天津-2010年全国高考理科数学试题及答案.doc

1、北 京 仁 慧 书 院 ： 仁 和 万 物 ， 慧 济 天 下仁 慧 教 育 集 团 服 务 专 线 ： 400-606-2010年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分为第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 150分，考试用时 120分钟，第卷 1至 3页，第卷 4至 11页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利！第卷注意事项：1 答第卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。2 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试卷上的无效。3

2、本卷共 10小题，每小题 5分，共 50分。参考公式：如果事件 A、B 互斥，那么 如果事件 A、B 相互独立，那么P(AB)=P(A)+P(B) P(AB)=P(A)P(B)棱柱的体积公式 V=Sh, 棱锥的体积公式 V= ,13sh其中 S标示棱柱的底面积。 其中 S标示棱锥的底面积。h表示棱柱的高。 h 示棱锥的高。一选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）i 是虚数单位，复数 132i(A)1i (B)55i (C)-5-5i (D)-1i （2）函数 f(x)= 的零点所在的一个区间是x(A)（-2，-1）(B)（-1,0）(C)（0,1）(D)（1,2）（

3、3）命题“若 f(x)是奇函数，则 f(-x)是奇函数”的否命题是(A)若 f(x) 是偶函数，则 f(-x)是偶函数（B）若 f(x)不是奇函数，则 f(-x)不是奇函数（C）若 f(-x)是奇函数，则 f(x)是奇函数北 京 仁 慧 书 院 ： 仁 和 万 物 ， 慧 济 天 下仁 慧 教 育 集 团 服 务 专 线 ： 400-606-（D）若 f(-x)不是奇函数，则 f(x)不是奇函数（4）阅读右边的程序框图，若输出 s的值为-7，则判断框内可填写(A)i3? （B）i4?（C）i5? （D）i6? (5)已知双曲线 的一条渐近21(0,)xyab线方程是 y= ,它的一个焦点在抛物

4、线3的准线上，则双曲线的方程为24yx（A） （B） 213608y297x（C） （D）210836y2179xy（6）已知 是首项为 1的等比数列， 是 的前 n项和，且 ，则数列nansa369s的前 5项和为1n（A） 或 5 （B） 或 5 （C） （D）8316316158（7）在ABC 中，内角 A,B,C的对边分别是 a,b,c，若 ，23abc，则 A=sin23siC（A） （B） （C） （D）006012015（8）若函数 f(x)= ,若 f(a)f(-a),则实数 a的取值范围是21log,()x北 京 仁 慧 书 院 ： 仁 和 万 物 ， 慧 济 天 下仁 慧

5、教 育 集 团 服 务 专 线 ： 400-606-（A） （-1，0）（0，1） （B） （-，-1）（1,+）（C） （-1，0）（1,+） （D） （-，-1）（0,1）(9)设集合 A= 若 A B,则实数 a,b必满足|1,|2,.xaxRxbxR（A） （B） |3ab|3a（C） （D）| |(10) 如图，用四种不同颜色给图中的 A,B,C,D,E,F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法用（A）288 种 （B）264 种 （C）240 种 （D）168 种2010年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）第卷注意事

6、项：1 答卷前将密封线内的项目填写清楚。2 用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上。3 本卷共 12小题，共 100分。二填空题：本大题共 6小题，每小题 4分，共 24分，把答案天灾题中横线上。（11）甲、乙两人在 10天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如下图，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数，则这 10天甲、乙两人日加工零件的平均数分别为 和 。北 京 仁 慧 书 院 ： 仁 和 万 物 ， 慧 济 天 下仁 慧 教 育 集 团 服 务 专 线 ： 400-606-（12）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 （13）已知圆 C的圆心是直线 与 x轴的交

7、点，且圆 C与直线 x+y+3=01,(xty为 参 数 ）相切，则圆 C的方程为 （14）如图，四边形 ABCD是圆 O的内接四边形，延长 AB和 DC相交于点 P，若 ,则B1C=,A2D3的值为 BCAD（15）如图，在 中， , ,ABC:DAB3CD,则 .1D（16）设函数 ，对任意 ，2()1fx2,3x恒成立，则实数 的取值范围是 .24()4(xfmffm三、解答题：本大题共 6小题，共 76分。解答题写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17） （本小题满分 12分）已知函数 2()23sincos1()fxxxR（）求函数 的最小正周期及在区间 上的最大值和最小值；f 0,

