1、第四讲 零点问题和函数的综合【主要知识点】一、零点的概念把使 f（x）=0 的实数 x叫做函数 f（x）的零点.（零点是一个数，不是一个点！）二、方程的根与函数的零点1、方程 f（x）=0 有实数根 函数 y=f（x）的图像与 x轴有交点 函数 y=f（x）有零点.2、如果 y=f（x）在区间a，b上的图像是连续的，并且有 f（a）f（b）0（异号） ，那么，函数 y=f（x）在区间（a，b）上至少有一个零点.三、零点的求法1、代数法：求方程 f（x）-0 的实数根2、几何法：即画出图像，利用函数的性质找出零点题型一：已知函数零点所在区间问题通法：代数法：直接按大小顺序代入，以 0为分界线例
2、1、函数 f（x）= - 的零点所在的大致区间是（ ）ln2A.（1，2） B.（2，3） C.（1， ）和（3，4） D.（e，+）1解析：f（1）= - 0；f（2）= - 0；f（3）= - 0ln121 ln2 22 ln3 23函数 f（x）的零点所在区间为（2,3） ，选 B.题型二：函数中有未知数的零点所在区间问题通法 1：几何法：画出图像，根分布在两区间时只需考虑端点值（即区间最值）符号，即对应图像与 x轴位置关系例 2、 （1）若关于 x的方程 3x-5x+a=0的一个根在（-2，0）内，另一个根在（1,3）内，求 a的取值范围.解析：画出大致图像，可得 f（-2）0；f（0
3、）0；f（1）0；f（3）0.33-53+a0；a0；31-51+a0；3（-2）-5（-2）+a0综上，a 的取值范围是（-12，0）.通法 2：二次项系数或零点个数未知时必须分类讨论，考虑因素为和对称轴例 2、 （2）已知 a是实数，函数 f（x）=2ax+2x-3-a，求满足下列条件的实数a的取值范围.（1）方程 f（x）=0 有一正根一负根；（2）函数 y=f（x）在 -1，1上有零点.解析：（1）已知 a=0时，f（x）=2x-3，为一次函数，不可能有两个实根.a0 时，f（0）0，即-3-a0，a-3a0 时，f（0）0，a-3综上，a 的取值范围是（-，-3）（0，+）.（2）已
4、知 a=0时，f（x）=2x-3 的零点 x= 不在-1,1上.32函数在-1,1上只有一个零点，此时：，或 =4-8a（ -3-a） 0f（ -1） f（ 1） =（ a-5）（ a-1） 0 =4-8a（ -3-a） =0-1 12 1 解得 1a5 或 a= .372函数在-1,1上有两个零点，此时：或a 0 =4-8a（ -3-a） 0-1 12 1 f（ 1） 0f（ -1） 0 a 0 =4-8a（ -3-a） 0-1 12 1f（ 1） 0f（ -1） 0 解得 a5 或 a .372综上，实数 a的取值范围是（-， ）1，+）.372题型三：特殊函数的零点问题通法：几何法：移项使等号两边均为已学函数模型，画出图像，把零点转化为两函数图像交点（注意分类讨论！）例 3、若函数 f（x）= -x-a（a0 且 a1）有两个零点，则实数 a的取值范围是_.解析：令 f（x）= -x-a=0，则 =.设 g（x）= ，h（x）=x+a，画图得： 0a1 时，g（x）和 h（x）不可能有两个交点； a1 时，已知 g（x）与 y轴的交点为（0，1） ，h（x）与 y轴的交点为 a.由图可得 a1 时无交点；a=1 时有一个交点；a1 时有两个交点.综上 a的取值范围是（1，+）.
