1、1数形结合思想在初中数学解题中的运用郭恒武摘要：数形结合是将数学问题的数量关系与几何意义沟通、转化、结合，从而寻找解决问题途径的一种思想方法，是初中解题中的重要方法之一。本文结合长春市 2010-2013 四年的中考题，针对用数形结合的思想方法解决的三类典型题进行了分析，探讨了数形结合思想在初中数学解题中的应用。关键字：数形结合思想 中考题 典型题 应用人类从原始的识别事物多寡的数觉和对形的直觉逐渐形成了两个专业学科：代数学与几何学。起初，代数学与几何学是两个完全独立的学科，直到 1637 年，笛卡儿发表了他的重要著作方法谈及其附录几何学 。书中引入了运动着的点的坐标的概念；在建立坐标系的前提
2、下，点与数对、曲线与方程之间建立了对应关系。由此数的问题可以用形直观化，形的问题可以用数精确化，从此诞生了解析几何学。同时也出现了一种新的数学思想方法“数形结合”。“数与形”是数学发展长河中的两大基石。“形”有数量关系，“数”有几何意义，简洁而抽象的数是形的本质，繁琐但直观的形是数的物化。数形结合是将数学问题的数量关系与几何意义沟通、转化,从而寻找解决问题途径的一种思想方法。 2在初中数学解题中，数形结合主要应用于以下三类问题：一、借助数轴解决相关问题；二、直角坐标系下解决函数问题；三、利用图形解决实际问题。本文结合长春市 2010-2013 四年的中考题，针对用数形结合的思想方法解决的三类典
3、型题进行了分析和并提出了自己的愚见，也希望大家能给与批评和指正。类型一：借助数轴解决相关问题1.解不等式(组)问题初中阶段，要求学生能解数字系数的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集；会用数轴确定由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集。这个知识点是中考主要题型，典型的数形结合问题之一，每年必考。而且也为高中阶段需要分类讨论的字母系数不等式（组）的解法进行了良好的铺垫。解一元一次不等式(组)时需要注意两点：第一点，未知数是负系数时，系数化 1 后，不等号变方向；第二点，不等式中是“、”即“空心”表示，还是“、”即“实心”表示。从 13 年第 4 题，12 年第 3 题，11 年第 5 题，1
4、0 年第 3 题这四年的考查看，不等式中涉及系数简单，难度无变化，属于简单题。例 1（11 年第 5 题）不等式组 的解集为（ ）24,0x（） （） （） （）2x2x22x分析：在解不等式组时，为了更清晰的呈现多个不等式的解的公共部分，我们将每个不等式的解借助数轴表示，以形助式，避免过重的思维负担。这类题型的解法是将每个不等式的解用数轴表示出来，如图1 所示，易得正确答案为 D，这也是高中阶段解不等式组的最主要、最不易出错的方法。2.找中位数、众数问题中位数是指将统计总体当中的各个变量值按大小顺序排列起来，形成一个数列，处于变量数列中间位置的变量值就称为中位数；众数是一组数据中出现次数最多
5、的数值。这是数学中很自然的两个概念，不难理解。中位数问题需要对数据从小到大排序，众数问题需要对每一数据的个数进行统计（对数据排序不影响对众数的查找）。综合这两种想法，为了在统计查找中不重复记数，不发生遗漏。本文结合这类问题的特点，为了增加对这类问题的直观性，减轻记数负担，希望借助于数轴达到解决问题的目的。从 12 年第 5 题，10 年第 4 题这两年的考查看，两年的数据都是从实际问题或热点话题中抽象出来的。10 年是 9 个有效数据，同时包含 9 个干扰数据，求众数；12 年是直接给出 5 个数据，求它们的中位数。从数据的多少和知识本身的这两个角度看，这类题难度几乎无变化，属于简单题。为了更