8、（）若 ，求 的值。006(),542fx0cosx北 京 仁 慧 书 院 ： 仁 和 万 物 ， 慧 济 天 下仁 慧 教 育 集 团 服 务 专 线 ： 400-606-（18）.（本小题满分 12分）某射手每次射击击中目标的概率是 ，且各次射击的结果互不影响。23（）假设这名射手射击 5次，求恰有 2次击中目标的概率（）假设这名射手射击 5次，求有 3次连续击中目标。另外 2次未击中目标的概率；（）假设这名射手射击 3次，每次射击，击中目标得 1分，未击中目标得 0分，在 3次射击中，若有 2次连续击中，而另外 1次未击中，则额外加 1分；若 3次全击中，则额外加 3分，记 为射手射击

9、3次后的总的分数，求 的分布列。（19） （本小题满分 12分）如图，在长方体 中， 、 分别是棱 ,1ABCDEFBC1上的点， ,2F1:24A（1） 求异面直线 与 所成角的余弦值；E1（2） 证明 平面AD（3） 求二面角 的正弦值。1F北 京 仁 慧 书 院 ： 仁 和 万 物 ， 慧 济 天 下仁 慧 教 育 集 团 服 务 专 线 ： 400-606-（20） （本小题满分 12分）已知椭圆 的离心率 ，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面21(0xyab） 32e积为 4。（1） 求椭圆的方程；（2） 设直线 与椭圆相交于不同的两点 ，已知点 的坐标为（ ） ，点l ,AB,0a在

10、线段 的垂直平分线上，且 ，求 的值0(,)QyAB4Q:y（21） （本小题满分 14分）已知函数 ()()xfcR（）求函数 的单调区间和极值；（）已知函数 的图象与函数 的图象关于直线 对称，证明()ygx()yfx1x当 时，1xf北 京 仁 慧 书 院 ： 仁 和 万 物 ， 慧 济 天 下仁 慧 教 育 集 团 服 务 专 线 ： 400-606-（）如果 ，且 ，证明12x12()fxf12x（22） （本小题满分 14分）在数列 中， ，且对任意 . ， ， 成等差数列，其公差为 。na10*kN21kak21kd（）若 = ，证明 ， ， 成等比数列（ ）kd22ka12k

11、*N（）若对任意 ， ， ， 成等比数列，其公比为 。*Nakq北 京 仁 慧 书 院 ： 仁 和 万 物 ， 慧 济 天 下仁 慧 教 育 集 团 服 务 专 线 ： 400-606-2010年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）参考解答一、 选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题 5分，满分 50分。（1）A （2）B （3）B （4）D （5）B（6）C （7）A （8）C （9）D （10）B二填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题 4分，满分 24分。（11）24:23 （12） （13） 1032(1)xy（14） （15） (16)63,2三、解答题（17

12、）本小题主要考查二倍角的正弦与余弦、两角和的正弦、函数 的性sin()yAx质、同角三角函数的基本关系、两角差的余弦等基础知识，考查基本运算能力，满分 12分。（1）解：由 ，得2()23sincos1fxxx2()si()3incos2in()6fx x所以函数 的最小正周期为f因为 在区间 上为增函数，在区间 上为减函数，又()2sin6fxx0,6,62，所以函数 在区间 上的最大值为 2，最小值(0)1,1fff()fx0,为-1（）解：由（1）可知 00()2sin6fxx又因为 ，所以06()5fx03i5北 京 仁 慧 书 院 ： 仁 和 万 物 ， 慧 济 天 下仁 慧 教 育

13、 集 团 服 务 专 线 ： 400-606-由 ，得0,42x027,63x从而 2004cos1sin5x所以 000034cos2cos2cosin2sin66610xxxx 18.本小题主要考查二项分布及其概率计算公式、离散型随机变量的分布列、互斥事件和相互独立事件等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力，满分 12分。（1）解：设 为射手在 5次射击中击中目标的次数，则 .在 5次射击中，恰XX2,3B有 2次击中目标的概率 22540()133PC（）解：设“第 次射击击中目标”为事件 ；“射手在 5次射击中，i (1,2345)iA有 3次连续击中目标，另外 2次未击中目标

