1、第 1 页（共 25 页）2016 年黑龙江省大庆实验中学高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在题目给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求.1设全集 I=R，集合 A=y|y=log3x，x3 ，B=x|y= ，则（ ）AA BBAB=ACAB=DA（ IB）2设 i 为虚数单位，则复数 =（ ）A4 3iB4+3iC4+3iD 4 3i3在ABC 中，角 A，B，C 所对边分别为 a，b，c，且 c= ，B=45 则 S=2，则 b 等于（ ）A B C25D54某学校安排甲、乙、丙、丁四位同学参加数学、物理、化学竞赛，要求每位同学仅报
2、一科，每科至少有一位同学参加，且甲、乙不能参加同一学科，则不同的安排方法有（ ）A36 种 B30 种 C24 种 D6 种5已知 、 为互不重合的三个平面，命题 p：若 ，则 ；命题 q：若 上不共线的三点到 的距离相等，则 对以上两个命题，下列结论中正确的是（ ）A命题“p 且 q”为真 B命题“ p 或 q”为假C命题“p 或 q”为假 D命题“p 且q”为假6如果实数 x，y 满足不等式组 ，目标函数 z=kxy 的最大值为 6，最小值为 0，则实数 k 的值为（ ）A1B2C 3D47体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球 3 次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到
3、 3 次为止设学生一次发球成功的概率为 p （p0） ，发球次数为X，若 X 的数学期望 EX1.75，则 p 的取值范围是（ ）A （0， ）B （ ，1）C （0， ）D （ ，1）8把边长为 1 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起，形成的三棱锥 CABD 的主视图与俯视图如图所示，则左视图的面积为（ ）第 2 页（共 25 页）A B C D9如图，在由 x=0，y=0 ，x= 及 y=cosx 围成区域内任取一点，则该点落在 x=0，y=sinx及 y=cosx 围成的区域内（阴影部分）的概率为（ ）A1 B 1C D3 210若 A，B，C 是圆 x2+y2=1 上不同的三个点
4、，O 是圆心，且 ，存在实数 ，使得 = ，实数 ， 的关系为（ ）A 2+2=1B C=1D+ =111设数列a n的前 n 项和为 Sn，且 a1=a2=1，nS n+（n+2）a n为等差数列，则 an=（ ）A B C D12定义区间x 1，x 2长度为 x2x1， （x 2x 1） ，已知函数 f（x）= （aR，a0）的定义域与值域都是m，n ，则区间m，n 取最大长度时 a 的值为（ ）A Ba1 或 a 3Ca1D3二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.第 3 页（共 25 页）13如图是判断“实验数” 的流程图，在30 ，80内的所有整数中， “实验数
5、” 的个数是 14已知向量 =（m，1） ， =（4n，2） ，m0，n0，若 ，则 + 的最小值 15双曲线 C： 的左右焦点分别为 F1、F 2，过 F1 的直线与双曲线左右两支分别交于 A、B 两点，若ABF 2 是等边三角形，则双曲线 C 的离心率为 16在正项等比数列a n中， ，a 6+a7=3，则满足 a1+a2+ana 1a2an 的最大正整数n 的值为 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17在ABC 中，A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，sin 2 +sinAsinB= （1）求角 C 的大小； （2）若 b=4，ABC
6、的面积为 6，求边 c 的值18如图是某市 2 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势图，空气质量指数（AQI）小于 100表示空气质量优良，空气质量指数大于 200 表示空气重度污染，某人随机选择 2 月 1 日至2 月 12 日中的某一天到达该市，并停留 3 天（1）求此人到达当日空气质量重度污染的概率；（2）设 是此人停留期间空气重度污染的天数，求 的分布列与数学期望第 4 页（共 25 页）19如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形， DAB=60，AB=2，AD=1，PD底面 ABCD（1）证明：PA BD；（2）若 PD=AD，求二面角 APBC 的余弦值20
