1、第 2 章 矩 陣 87克拉瑪公式 2-5 三元一次方程組與克拉瑪公式（一）設三元一次方程組 L： ，a1x b1y c1z d1a2x b2y c2z d2a3x b3y c3z d3)令 ， x ， y ， z 。|a1b1c1a2b2c2a3b3c3| |d1b1c1d2b2c2d3b3c3| |a1d1c1a2d2c2a3d3c3| |a1b1d1a2b2d2a3b3d3|(1) 若 0 時，則三元一次方程組 L 恰有一組解 x ，y ，z 。x y z (2) 若 0，而 x、 y、 z 至少有一個不為 0，則原方程組 L 無解。(3) 若 x y z0 時，則原方程組 L 可能無解
2、或有無限多組解。配合課本 P. 160、P. 1611 試利用克拉瑪公式，解方程組 。x 2y z 22x 5y 3z 73x y z 1) 5 18 2 15 4 3 39， x 10 6 7 5 14 6 2，|1 2 12 5 33 1 1| |2 2 17 5 3 1 1 1|y 7 18 2 21 4 3 47， z 5 42 4 30 4 7 14，|1 2 12 7 33 1 1| |1 2 22 5 73 1 1|故 x ，y ，z x 239 239 y 4739 z 14391. 試利用克拉瑪公式，解方程組 。 。 x 2y z 22x 3y z 52x 3y 2z 2)
3、6 4 6 6 8 3 3， x 12 4 15 6 20 6 3，|1 2 12 3 12 3 2| |2 2 15 3 12 3 2|y 10 4 4 10 8 2 6， z 6 20 12 12 8 15 9，|12 125 122 2| |1 2 22 3 52 32|故 x 1，y 2，z 3x 3 3 y 6 3 z 9 32-588 高中選修數學() 講義2 設方程組 恰有一組解 (,)，試求方程組 之a1x b1y c1z d1a2x b2y c2z d2a3x b3y c3z d3) 2a1x b1y c1z 3d12a2x b2y c2z 3d22a3x b3y c3z 3
4、d3)解。方程組 之解為2a1x b1y c1z 3d12a2x b2y c2z 3d22a3x b3y c3z 3d3)x ，y 3，32z 3另解方程組 化為 ，2a1x b1y c1z 3d12a2x b2y c2z 3d22a3x b3y c3z 3d3)由已知條件得 x， y， z，即 x ，y3，z323 13 13 322. 設方程組 恰有一組解 (,)，求方程組 。 a1x b1y c1z d1a2x b2y c2z d2a3x b3y c3z d3)之解。a1x 2b1y 3c1z 4d1a2x 2b2y 3c2z 4d2a3x 2b3y 3c3z 4d3)方程組 化為 ，a
5、1x 2b1y 3c1z 4d1a2x 2b2y 3c2z 4d2a3x 2b3y 3c3z 4d3)由已知條件得x， y， z，即 x4，y2，z 14 12 34 43第 2 章 矩 陣 893 設 a 為實數，且方程組 。x (1 a) y z 1x y (1 a) z 1(1 a) x y z 1)(1) 若方程組有無限多組解，求 a 值。(2) 若方程組無解，求 a 值。 |1 1 a 11 1 1 a1 a 1 1 | ( 1 )( 1 )|1 1 a 10 a a a a 0| |1 a 10 a a a 2a 0|( 1 )a 33a 2a 2 ( a3 )，因 0，故 a0
6、或 3(1) 當 a0 時，原方程組為 ，有無限多組解x y z 1x y z 1x y z 1)(2) 當 a3 時，原方程組為 ，三式相加，得 03，不成立，故無解x 2y z 1x y 2z 1 2x y z 1)3. 設 a 為實數，a0，且方程組 。 。(1) 若方程組有無限多組解，求 a 值。(2) 若方程組無解，求 a 值。 1a ( 1 )1a ( a21 ) ( a21 ) 2 ( a1 ) 2 ( a1 ) 2，1a |a11a| 1a 1a因 0，故 a1 或 1(1) 當 a1 時，原方程組為 ，有無限多組解 x y z 1x y z 1 x y z 1)(2) 當 a
