1、1分析力学习题例 1 半径为 R、质量为 m 的圆环挂在一半径为 r 的固定圆柱上。设圆环与圆柱间有足够大的摩擦力阻止相对滑动，试写出圆环系统的哈密顿正则方程和运动微分方程，并求微幅摆动的周期。解：圆环具有一个自由度，是完整系统。取 为广义坐标，圆环的动能为 221OJmvT其中 ，瞬心为 A，则OrRv)( RrvO于是 2222 )()(1)(21 rmmrRT 主动力有势，系统的势能为V =mg (Rr) cos sin)(02d(222rmgTRTtm代入拉格朗日方程，得到系统的动力学方程： 0si)()(22rRr即 ng考虑到微幅，有 0)(2rR周期为 g由于主动力有势，可以写出
2、拉格朗日函数： cos)()(2rRmrRVTL同样可以得到系统的动力学方程。22. 已知摆线绕在固定圆柱上，尺寸如图；写出系统的哈密顿正则方程，求此摆的运动微分方程。解 这是单自由度保守系统，选 为广义坐标，选 = 0 为系统的零势能位置，则 cos)()sin(212RllmgVT将 T、 V 代入保守系统的拉格朗日方程 VTtd或将拉格朗日函数 L = T V 代入如下形式的拉格朗日方程 0dLt皆可得运动微分方程 sin)(2gRl例 3 三角楔块 A 可沿水平光滑面作直线运动，楔块 A 的质量为m1，其上受有简谐力 FHsin t 的作用（H 和 均为常量）。楔块斜边 BD 上有一质
3、量为 m2、半径为 r 的圆柱体，沿 BD 滚动而不滑动，二弹簧的刚体系数分别为 k1和 k2。试建立系统的运动微分方程。解：系统具有二个自由度。取三角楔块的位移 x 和圆柱体相对于楔块的位移 为广义坐标，二者均以其静平衡位置为原点。楔块 A 作平动， ，圆柱体作平面运动，质心速度 vC 为xvAcos22xC角速度 为 r3系统的动能 T 为 cos43)(21 41)cs2(21222 222 xmxmrxxx 系统的势能 V 为 20221012 )()(2sin kxkg在平衡位置有关系式 0sin,0)( 2210 kgmxk于是势能 V 为 )(21201kxk非有势力 F 相应的
4、广义力分别为 xkVmxxTt TmQtHxtHx 1221221 ,cos)(d 0,s)(0sinsin 又， 22222 ,cos3d 0,cos3 kVxmTt TxT 4代入拉格朗日方程，得到系统的运动微分方程： 023cos sincos)( 22 1221 kmxm tHxkx例 4 图示系统中，半径为 r 的均匀圆盘在槽内作不滑动的滚动。已知圆盘质量为 m，槽的半径为 R。试用哈密顿原理建立系统的运动方程。解：若选择 为广义坐标，则系统微幅振动时的能量为(a)22)(21AIrRmT其中， 为圆盘的角速度，I A = mr2/2 是圆盘对质心的转动惯量。圆盘作不滑动的滚动时，存
5、在有(b)(rRr由此，得到rR (c)将式(c) 代入式 (a)，得到图 圆盘微幅振动5(d)2243rRmT而系统的位能(e)2)(21)cos1)( rRgrRmg将 T 与 代入变分式 0d)(21tTItt中，得到0d)( d)23-)(23d)(23 d)(214321 121121 222 222 trRmg trm(Rr trgrRmtrRmgrtt tttttttt (f)由于， 时，哈密顿原理要求 = 0，所以，式(f)满足时，必有21tt(g)0)()(32 rRmgrRm式(g)就是系统微幅振动时的运动方程。例 1 设均质圆环 A 的质量为 mA，半径为 R，置于光滑的