7、如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 O：x 2+y2=4，椭圆 C： ，A 为椭圆右顶点过原点 O 且异于坐标轴的直线与椭圆 C 交于 B，C 两点，直线 AB 与圆 O 的另一交点为 P，直线 PD 与圆 O 的另一交点为 Q，其中 设直线 AB，AC 的斜率分别为 k1，k 2（1）求 k1k2 的值；（2）记直线 PQ，BC 的斜率分别为 kPQ，k BC，是否存在常数 ，使得 kPQ=kBC？若存在，求 值；若不存在，说明理由；（3）求证：直线 AC 必过点 Q21已知函数 f（x）=alnx+1（a0） （1）当 a=1 且 x1 时，证明：f（x）3 ；（2）若对x（1，e
8、） ，f （x）x 恒成立，求实数 a 的取值范围；（3）当 a= 时，证明： f（i）2（n+1 ） 选修 4-1：几何证明选讲22如图，O 的半径 OB 垂直于直径 AC，M 为 AO 上一点，BM 的延长线交O 于 N，过 N 点的切线交 CA 的延长线于 P（）求证：PM 2=PAPC；（）若O 的半径为 2 ，OA= OM，求 MN 的长第 5 页（共 25 页）选修 4-4：坐标系与参数方程23在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 它与曲线C：（y2） 2x2=1 交于 A、B 两点（1）求|AB|的长；（2）在以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点
9、 P 的极坐标为，求点 P 到线段 AB 中点 M 的距离选修 4-5：不等式选讲24设函数 f（x）=|x1|+|xa| （a R）（1）当 a=4 时，求不等式 f（ x）5 的解集；（2）若 f（x）4 对 xR 恒成立，求 a 的取值范围第 6 页（共 25 页）2016 年黑龙江省大庆实验中学高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在题目给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求.1设全集 I=R，集合 A=y|y=log3x，x3 ，B=x|y= ，则（ ）AA BBAB=ACAB=DA（ IB）【考点】集合的包含关
10、系判断及应用【分析】根据对数函数的单调性便可解出 A=x|x1 ，利用被开方数大于等于 0，求出B，从而找出正确选项【解答】解：A=y|y=log 3x，x3=y|y1 ，B=x|y= =x|x1，AB，故选：A2设 i 为虚数单位，则复数 =（ ）A4 3iB4+3iC4+3iD 4 3i【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数的运算法则即可得出【解答】解：原式= =43i，故选：A3在ABC 中，角 A，B，C 所对边分别为 a，b，c，且 c= ，B=45 则 S=2，则 b 等于（ ）A B C25D5【考点】解三角形【分析】由 S= =2，得 a=1，再直接利用余弦定理求得 b
11、【解答】解：由 S= = =2，得 a=1又由余弦定理得 b2=a2+c22accosB=1+322 =25，所以 b=5故选 D第 7 页（共 25 页）4某学校安排甲、乙、丙、丁四位同学参加数学、物理、化学竞赛，要求每位同学仅报一科，每科至少有一位同学参加，且甲、乙不能参加同一学科，则不同的安排方法有（ ）A36 种 B30 种 C24 种 D6 种【考点】计数原理的应用【分析】先不考虑学生甲，乙不能同时参加同一学科竞赛，从 4 人中选出两个人作为一个元素，同其他两个元素在三个位置上排列，其中有不符合条件的，即甲乙两人在同一位置，去掉即可【解答】解：从 4 人中选出两个人作为一个元素有 C