14、”为事件 ,则123451234512345()()()PAAPP=2= 81（）解：由题意可知， 的所有可能取值为0,12363123(0)()7PA123123123()()PA= 912324()()7PA北 京 仁 慧 书 院 ： 仁 和 万 物 ， 慧 济 天 下仁 慧 教 育 集 团 服 务 专 线 ： 400-606-123123()()()PAPA221837123(6)()87所以 的分布列是（19）本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，满分 12分。方法一：如图所示，

15、建立空间直角坐标系，点 A为坐标原点，设 ,依题意得 ,1AB(02)D, ,(12)F1(04)3,2E（1） 解：易得 ,1F1(0,24)A于是 113cos, 5EDA:所以异面直线 与 所成角的余弦值为F1（2） 证明：已知 , ,(2)A13,42E1,02ED于是 =0， =0.因此， , ,又AF1ED1AF1AE所以 平面(3)解：设平面 的法向量 ，则 ,即EF(,)uxyz0uED:02yzx北 京 仁 慧 书 院 ： 仁 和 万 物 ， 慧 济 天 下仁 慧 教 育 集 团 服 务 专 线 ： 400-606-不妨令 X=1,可得 。由（2）可知， 为平面 的一个法向量

16、。(1,u） AF1ED于是 ，从而cos,=3|AF5sin,=3u所以二面角 的正弦值为1-ED5方法二：（1）解：设 AB=1，可得 AD=2,AA1=4,CF=1.CE= 2链接 B1C,BC1，设 B1C与 BC1交于点 M,易知 A1DB 1C，由 ,可知 EFBC 1.故1EF=B4是异面直线 EF与 A1D所成的角，易知 BM=CM=M,所以 ,所1=52223cos 5MB:以异面直线 FE与 A1D所成角的余弦值为 35（2）证明：连接 AC，设 AC与 DE交点 N 因为，所以 ，从而CEBRtCEtBA:，又由于 ,所以A90D，故 ACDE,又因为 CC1DE 且 ，

17、所以 DE平面90D 1CAACF，从而 AFDE.连接 BF，同理可证 B1C平面 ABF,从而 AFB 1C,所以 AFA 1D因为 ，1E所以 AF平面 A1ED(3)解：连接 A1N.FN,由（2）可知 DE平面 ACF,又 NF 平面 ACF, A1N 平面 ACF，所以DENF,DEA 1N,故 为二面角 A1-ED-F的平面角1NF易知 ，所以 ，又 所以 ，在RtCEtB:CE55C21305tNFNRtAN:中 ， 在 中 21430AN连接 A1C1,A1F 在 2111RtFC中 ，北 京 仁 慧 书 院 ： 仁 和 万 物 ， 慧 济 天 下仁 慧 教 育 集 团 服

18、务 专 线 ： 400-606-。所以221111cos 3ANFRtANF在 中 ， 15sin3ANF所以二面角 A1-DE-F正弦值为 53（20）本小题主要考察椭圆的标准方程和几何性质，直线的方程，平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查运算和推理能力，满分 12分（1）解：由 ，得 ，再由 ，得3e2ca24ac22ab由题意可知， 1,b即解方程组 得 a=2,b=12a所以椭圆的方程为 214xy(2)解：由（1）可知 A（-2,0） 。设 B点的坐标为（x 1,y1）,直线 l的斜率为 k，则直线 l的方程为 y=k(x+2),于是 A,B两点

19、的坐标满足方程组 2()14ykx由方程组消去 Y并整理，得 222(1)6(4)0kk由 得2164,kx21128,kyk从 而设线段 AB是中点为 M，则 M的坐标为228(,)14k以下分两种情况：（1）当 k=0时，点 B的坐标为（2,0） 。线段 AB的垂直平分线为 y轴，于是000(2,y)(2,=2QAyQABy:） 由 4， 得北 京 仁 慧 书 院 ： 仁 和 万 物 ， 慧 济 天 下仁 慧 教 育 集 团 服 务 专 线 ： 400-606-（2）当 K 时，线段 AB的垂直平分线方程为02218()44kkYx令 x=0，解得 02614ky由 010(,)(,QAB