7、1 時，原方程組為 ，無解x y z 1x y z 1x y z 1)90 高中選修數學() 講義4 若方程組 有兩組以上的解，求 a、b 之值。x 2y 3z 4 2x 3y 4z a3x 4y bz 0)因方程組有兩組以上的解，故 0，即 0|1 2 3 2 3 43 4 b| 3b2424274b160 b50 b5，又 z0 0 6a32364a 0 2a40 a2，|1 2 4 2 3 a3 4 0|當 a2，b5 時，原方程組為 ，(2 ) 得 3x4y 5z0，與 式同，故有無限多組解，於是 a2， b5 4. 若方程組 有兩組以上的解，求 a、b 之值。 。2x y z 0x
8、ay 2z 2x 2y bz 2)因方程組有兩組以上的解，故 z0，即 0|2 1 01 a 21 2 2| 4a2280 4a120 a3，又 0，故 0 6b223b80 5b50 b1，|2 111 321 2 b|當 a3，b1 時，原方程組為 ， 得 2xy z0，與 式同，故有無限多組解，於是 a3， b1 （二）三元一次方程組 的解呈現在幾何意義上，就是表示空間中三平面a1x b1y c1z d1a2x b2y c2z d2a3x b3y c3z d3)E1：a1x b1yc 1zd 1，E2：a2xb 2yc 2zd 2，E3：a3xb 3yc 3zd 3的相交狀況，其關係如下
9、：。 。 。 。 。 。 (1) 。 (2) 。 (3) 。 (4) 。 。 (1) 。 (2) 。 (3) 。 配合課本 P. 161、P. 162第 2 章 矩 陣 915 設三平面 E1：xy z1，E 2：2x3yaz3， E3：xay3z2。(1) 若此三平面相異，且交於一直線，求 a 值。(2) 若此三平面相異，且兩兩的交線不共點，求 a 值。0 0 9a2a36a 20|11 123 a1a 3| a2a60，故 ( a 2 ) ( a3 )0，得 a2 或3(1) 當 a2 時，三平面對應的方程組為 ， 得 2x3y 2z3，與 式同，故有無限多組解， 但 E1、E2、E3三平
10、面兩兩既不平行，也不重合，故此三平面交於一直線，於是 a2(2) 當 a3 時，三平面對應的方程組為 2 得 yz1 2 得 9y9z 1 顯然 與 矛盾，故此方程組無解， 但 E1、E2、E3三平面兩兩既不平行，也不重合，故此三平面兩兩交於一直線，三交線不共點，於是 a3另解當 a3 時，三平面對應的方程組 ，因 0，x y z 12x 3y 3z 3x 3y 3z 2)但 y 9 3436650，故此方程組無解，|11 123 312 3|但 E1、E2、E3三平面兩兩既不平行、也不重合，故此三平面兩兩交於一直線且三交線不共點，於是 a35. 設三平面 E1：axyz1，E 2：xayz
11、1， E3：xy az 1 兩兩交於一直線，但三 。交線不共點，求 a 值。 ( a2 ) ( a2 ) |a111a111a| |a 211a 2a1a 21a| |1111a111a| ( 1 )( 1 ) |1 1 10a 1 00 0 a 1|( a2 ) ( a 1 ) 2，1 1 當 0，則 a1 或2，當 a1 時，則 E1：xyz1，E 2：xy z1，E 3：xyz1，此時三平面重合，不合題意；當 a2 時，則三平面對應的方程組為 ， 得 03 不成立，故無解， 但 E1、E2、E3三平面既不平行，也不重合，故此三平面兩兩交於一直線，三交線不共點，於是 a 292 高中選修數
12、學() 講義（三）常數項為 0 的一次方程組：三元一次方程組 至少有一組解 x0，y0， z0。a1x b1y c1z 0a2x b2y c2z 0a3x b3y c3z 0)(1) 該方程組恰有一組解 x0， y0， z0 的充要條件是 0。(2) 該方程組除 x0，y 0， z0 之解外，尚有其他解的充要條件是 0。配合課本 P. 164、P. 1656 若方程組 除 x0，y0，z0 之解外，尚有其他解，求實數 a 之值。x 2y 3z axx 3z ayx 2y z az)原方程組化為 ，(1 a) x 2y 3z 0x ay 3z 0x 2y (1 a) z 0 ) |1 a 2 3