12、42 种方法，同其他两个元素在三个位置上排列 C42A33=36，其中有不符合条件的，即学生甲，乙同时参加同一学科竞赛有 A33 种结果，不同的参赛方案共有 366=30，故选：B5已知 、 为互不重合的三个平面，命题 p：若 ，则 ；命题 q：若 上不共线的三点到 的距离相等，则 对以上两个命题，下列结论中正确的是（ ）A命题“p 且 q”为真 B命题“ p 或 q”为假C命题“p 或 q”为假 D命题“p 且q”为假【考点】平面与平面之间的位置关系【分析】根据平面平行的判断方法，我们对已知中的两个命题 p，q 进行判断，根据判断结合和复合命题真值表，我们对四个答案逐一进行判断，即可得到结论
13、【解答】解：当 ， 时， 与 可能平行与可能垂直故命题 p 为假命题又 若 上不共线的三点到 的距离相等时 与 可能平行也可能相交，故命题 q 也为假命题故命题“p 且 q”为假，命题“p 或 q”为真，命题“ p 或 q”为假，命题 “p 且q” 为真故选 C6如果实数 x，y 满足不等式组 ，目标函数 z=kxy 的最大值为 6，最小值为 0，则实数 k 的值为（ ）A1B2C 3D4【考点】简单线性规划【分析】首先作出其可行域，再由题意讨论目标函数在哪个点上取得最值，解出 k【解答】解：作出其平面区域如右图：A（1，2） ，B（1， 1） ，C（ 3，0） ，目标函数 z=kxy 的最小
14、值为 0，第 8 页（共 25 页）目标函数 z=kxy 的最小值可能在 A 或 B 时取得；若在 A 上取得，则 k2=0，则 k=2，此时，z=2xy 在 C 点有最大值，z=230=6，成立；若在 B 上取得，则 k+1=0，则 k=1，此时，z= xy，在 B 点取得的应是最大值，故不成立，故选 B7体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球 3 次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到 3 次为止设学生一次发球成功的概率为 p （p0） ，发球次数为X，若 X 的数学期望 EX1.75，则 p 的取值范围是（ ）A （0， ）B （ ，1）C （0， ）D （ ，1）【考
15、点】相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量的期望与方差【分析】根据题意，首先求出 X=1、2、3 时的概率，进而可得 EX 的表达式，由题意EX1.75，可得 p23p+31.75，解可得 p 的范围，结合 p 的实际意义，对求得的范围可得答案【解答】解：根据题意，学生发球次数为 1 即一次发球成功的概率为 p，即 P（X=1）=p，第 9 页（共 25 页）发球次数为 2 即二次发球成功的概率 P（X=2）=p （1 p） ，发球次数为 3 的概率 P（X=3）= （1 p） 2，则 Ex=p+2p（1p）+3（1 p） 2=p23p+3，依题意有 EX1.75，则 p23p+31.75
16、，解可得，p 或 p ，结合 p 的实际意义，可得 0p ，即 p（0， ）故选 C8把边长为 1 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起，形成的三棱锥 CABD 的主视图与俯视图如图所示，则左视图的面积为（ ）A B C D【考点】简单空间图形的三视图【分析】画出几何体的图形，根据三视图的特征，推出左视图的形状，然后求解即可【解答】解：在三棱锥 CABD 中，C 在平面 ABD 上的射影为 BD 的中点，左视图的面积等于 ，故选：D9如图，在由 x=0，y=0 ，x= 及 y=cosx 围成区域内任取一点，则该点落在 x=0，y=sinx及 y=cosx 围成的区域内（阴影部分）的概率为（
17、 ）第 10 页（共 25 页）A1 B 1C D3 2【考点】定积分在求面积中的应用；几何概型【分析】根据积分的几何意义求出阴影部分的面积，利用几何概型的概率公式即可得到结论【解答】解：由 x=0，y=0 ，x= 及 y=cosx 围成区域内围成的区域面积S= =sinx| ，由 x=0，y=sinx 及 y=cosx 围成的区域面积 S= =（sinx+cosx）| = ，根据根据几何概型的概率公式可得所求的概率 P= ，故选：B10若 A，B，C 是圆 x2+y2=1 上不同的三个点，O 是圆心，且 ，存在实数 ，使得 = ，实数 ， 的关系为（ ）A 2+2=1B C=1D+ =1【考
