ，则 ，所以， 又平面 DAM 的法向量为 ，所以， ，解得 ，或 （舍去） 所以， 18已知函数 f（x）=（x+a ） （|x|+2）+b（a，bR ）（1）若
30、 f（x）在 R 上不单调，求实数 a 的取值范围；（2）若 a4 且 y=f（x）在1，1上有两个零点，求 a2+（b 17） 2 的最小值【考点】函数与方程的综合运用【分析】 （1）由函数 f（x）去掉绝对值，得 f（x）= ，又由 f（x）在 R 上不单调，列出不等式组求解即可得答案；（2）由 f（x）= ，若 a 4 且 y=f（x）在1，1上有两个零点，且 ，可得 ，再由线性规划可得答案【解答】解：（1）由函数 f（ x）= （x+a ） （|x|+2）+b（ a，bR） ，得 f（x）= ，若 f（x）在 R 上不单调，得 或 ，实数 a 的取值范围为：a 2 或 a2；（2）f（
31、x）= ，若 a4 且 y=f（x）在1，1上有两个零点，且 ，则 ，即 ，a2+（b17） 2 的几何意义为定点（0，17）与可行域内动点距离的平方，由 ，得 a2+（b17） 2 的最小值为 =4019已知点 是离心率为 的椭圆 C： 上的一点斜率为 的直线 BD 交椭圆 C 于 B、D 两点，且 A、B、D 三点不重合（）求椭圆 C 的方程；（）ABD 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程【分析】 （）根据点 是离心率为 的椭圆 C 上的一点，建立方程，即可求椭圆 C 的方程；（）直线方程代入椭圆方程，计算出
32、三角形的面积，利用基本不等式，可得结论【解答】解：（） ， ，a 2=b2+c2a=2， ，椭圆方程为 （）设直线 BD 的方程为由 ，消去 y 可得 ， ，由=8b 2+640，可得 ，设 d 为点 A 到直线 BD： 的距离， ，当且仅当 b=2 时，ABD 的面积最大，最大值为 20已知数列a n满足 a1= ，a n+1=an2+an（1）若 = ，求证：a n1；（2）若 =n，求证： + + 2【考点】数列与不等式的综合；不等式的证明【分析】 （1）通过变形可知数列a n为正项递增数列，通过放缩、变形可知 ，进而并项相加即得结论；（2）通过放缩、变形可知 ，进而并项相加即得结论【解答】证明：（1）易知 an0， ， ， = ，累加，得： 1 （n 2） ，又a 11 满足上式，a n1；（2）易知 an0，a n+1=nan+an， = ， = ，累加，得： + + =22016 年 9 月 26 日