6、水平面上。6一均质圆盘 B，质量为 mB，半径为 r，试用拉格朗日方程的初积分求其沿圆环内壁由静止开始自 位置纯滚动至最低位置时的角速度。设30R=3r，m A=mB。解:此系统为三自由度。设 Oxy 为固定坐标系， 为平动坐标系，yxA轴固结于圆环 A。以 A 点的水平方向坐标 x， 轴于 轴的夹角 ,BAy B及直线 AB 与 轴的夹角 为三个广义坐标( 见图 a)。x不难看出（见图 b） ，圆环角速度 ，其中心 A 的速度 。圆盘A xvA角速度 及其中心 B 的速度 必须利用运动学关系确定。将直线 AB 看作BBv刚杆，取 A 为基点，有（1）BAv因为 ，故根据余弦定理导出rRvBA
7、2)(212212 )sin4()2cos()( xrrxxrx 圆盘沿圆环内壁作纯滚动，圆盘上的 C 点和圆环上的 C 点具有相同的速度。以圆盘为对象，取 C 为基点，有（2）BBvv以圆环为对象，取 A 为基点，有（3）CAC将式（1） 、 （3）代入（2） ，导出 BCCABvv上式中三个矢量的方向始终相同。由 、 可得RBr（4）322rB可写出系统的动能为7sin23)427( )1(2112 22 xmrrmrrxmvRvT BBAA 以过 A 点的水平面为零势能面，系统的势能为 sisin)( gRgV系统的拉格朗日函数 中不显含 x 和 ，存在两个循环积分：VTL（5）1)i(
8、2Crx（6）2237mz又 L 中不显含时间 t，且 ，存在能量积分2T（7）3V系统初始状态为 ， ，代入以上三式，得 ，300x 021C。将题目要求讨论的 位置代入式（5） 、 （6） ，得到mgrC3 9，292r代入式（7） ，解得 rg15)3(将 和 代入式（4） ，求出B46例 2 半径为 R 的均质空心圆柱内壁足够粗糙，可绕中心水平轴 Oz 作定轴转动，绕 Oz 的转动惯量为 JO。半径为 r、质量为m 的均质圆球 沿其内壁作纯滚动。试写出系统的运动微分方程。解：此系统为二自由度。以圆柱的转角 、圆球中心 与圆柱O8中心 的连线与铅垂线的夹角 为广义坐标，则圆柱的角速度为
9、，O 点的速度 。设 P 点为圆球与圆柱的接触点，圆球上 )(rRv的 P 点与圆柱上的 P 点应有相同速度。以 P 为基点，计算 点的O速度： POPO vv上式中 ， 。沿 方向投影，得rvPO RPrRr)(求得圆球 的角速度 为 )(取 点处水平面为零势能面，则系统得动能和势能分别为O RrmrRmRJrvJTOOO )(52)(5721)52(1 1)(211 222 cosgV拉格朗日函数为 cos)()(52)(5721)52(1 2rRgrRrRmRJLO 代入拉格朗日方程，导出运动微分方程： 0)52()(50mRJrRsin)(7g例 6 半径为 R 的均质空心圆柱内壁足够
10、粗糙，可绕中心水平9轴 Oz 作定轴转动，绕 Oz 的转动惯量为 JO。半径为 r、质量为 m的均质圆球 沿其内壁作纯滚动。若开始时 OO在水平位置而系O统处于静止，试用拉格朗日方程的初积分求当 OO到达铅垂位置时，空心圆柱的角速度，设 JO=mR2。 （同例 2）解：上例中给出系统的拉格朗日函数： cos)()(5)(5721)52(1 2 rRmgrRrRmRJLO 因为 L 中不显含 ，故存在循环积分：（1）12)(5)5( CrJO 又 L 中不显含时间 t，且 ，存在能量积分：2T2V将式代入，得（2）22 cos)()(5)(571)5(21 CrRmgrRrRmRJO 系统初始状态为 ， ，代入式（1） 、 （2）得到900。将题目要求讨论的 位置与 代入式（1） 、021CJO（2） ，解得 到达铅垂位置时空心圆柱的角速度O 7)(23rRg