18、点】直线和圆的方程的应用；向量的共线定理；数量积判断两个平面向量的垂直关系【分析】由 A，B，C 是圆 x2+y2=1 上不同的三个点，可得 ，又，所以对 两边平方即可得到结论【解答】解： ，两边平方得：2+2=1第 11 页（共 25 页）故选 A11设数列a n的前 n 项和为 Sn，且 a1=a2=1，nS n+（n+2）a n为等差数列，则 an=（ ）A B C D【考点】数列递推式【分析】设 bn=nSn+（n+2 ） an，由已知得 b1=4，b 2=8，从而 bn=nSn+（n+2）a n=4n，进而得到 是以 为公比，1 为首项的等比数列，由此能求出 【解答】解：设 bn=n
19、Sn+（n+2）a n，数列 an的前 n 项和为 Sn，且 a1=a2=1，b1=4，b 2=8，bn=b1+（n1）（84）=4n，即 bn=nSn+（n+2 ）a n=4n当 n2 时， ，即 ， 是以 为公比，1 为首项的等比数列， ， 故选：A12定义区间x 1，x 2长度为 x2x1， （x 2x 1） ，已知函数 f（x）= （aR，a0）的定义域与值域都是m，n ，则区间m，n 取最大长度时 a 的值为（ ）A Ba1 或 a 3Ca1D3【考点】函数的值域；函数的定义域及其求法【分析】得出 ，故 m，n 是方程）= =x 的同号的相异实数根，即a2x2（a 2+a）x+1=0
20、 的同号的相异实数根得出 mn= ，只需=a 2（a+3） （a1）0，a1第 12 页（共 25 页）或 a3，利用函数求解 nm= = ，nm 取最大值为此时 a=3，【解答】解：设m，n 是已知函数定义域的子集x0，m ，n（，0）或m，n（0，+） ，故函数 f（x）= 在m，n上单调递增，则 ，故 m，n 是方程）= =x 的同号的相异实数根，即 a2x2（a 2+a）x+1=0 的同号的相异实数根mn=m，n 同号，只需 =a2（a+3） （a1）0，a1 或 a3，nm= = ，nm 取最大值为 此时 a=3，故选：D二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
21、13如图是判断“实验数” 的流程图，在30 ，80内的所有整数中， “实验数” 的个数是 12 【考点】程序框图第 13 页（共 25 页）【分析】从程序框图中得到实验数的定义，找出区间中被 3 整除的数；找出被 12 整除的数；找出不能被 6 整除的数得到答案【解答】解：由程序框图知实验数是满足：能被 3 整除不能被 6 整除或能被 12 整除的数，在30，80内的所有整数中，所有的能被 3 整除数有：30，33，36，39，42，45，48，51，54，57，60，63，66，69，72，75，78 共有 17 个数，在这 17 个数中能被 12 整除的有 36，48，60，72，共 4
22、个数，在这 17 个数中不能被 6 整除的有 33，39，45，51，57，63，69，75，共计 8 个数，所以在30，80 内的所有整数中“试验数”的个数是 12 个故答案为：1214已知向量 =（m，1） ， =（4n，2） ，m0，n0，若 ，则 + 的最小值 frac92 【考点】基本不等式；平面向量共线（平行）的坐标表示【分析】由 ，可得：n+2m=4再利用“乘 1 法” 与基本不等式的性质即可得出【解答】解： ，4 n2m=0，即 n+2m=4m0，n0， + = （n+2m ） = = ，当且仅当n=4m= 时取等号 + 的最小值是 故答案为： 15双曲线 C： 的左右焦点分别
23、为 F1、F 2，过 F1 的直线与双曲线左右两支分别交于 A、B 两点，若ABF 2 是等边三角形，则双曲线 C 的离心率为 sqrt7 【考点】双曲线的简单性质【分析】根据双曲线的定义算出AF 1F2 中，|AF 1|=2a，|AF 2|=4a，由ABF 2 是等边三角形得F 1AF2=120，利用余弦定理算出 c= a，结合双曲线离心率公式即可算出双曲线 C 的离心率【解答】解：根据双曲线的定义，可得|BF 1|BF2|=2a，ABF2 是等边三角形，即|BF 2|=|AB|BF1|BF2|=2a，即|BF 1|AB|=|AF1|=2a又 |AF2|AF1|=2a，第 14 页（共 25
24、 页）|AF2|=|AF1|+2a=4a，AF1F2 中，|AF 1|=2a，|AF 2|=4a，F 1AF2=120|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|22|AF1|AF2|cos120即 4c2=4a2+16a222a4a（ ）=28a 2，解之得 c= a，由此可得双曲线 C 的离心率 e= =故答案为：16在正项等比数列a n中， ，a 6+a7=3，则满足 a1+a2+ana 1a2an 的最大正整数n 的值为 12 【考点】等比数列的前 n 项和；一元二次不等式的解法；数列的函数特性；等差数列的前n 项和【分析】设正项等比数列a n首项为 a1，公比为 q，由题意可得关于这两个