6、加直观说明本文提出的方法,以 10 年第 4 题为例。例 2（10 年第 4 题）今年 6 月 11 日，我省九个地区的最高气温与最低气温如图所示，则这九个地区该天的最高气温的众数为（ ）A27C B29CC30C D31C方法：在数轴下方从小到大表示问题中给出的（样本）数据，当数据每出现一次时，在数轴上方表示这个数据的地方标注“1”，最后将次数累加，和最大的下方所对应的数据便是众数，如图 2 所示，易得此题正确答案为 D。按照这样的排列，从左向右查次数，查到 5 的地方对应的数据便是中位数，即 31。这样清晰、简洁的数据呈现方式，利于我们对数据的众数、中位数的统计查找。注：为了避免混淆，数轴
7、的原点不再标记。类型二：直角坐标系下解决函数问题00 2-2图 15图 229 30 3127出现次数数据11 1111111113在整个初中学习过程中，主要学习常值函数，一次函数（特例：正比例函数），反比例函数，二次函数。函数问题是数形结合思想的典型问题，即是渗透数形结合思想的主要手段，对这部分知识学完后，应该有这样的感受，给定一个函数，我们就想尝试着画出该函数的图象。为了使画出的图象能准确的表示函数的简单性质，故掌握函数解析式中每个参数的作用成为基本要求，近而也是中考的基本考点。同时，在解题中，要培养学生这样的意识，给出一个函数的图像，能够判断出是什么函数；即使在题中（诸如 13 年第 1
8、4 题）不给出所有函数的图像，根据我们所学的关于上述函数的性质，应画出相应的图像，帮助我们解决问题。从 10 年第 12 题，11 年第 13 题，12 年第 14 题，13 年第 14 题这四年的考查看，都是作为填空题，但图形的复杂程度和要求解答的问题是逐年加大难度的，属于中档题。以下罗列出这四个题，并以 13 年第 14 题为例，做简单分析。1.（10 年第 12 题）如图 3，双曲线 y1 (k10 )与直线k1xy2k 2xb(k 20)的一个交点的横坐标为 2，那么当 x3时，y1_y2(填“”、“”或“”)2.（11 年第 13 题）如图 4，一次函数 的图象经过点 A当(k0)y
9、b时，x 的取值范围是_3y3.（12 年第 14 题）如图 5，在平面直角坐标系中，点 A 是抛物线 与 y 轴的交点，点 B 是这条抛物线上的另2(3)yaxk一点， 且 AB/x 轴，则以 AB 为边的等边三角形 ABC 的周长为 .例 3（13 年第 14 题）如图 6，在平面直角坐标系中，抛物线 与 y 轴交于点 A，过点 A 与 x 轴平行的直线交2yax抛物线 于点 B、C，则 BC 的长为_.13分析：一元二次函数 ，画图时关键有四看，一看开口2(0)yaxbc方向（a0 向上，或 a0 向下）；二看对称轴方程 ；三看顶点坐标2bax；四看特殊点（如与 y 轴交点 ） ，此题中
10、 虽然不知道24,()bac (0,)c23yx二次项系数 a,但不影响求解它与 y 轴交点坐标，于是得到点 A(0,3)，过点 AxyO 2图 3图 5图 4图 64与 x 轴平行的直线方程为 y=3，此处也是一个难点。明确 A、B、C 三点的纵坐标相等后，故 ，得到点 B(-3,3)，C(3,3)，最终得 BC 长为 6。123yx在函数的问题上，培养学生数形结合的意识特别重要，因为我们不排除一些学生在将来将去继续深造数学。在高等数学中，已经将函数的概念推广到映射的概念，很多时候，我们可以看到许多不可思议的映射。对于映射而言，所谓的定义域、值域已不再是区间，而是即使我们用笔也无法在纸上描绘
11、的四维、五维甚至无穷维的空间。而且建立在高维空间的理论更加抽象，完全超出了我们的想象。此时需要我们将高维问题的定义域、值域直接或间接转化成我们可以描绘的一维、二维或者三维空间，在空间中画出直观的图形，可以加深我们对抽象事物的理解。所以在大学学习期间，课堂上老师始终会强调直观的重要性。类型三：利用图形解决实际问题1.概率问题在国内的发展趋势来看，统计方法对于国家的经济发展、社会的进步以及人们的生活占有越来越重要的地位。正因为如此，随着新一轮的课改，概率与统计的基础知识在初、高中阶段的地位逐年升高。概率是初中增加的新内容，这部分知识对教师、学生都是一个考验，成为教学的难点。我们在计算简单事件的概率