13、1 a 31 21 a|a ( 1a 2 )663 a2 ( 1a ) 6 ( 1a )a 312a 16，當 0，則 a312a160，( a2 ) 2 ( a4 ) 0，故 a2 或 46. 設方程組 除了 x0，y0，z0 之解外，尚有其他解，求實數 a 之值。 。ax 3y z 0x ay 3z 03x 5y 2z 0)0 0 2a22753a615a0|a3 11a 335 2| a26a80，( a2 ) ( a4 )0，故 a2 或 41 0 12 16 2 2 4 1 8 0 2 2 1 4 0 第 2 章 矩 陣 937 設方程組 ，且 、 、 至少有一個不等於 0，a1x
14、b1y c1z 0a2x b2y c2z 0) |a1b1a2b2| |b1c1b2c2| |c1a1c2a2|試證：當 xyz0 時，x：y ：z ： ： 。|b1c1b2c2| |c1a1c2a2| |a1b1a2b2|可設 0 而不失一般性， ，|a1b1a2b2| a1x b1y c1za2x b2y c2z)由克拉瑪公式得x z，y z，所以 x：y：z z： z：z ： ：|b1c1b2c2| |c1a1c2a2| |a1b1a2b2|7. 設 ，其中 xyz0。 。 2x y z 0x y 3z 0)(1) 求 x：y：z。 (2) 求 之值。2x2 y2 2z22xy yz z
15、x(1) x：y：z ： ： 2：7：3| 1 11 3| | 1 2 31| |2 11 1|(2) 設 x2k，y7k，z3k， k0，則 2x2 y2 2z22xy yz zx 8k2 49k2 18k228k2 21k2 6k2 75k255k2 15118 求空間中兩平面 E1：2xy3z0、 E2：x3y2z0 的交線參數式。，x：y：z ： ： 7：( 1 ) ：(5 )，2x y 3z 0x 3y 2z 0) | 13 32| |3221| |2 11 3|故 E1與 E2的交線參數式為 ，t 為任意實數x 7ty tz 5t )8. 求空間中兩平面 E1：xyz0、E 2：3
16、x2y5z 0 的交線參數式。 。，x：y：z ： ： ( 3 ) ：(2 )：1，x y z 03x 2y 5z 0) | 11 25| |1153| |1 13 2|故 E1與 E2的交線參數式為 ，t 為任意實數x 3ty 2tz t )94 高中選修數學() 講義 。 1. 試利用克拉瑪公式，解方程組 。x 2y 3z 02x 3y 5z 03x 4y 6z 15)解： 18 30 24 27 24 205， x 15013515，|1 2 32 3 53 4 6| |0 2 30 3 515 4 6|y 907515， z 456015，|1 0 32 0 5315 6| |1 2
17、02 3 03 415|故 x 3，y 3，z 3x 155 y 155 z 1552. 設方程組 恰有一組解 (,)，試求方程組 之解。a1x b1y c1z d1a2x b2y c2z d2a3x b3y c3z d3) a1x b1y 2c1z d1a2x b2y 2c2z d2a3x b3y 2c3z d3)解：方程組 化為 ，a1x b1y 2c1z d1a2x b2y 2c2z d2a3x b3y 2c3z d3) a1x b1 ( y) c1 (2z) d1a2x b2 ( y) c2 (2z) d2a3x b3 ( y) c3 (2z) d3)由已知條件，得 x，y ， 2z，
18、則 x， y， z23. 試說明方程組 的解的幾何意義。2x 3y 4z 23x 5y 7z 3x 2y 3z 4 )解： 30 21 24 20 27 28 0， x 30 84 24 80 27 28 90，|234357123| |2 34 3574 23|因 0， x0，且方程組所代表的三平面兩兩不平行也不重合，故表示三平面兩兩交於一直線，但三交線不共點4. 設三平面 E1：5xy 2z1、 E2：5x7yz18 與 E3：3xy z a 交於一直線，求 a 值，並求此交線方程式。解： x 7a3614a18115a 60，| 1 1 2 18 71a 11|x0 15a 600，故