25、量的方程组，解之可得数列的通项公式和 a1+a2+an 及 a1a2an 的表达式，化简可得关于 n 的不等式，解之可得 n 的范围，取上限的整数部分即可得答案【解答】解：设正项等比数列a n首项为 a1，公比为 q，由题意可得 ，解之可得：a 1= ，q=2，故其通项公式为 an= =2n6记 Tn=a1+a2+an= = ，Sn=a1a2an=25242n6=254+n6= 由题意可得 TnS n，即 ，化简得：2 n1 ，即 2n 1，第 15 页（共 25 页）因此只须 n ，即 n213n+100解得 n ，由于 n 为正整数，因此 n 最大为 的整数部分，也就是 12故答案为：12
26、三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17在ABC 中，A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，sin 2 +sinAsinB= （1）求角 C 的大小； （2）若 b=4，ABC 的面积为 6，求边 c 的值【考点】正弦定理；三角函数中的恒等变换应用【分析】 （1）利用降幂公式，两角和与差的余弦函数公式，三角形内角和定理，诱导公式化简已知等式，可求 cosC 的值，结合 C 的范围可求 C 的值（2）利用三角形面积公式可求 a 的值，结合余弦定理即可求得 c 的值【解答】解：（1）sin 2 +sinAsinB= ， ， ， ， ， ， ，（2）
27、， ， ，c2=a2+b22abcosC=10， 18如图是某市 2 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势图，空气质量指数（AQI）小于 100表示空气质量优良，空气质量指数大于 200 表示空气重度污染，某人随机选择 2 月 1 日至2 月 12 日中的某一天到达该市，并停留 3 天第 16 页（共 25 页）（1）求此人到达当日空气质量重度污染的概率；（2）设 是此人停留期间空气重度污染的天数，求 的分布列与数学期望【考点】离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率【分析】 （1）设 Ai 表示事件“此人于 2 月 i 日到达该市”依题意知 p（A i）= ，设 B 为事件“此人到达
28、当日空气质量重度污染”，则 B=A1A2A3A7A12，由此能求出此人到达当日空气质量重度污染的概率（2）由题意可知， 的所有可能取值为 0，1，2，3，分别求出 P（=0） ，P（ =1） ，P（=2） ，P（=3） ，由此能求出 的分布列和 的期望【解答】解：（1）设 Ai 表示事件“此人于 2 月 i 日到达该市” （i=1 ，2，12） 依题意知，p（A i）= ，且 AiAj=（i j） 设 B 为事件“此人到达当日空气质量重度污染”，则 B=A1A2A3A7A12，所以 P（B）=（A 1A2A3A7A12）=P（A 1）+P （ A2）+P （A 3）+P（A 7）+P （A 1
29、2）= 即此人到达当日空气质量重度污染的概率为 （2）由题意可知， 的所有可能取值为 0，1，2，3，P（=0）=P（A 4A8A9）=P（A 4）+P（A 8）+P（A 9）= ，P（=2）=P（A 2A11）=P（A 2）+P（A 11）= ，P（=3）=P（A 1A12）=P（A 1）+P（A 12）= ，P（=1）=1P（ =0）P（=2）P（=3）=1 = ， 的分布列为： 0 1 2 3P第 17 页（共 25 页）故 的期望 E= 19如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形， DAB=60，AB=2，AD=1，PD底面 ABCD（1）证明：PA BD；（2）若