20、xy） 210 222(8)6462()411kkx:） =42(65)4k=整理得 2 012147, =75y故 所 以综上 0024=5yy或（21）本小题主要考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及用函数思想分析解决问题的能力，满分 14分（）解：f ()1xxe令 f(x)=0,解得 x=1当 x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表X ( ),11 ( )1,f(x) + 0 -f(x) :极大值 :所以 f(x)在( )内是增函数，在( )内是减函数。,11,函数 f(x)在 x=1处取得极大值 f(1)且 f(1)=e（）证明：由题意可知 g

21、(x)=f(2-x),得 g(x)=(2-x) 2x令 F(x)=f(x)-g(x),即 ()()xF于是 2()1xFxe北 京 仁 慧 书 院 ： 仁 和 万 物 ， 慧 济 天 下仁 慧 教 育 集 团 服 务 专 线 ： 400-606-当 x1时，2x-20,从而 (x)0,从而函数 F（x）在2x-e10,Fxe又 所 以1,+)是增函数。又 F(1)= F(x)F(1)=0,即 f(x)g(x).-1e0， 所 以 时 ， 有)证明：（1）若 2 1212(),),.x xx12由 （ ） 及 f(xf则 与 矛 盾 。（2）若 1()0)x由 （ ） 及 (得 与 矛 盾 。根

22、据（1） （2）得 1212(),.xx不 妨 设由（）可知， ,则 = ，所以 ,从而)fg2()f-)2f(x)2- .因为 ，所以 ，又由（）可知函数 f(x)在区间（-)1f(x)2-2xx，1）内事增函数，所以 ,即 2.1212(22)本小题主要考查等差数列的定义及通项公式，前 n项和公式、等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法。满分 14分。（）证明：由题设，可得 。*4,21akNk所以 1 31()().()2 2a aak=4().4=2k(k+1)由 =0，得1a 222(1), ,(1).21kaka

23、kk从 而于是 。2,ak所 以所以 成等比数列。*,212kdkNak时 ， 对 任 意（）证法一：（i）证明：由 成等差数列，及成等比数列，得,212akk北 京 仁 慧 书 院 ： 仁 和 万 物 ， 慧 济 天 下仁 慧 教 育 集 团 服 务 专 线 ： 400-606-2112,1 kaka qkk当 1 时，可知 1，k1qq*N从而 111, 1(2)2 kqk kk 即所以 是等差数列，公差为 1。1q（）证明： ， ，可得 ，从而 =1.由（）有10a234a12,q1*1,kkqNq得所以2*221, ,1aakkNk （ ）从 而因此， 222 *2 (1)2 142(

24、),kaak kkakNk 以下分两种情况进行讨论：（1） 当 n为偶数时，设 n=2m( )*mN若 m=1,则 .2ka若 m2，则+222211 1()()4nmmkkkkkaa2 211 14 12()()()3().mmk k kkmn 所以2 231, ,.n nk kaa 从 而北 京 仁 慧 书 院 ： 仁 和 万 物 ， 慧 济 天 下仁 慧 教 育 集 团 服 务 专 线 ： 400-606-(2)当 n为奇数时，设 n=2m+1（ ）*mN222 21()31()4mkkaa 142()2n所以 从而 231,nka23,35,7nka综合（1） （2）可知，对任意 ,

25、,有2nN2nk证法二：（i）证明：由题设，可得 2122(1),k kkdaqaq所以21212(),kkkkkdaqa1d3211 22k kkkk kq qa由 可知 。可得 ，11,*kN1 1kkkq所以 是等差数列，公差为 1。kq（ii）证明：因为 所以 。120,a121da所以 ，从而 ， 。于是，由（i）可知所以 是3214d312q1q1kq公差为 1的等差数列。由等差数列的通项公式可得 = ，故 。k1k从而 。1kdq所以 ，由 ，可得1212121kkdkk12d。kd北 京 仁 慧 书 院 ： 仁 和 万 物 ， 慧 济 天 下仁 慧 教 育 集 团 服 务 专 线 ： 400-606-于是，由（i）可知 221,*kkaaN以下同证法一。