19、a4，此時三平面為 ， 2 得5 x15y35，即 x3y7， 得 2x6y14，即 x3y7， 令 yt，t 為實數，得三平面交線方程式為 ，t 為實數x 3t 7y tz 8t 17)第 2 章 矩 陣 955. 試就 a 值討論空間三平面 E1：xyaz1、E 2：xayz a、 E3：xy z 3 相交的情形。解：考慮方程組 ， a1aa 211( a1 ) ( a1 )x y az 1x ay z ax y z 3) |1 1 a1 a 11 11|當 a1，且 a1 時， 0，故三平面恰交於一點1當 a1 時，三平面為 ，2 x y z 1x y z 1x y z 3)故 E1與
20、E2重合，而 E3與 E1 (E 2 ) 交於一直線當 a1 時，三平面為 ，3 x y z 1x y z 1x y z 3)故 E2與 E3平行，而 E1與 E2、E3各交於一直線6. 設 a 是不為零的實數，若方程組 無解，求 a 值。 96.指考甲解： ， 3a6，3x 2y 1y 3z 7x az 2ay 3z 7) 3x 2y 1y 3z 7x az 2a) |3 2 00 1 31 0 a|令 0，得 a2，故原方程組為 ， 3 得2 y6z11，即 y3z ，此與 矛盾， 112 於是當 a2 時，原方程組無解7. 設 ，且 xyz0，試求 之值。2x 3y 4z 03x y 2
21、z 0) xy z解：x：y：z ： ： 2：16：11，| 3 41 2| | 4 2 23| |2 33 1|令 x2k，y16 k，z11k ，k0，則 xy z 2k16k 11k 2k5k 2596 高中選修數學() 講義8. 試就 k 之 值討論方程組 之解。 板橋高中kx y 2z 1x ky 2z 1x 2y kz 1)解： k3 7k 6 ( k 1 ) ( k 2 ) ( k 3 )， x k2 3k 2 ( k 1 ) ( k 2 )，|k121k212k| |1121k212k|y k 23k 2( k1 ) ( k2 )， z k 23k2( k 1 ) ( k2 )
22、|k1211211k| |k111k1121|(1) 當 k1 且 k2 且 k 3 時 ，方程組恰有一組解，其解為 ( x , y , z ) ( , , )1k 3 1k 3 1k 3(2) 當 k1 時，原方程組為 有無限多組解，x y 2z 1x y 2z 1x 2y z 1)其解為 ( x , y , z )( 13t , t , t ) ，t 為任意實數(3) 當 k2 時，原方程組為 有無限多組解2x y 2z 1x 2y 2z 1x 2y 2z 1)其解為 ( x , y , z )( 12t , 12t ,13t ) ，t 為任意實數(4) 當 k3 時，原方程組為 無解 3
23、x y 2z 1x 3y 2z 1x 2y 3z 1)9. 若存在實數 x、y、z 使得 k，求實數 k 之值。y zx z 7xy x yz解： k ，y zx z 7xy x yz kx y z 07x ky z 0x y kz 0)因 x、y、z0，故此方程組有異於 x0， y0， z0 的解，於是 0，即0 k317 k7kk0|k 1 17 k 11 1 k| k37k60 ( k1 ) ( k2 ) ( k3 )0，得 k1，2 或310. 若點 P ( 1 , 2 , 3 )為三相異平面E1：a1xb 1yc 1z0、 E2：a2xb 2yc 2z0、E 3：a3xb 3yc 3
24、z0 的共同點，且點 Q ( 2 , 3 , 1 )為另外三平面F1：a1xb 1yc 1zd 1、F2：a2xb 2yc 2zd 2、F3：a3xb 3yc 3zd 3 的共同點。試求 F1、F2、F3 三平面的交線方程式。解：E 1、E2、E3三平面相異，且都過點 P ( 1 , 2 , 3 ) 與 O ( 0 , 0 , 0 )，故其交線 L 的方程式為 ，t 為實數，x ty 2tz 3t)又 F1、F2、F3三平面與 E1、E2、E3三平面分別平行，另外 F1、F2、F3三平面也相異，且都過點 Q ( 2 , 3 , 1 )，故 F1、F2、F3交於一直線，此直線過點 Q ( 2 , 3 , 1 )，且與直線 L 平行，於是此交線方程式為 ，t 為實數x 2 ty 3 2tz 1 3t)1 0 7 6 1 1 1 1 6 0 2 2 1 3 0