30、 PD=AD，求二面角 APBC 的余弦值【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的性质；二面角的平面角及求法【分析】 （1）由余弦定理得 BD= ，由勾股定理，得 BDAD，由线线面垂直得BDPD，从而 BD平面 PAD，由此能证明 PABD（2）以 D 为原点，DA 为 x 轴，DB 为 y 轴，DP 为 z 轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面 APB 的法向量和平面 PBC 的法向量，由此能求出二面角 APBC 的余弦值【解答】 （1）证明：因为DAB=60，AB=2，AD=1，由余弦定理得 BD= = ，BD2+AD2=AB2，故 BDAD，PD底面 ABCD，BD 平面 A
31、BCD，BDPD，又 ADPD=D，BD平面 PAD，又 PA平面 PAD，PABD（2）解：以 D 为原点，DA 为 x 轴，DB 为 y 轴，DP 为 z 轴，建立空间直角坐标系，由已知得 A（1，0，0） ，P （0，0，1） ，B （0， ，0） ，C（ 1， ，0） ，=（1，0， 1） ， =（0， ，1） ， =（1， ， 1） ，设平面 APB 的法向量 =（x ，y，z ） ，则 ，取 y= ，得 =（3， ，3） ，设平面 PBC 的法向量 =（a ， b，c） ，第 18 页（共 25 页）则 ，取 b= ，得 =（0， ，3） ，设二面角 APBC 的平面角为 ，由图象
32、知 为钝角，cos=|cos |=| |=| |= 二面角 APBC 的余弦值为 20如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 O：x 2+y2=4，椭圆 C： ，A 为椭圆右顶点过原点 O 且异于坐标轴的直线与椭圆 C 交于 B，C 两点，直线 AB 与圆 O 的另一交点为 P，直线 PD 与圆 O 的另一交点为 Q，其中 设直线 AB，AC 的斜率分别为 k1，k 2（1）求 k1k2 的值；（2）记直线 PQ，BC 的斜率分别为 kPQ，k BC，是否存在常数 ，使得 kPQ=kBC？若存在，求 值；若不存在，说明理由；（3）求证：直线 AC 必过点 Q【考点】椭圆的简单性质【分析】
33、（1）设 B（x 0，y 0） ，则 C（x 0，y 0） ，代入椭圆方程，运用直线的斜率公式，化简即可得到所求值；第 19 页（共 25 页）（2）联立直线 AB 的方程和圆方程，求得 P 的坐标；联立直线 AB 的方程和椭圆方程，求得 B 的坐标，再求直线 PQ，和直线 BC 的斜率，即可得到结论；（3）讨论直线 PQ 的斜率不存在和存在，联立直线 PQ 的方程和椭圆方程，求得 Q 的坐标，可得 AQ 的斜率，即可得证【解答】解：（1）设 B（x 0，y 0） ，则 C（x 0，y 0） ， ，所以 ； （2）联立 得 ，解得 ，联立 得 ，解得 ，所以 ， ，所以 ，故存在常数 ，使得
34、（3）证明：当直线 PQ 与 x 轴垂直时， ，则 ，所以直线 AC 必过点 Q当直线 PQ 与 x 轴不垂直时，直线 PQ 方程为： ，第 20 页（共 25 页）联立 ，解得 ，所以 ，故直线 AC 必过点 Q21已知函数 f（x）=alnx+1（a0） （1）当 a=1 且 x1 时，证明：f（x）3 ；（2）若对x（1，e） ，f （x）x 恒成立，求实数 a 的取值范围；（3）当 a= 时，证明： f（i）2（n+1 ） 【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用【分析】 （1）当 a=1 且 x1 时，构造函数 m（x）=lnx+ 2，利用函数单调性和导数之间的关系即可证明：f（x）
35、 3 ；（2）根据函数最值和函数导数之间的关系将不等式恒成立问题进行转化，求实数 a 的取值范围；（3）根据函数的单调性的性质，利用放缩法即可证明不等式【解答】 （1）证明：要证 f（ x）3 ，即证 lnx+ 20，令 m（x）=lnx+ 2，则 m（x）= ，m（x）在（1 ，+ ）单调递增，m（x）m （1）=0，lnx+ 20，即 f（x）3 成立（2）解法一：由 f（x）x 且 x（1，e） ，可得 a ，第 21 页（共 25 页）令 h（x）= ，则 h（x）= ，由（1）知 lnx1+ 1+ = ，h（x）0 函数， h（x）在（ 1，e）单调递增，当 x（1，e）时，h（x）