12、时，为了让别人更易接受，采用画树状图的方法，直观形象的再现操作过程，让思路更清晰，数形结合，达到化难为易的目的。10-13 年这四年的试题中，第 16 题都是概率问题，问题难度没有发生改变，且解法类似，属于中档题，本文以 12 年的第 16 题进行分析。例 4（12 年第 16 题）有甲、乙两个不透明的口袋，甲袋中有 3 个球，分别标有数字 0，2，5；乙袋中有 3 个球，分别标有数字 0，1，4.这 6 个球除所标数字以外没有任何其他区别.从甲、乙两袋中各随机摸出 1 个球，用画树状图（或列表）的方法，求摸出的两个球上数字之是 6 的概率.所以 269P数 学 之 和 为2.三角问题这类数学
13、问题（12 年第 20 题、13 年第 19 题）主要是根据大家都非常熟悉的生活实物中抽象出来的，让大家感受生活中处处有数学，处处用数学，体会数学的重要作用。对三角问题，有特别强的限制条件，那就是一定要转化到直角三角形中，若图中无直角三角形，那肯定是分析题意，作出直角三角形后，再运用三角知识解答，这类问题大多时候是与实际联系的，所以对结果都有精甲袋乙袋和0 1 40 1 40 520 1 42 3 60 1 45 6 95确度的要求，两种提法：一是结果精确到小数点后多少位；另一是结果保留几位有效数字，这是学生容易忽视的地方，即是造成许多会这个知识点的学生也不能得满分的地方。整体看，这类问题属于
14、中高档题，本文仅对 12 年的第 20题进行了简单分析。（13 年第 19 题）如图 7，岸边的点 A 处距水面的高度 AB为 2.17 米，桥墩顶部点 C 距水面的高度 CD 为 23.17 米.从点 A 处测得桥墩顶部点 C 的仰角为 26，求岸边的点 A与桥墩顶部点 C 之间的距离.（结果精确到 0.1 米） （参考数据：sin26=0.44，cos26=0.90，tan26=0.49）例 5（12 年第 20 题）如图 8，有一个晾衣架放置在水平地面上，在其示意图中，支架 OA、OB 的长均为 108cm，支架 OA 与水平晾衣杆 OC 的夹角AOC 为 59，求支架两个着地点之间的距
15、离 AB.（结果精确到 0.1cm）(参考数据：sin59=0.86，cos59=0.52，tan59=1.66)分析：此题容易分析出三角形 ABO 是等腰三角形，所以想到过点 O 作底边AB 的高线，即是中线，在直角三角形 ADO 中，先解出 AD，进而得出 AB=2AD。具体解法如下：,59,108;cos;2cos108cs591.312.3ODABRtCAABDODmBcm解 :过 作 于 点在 中 ,又答 :支 架 两 个 着 地 点 之 间 的 距 离 约 为总之,数无形不直观，形无数难入微。数形结合的思想贯穿着整个初中阶段的教学，并有着举足轻重的作用，是为高中阶段及大学阶段的数学
16、学习做的铺垫。因此数学教师在教学过程中要做好数与形关系的揭示、转化、结合，帮助学生解决问题。从而深化学生的思维，扩展他们知识的宽度和广度，提高解题能力。参考文献：1初中数学新课程标准(2011 版).2 李花花.高中数学教学中运用数形结合提高解题能力的研究D:硕士学位论文.天津：天津师范大学，2008.图 8图 763 周成辉.数形结合在初中数学教学中的重要性N. 雅安职业技术学院学报, 第 25 卷第 1 期, 2011 年 3 月.4豆丁网. 2013 年长春市初中毕业生学业考试数学EB/OL. http:/ 百度文库. 2012 年长春市初中毕业生学业考试数学EB/OL. http:/ 百度文库. 2011 年长春市初中毕业生学业考试数学EB/OL. http:/ 百度文库. 2010 年长春市初中毕业生学业考试数学EB/OL. http:/ 魏宗舒. 概率论与数理统计教程M. 北京：高等教育出版社，2010.09.