36、h（e）=e1，即 ae1解法二：令 h（x）=alnx+1 x，则 h（x）= ，当 ae 时，h （ x）0，函数 h（x）在（1，e ）上是增函数，有 h（x）h（1）=0，当 1ae 时， 函数 h（x）在（1，a）上递增，在（a，e）上递减，对x（1，e） ，f （x）x 恒成立，只需 h（e）0，即 ae1当 a1 时，函数 h（x）在（1，e ）上递减，对x（1，e） ，f（x）x 恒成立，只需h（e）0，而 h（e）=a+1e 0，不合题意，综上得对x（1，e） ，f （x）x 恒成立，ae 1】【解法三：由 f（x）x 且 x（1，e）可得由于 表示两点 A（x，lnx） ，
37、B（1，0）的连线斜率，由图象可知 y= 在（1，e）单调递减，故当 x（1，e ）时， ，0 ，即 ae1第 22 页（共 25 页）（3）当 a= 时，f（x）= ，则 f（i ）= ln（n+1）!+n，要证 f（i）2（n+1 ） ，即证 lni2n+44 ，由（1）可知 ln（n+1 ）2 ，又 n+2=（n+1）+12 ， ，ln（n+1）2 ，ln2+ln3+ln（n+1 ） =2n+44 ，故 f（i）2（n+1 ） 得证选修 4-1：几何证明选讲22如图，O 的半径 OB 垂直于直径 AC，M 为 AO 上一点，BM 的延长线交O 于 N，过 N 点的切线交 CA 的延长线于
38、 P（）求证：PM 2=PAPC；（）若O 的半径为 2 ，OA= OM，求 MN 的长【考点】与圆有关的比例线段【分析】 （）做出辅助线连接 ON，根据切线得到直角，根据垂直得到直角，即ONB+BNP=90且 OBN+BMO=90，根据同角的余角相等，得到角的相等关系，得到结论（）本题是一个求线段长度的问题，在解题时，应用相交弦定理，即BMMN=CMMA，代入所给的条件，得到要求线段的长【解答】 （）证明：连接 ON，因为 PN 切O 于 N，ONP=90，ONB+BNP=90OB=ON，OBN=ONB因为 OBAC 于 O，第 23 页（共 25 页）OBN+BMO=90，故BNP=BMO
39、=PMN ，PM=PNPM2=PN2=PAPC（）OM=2，BO=2 ，BM=4BMMN=CMMA=（2 +2） （2 2） （2 2）=8，MN=2选修 4-4：坐标系与参数方程23在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 它与曲线C：（y2） 2x2=1 交于 A、B 两点（1）求|AB|的长；（2）在以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点 P 的极坐标为，求点 P 到线段 AB 中点 M 的距离【考点】直线的参数方程；点到直线的距离公式；柱坐标刻画点的位置【分析】 （）把直线的参数方程对应的坐标代入曲线方程并化简得 7t212t5=0，求出t1+t2 和 t1
40、t2，根据|AB|= |t1t2|=5 ，运算求得结果（）根据中点坐标的性质可得 AB 中点 M 对应的参数为 = 由 t 的几何意义可得点 P 到 M 的距离为|PM|= | |，运算求得结果【解答】解：（）把直线的参数方程对应的坐标代入曲线方程并化简得 7t212t5=0，设 A，B 对应的参数分别为 t1 和 t2，则 t1+t2= ，t 1t2 = 所以|AB|= |t1t2|=5 = （）易得点 P 在平面直角坐标系下的坐标为（2，2） ，第 24 页（共 25 页）根据中点坐标的性质可得 AB 中点 M 对应的参数为 = 所以由 t 的几何意义可得点 P 到 M 的距离为|PM|=
41、 | |= 选修 4-5：不等式选讲24设函数 f（x）=|x1|+|xa| （a R）（1）当 a=4 时，求不等式 f（ x）5 的解集；（2）若 f（x）4 对 xR 恒成立，求 a 的取值范围【考点】带绝对值的函数；绝对值不等式【分析】 （）不等式即|x 1|+|x4|5，等价于 ，或 ，或 ，分别求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求（）因为 f（x）=|x1|+|xa| |a1|，由题意可得|a 1|4，与偶此解得 a 的值【解答】解：（）当 a=4 时，不等式 f（x）5，即|x 1|+|x4|5，等价于， ，或 ，或 解得：x0 或 x5故不等式 f（x）5 的解集为 x|x0，或 x5 （）因为 f（x）=|x1|+|xa| |（x1） （xa）|=|a1| （当 x=1 时等号成立）所以：f（x） min=|a1|由题意得：|a 1|4，解得 a3，或 a5 第 25 页（共 25 页）2016 年 7 月 14 日
