1、圆知识点一、圆的定义及有关概念来源:学弧、等弧、优弧、劣弧、半圆 ;弦心距 ;等圆、同圆、同心圆。圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。连接圆上任意两点间的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是最长的弦。在同圆或等圆中，能够重合的两条弧叫做等弧。例 P 为O 内一点，OP=3cm，O 半径为 5cm，则经过 P 点的最短弦长为_； 最长弦长为_解题思路：圆内最长的弦是直径，最短的弦是和 OP 垂直的弦，答案：10 cm，8 cm.知识点二、平面内点和圆的位置关系平面内点和圆的位置关系有三种：点在圆外、点在圆上、点在圆内当点在圆外时，dr；反过来，当 dr 时，点在圆外。当点在圆上时，dr；反
2、过来，当 dr 时，点在圆上。当点在圆内时，dr；反过来，当 dr 时，点在圆内。例 如图，在 RtABC 中，直角边 3AB， 4C，点 E， F分别是BC， A的中点，以点 为圆心， 的长为半径画圆，则点 在 圆 A 的_，点 F在圆 A 的_ 解题思路：利用点与圆的位置关系，答案：外部，内部练习：在直角坐标平面内，圆 O的半径为 5，圆心 O的坐标为 (14)， 试判断点 (31)P， 与圆 的位置关系答案：点 在圆 O 上知识点三、圆的基本性质1 圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。2、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。垂径定理的推论：平分弦（不是直径
3、）的直径垂直于弦，并且平分弦对的弧。3、圆具有旋转对称性，特别的圆是中心对称图形，对称中心是圆心。圆心角定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。4、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。来源:学科网 ZXXK圆周角定理推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。圆周角定理推论：直径所对的圆周角是直角；的圆周角所对的弦是直径。例 1 如图，在半径为 5cm 的O 中，圆心 O 到弦 AB 的距离为 3cm，则弦AB 的长是（ ）A4cm B6cm C8cm D10cm解题思路：在一个圆中，若知圆的半径为 R
4、，弦长为 a，圆心到此弦的距离为 d， 根据垂径定理，有 R2=d2+（ 2a）2，所以三个量知道两个，就可求出第三个答案 C例 2、如图，A、B、C、D 是O 上的三点， BAC=30，则 BOC 的大小是( )A、60 B、45 C、30 D、15解题思路：运用圆周角与圆心角的关系定理，答案：A例 3、如图 1 和图 2，MN 是 O 的直径，弦 AB、CD 相交于 MN上的一点 P， APM=CPM（1）由以上条件，你认为 AB 和 CD 大小关系是什么，请说明理由（2）若交点 P 在 O 的外部，上述结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由BA CEDPONMFBACEDP
5、NMF(1) (2)解题思路：（1）要说明 AB=CD，只要证明 AB、CD 所对的圆心角相等， 只要说明它们的一半相等上述结论仍然成立，它的证明思路与上面的题目是一模一样的解：（1）AB=CD理由：过 O 作 OE、OF 分别垂直于 AB、CD，垂足分别为 E、FAPM=CPM 1=2 OE=OF连结 OD、OB 且 OB=OD RtOFDRtOEB DF=BEOBACDBAC根据 垂径定理可得：AB=CD（2）作 OEAB，OF CD，垂足为 E、FAPM=CPN 且 OP=OP，PEO= PFO=90RtOPERtOPF OE=OF连接 OA、OB、OC、OD易证 RtOBERtODF，
6、RtOAERtOCF1+2=3+4 AB=CD例 4如图，AB 是 O 的直径，BD 是O 的弦，延长 BD 到 C，使 AC=AB，BD 与 CD 的大小有什么关系？为什么？解题思路：BD=CD，因为 AB=AC，所以这个 ABC 是等腰，要证明 D 是 BC 的中点， 只要连结 AD 证明 AD 是高或是 BAC 的平分线即可解：BD=CD理由是：如图 2430，连接 ADAB 是O 的直径 ADB=90即 ADBC又AC=AB BD=CD知识点四、圆与三角形的关系1、不在同一条直线上的三个点确定一个圆。2、三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆。3、三角形的外心：三角形三边垂直平分线的交
7、点，即三角形外接圆的圆心。4、三角形的内切圆：与三角形的三边都相切的圆。5、三角形的内心：三角形三条角平分线的交点，即三角形内切圆的圆心。例 1 如图，通过防治“非典” ，人们增强了卫生意识，大街随地乱扔生活垃圾的人少了，人们自觉地将生活垃圾倒入垃圾桶中，如图 2449 所示，A 、B、C 为市内的三个住宅小区，环保公司要建一垃圾回收站，为方便起见， 要使得回收站建在三个小区都相等的某处，请问如果你是工程师，你将如何选址BA C解题思路： 连结 AB、BC，作线段 AB、BC 的中垂线，两条中垂线的交点即为垃圾回收站所在的位置例 2 如图，点 O 是ABC 的内切圆的圆心，若 BAC=80，则
8、BOC= （ ）A130 B100 C50 D65解题思路：此题解题的关键是弄清三角形内切圆的圆心是三角 形内角平分线的交点，答案 A例 3 如图，RtABC ， C=90，AC=3cm，BC=4cm，则它的外心与顶点 C 的距离为（ ） A5 cm B2.5cm C3cm D4cm解题思路：直角三角形外心的位置是斜边的中点，答案 B 知识点五、直线和圆的位置关系：相交、相切、相离当直线和圆相交时，dr；反过来，当 dr 时，直线和圆相交。 来源:Zxxk.Com当直线和圆相切时，dr；反过来，当 dr 时，直线和圆相切。当直线和圆相离时，dr；反过来，当 dr 时，直线和圆相离。切线的性质定
9、理：圆的切线垂直于过切点的直径切线的判定定理：经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线。切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点到切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和圆外这点的连线平分两条切线的夹角。例 1、 在 中，BC=6cm， B=30，C=45 ，以 A 为圆心，当半径 r 多长时所作的A 与直线 BC 相切？相交？相离？解题思路：作 ADBC 于 DBACDO在 中，B=30 在 中，C=45 CD=AD BC=6cm 当 时，A 与 BC 相切；当 时， A 与 BC 相交；当时， A 与 BC 相离。例
10、2如图，AB 为 O 的直径，C 是O 上一点，D 在 AB 的延长线上，且DCB= A（1）CD 与 O 相切吗？如果相切，请你加以证明，如果不相切，请说明理由（2）若 CD 与 O 相切，且 D=30，BD=10 ，求 O 的半径解题思路：（1）要说明 CD 是否是O 的切线，只要说明 OC 是否垂直于 CD，垂足为 C， 因为 C 点已在圆上由已知易得：A=30，又由DCB= A=30得：BC=BD=10解：（1）CD 与 O 相切理由：C 点在O 上（已知）AB 是直径ACB=90，即ACO+OCB=90A=OCA 且DCB= AOCA=DCB OCD=90综上：CD 是 O 的切线（
11、2）在 RtOCD 中，D=30COD=60 A=30 BCD=30BC=BD=10AB=20，r=10答：（1）CD 是 O 的切线， （2）O 的半径是 10知识点六、圆与圆的位置关系重点：两个圆的五种位置关系中的等价条件及它们的运用难点：探索两个圆之间的五种关系的等价条件及应用它们解题外离：两圆没有公共点，一个圆上所有的点都在另一个圆的外部相离：内含：两圆没有公共点，一个圆上所有的点都在另一个圆的内部相切：外切：两圆只有一个公共点，除公共点外一个圆上所有的点都在另一个圆的外部内切：两圆只有一个公共点，除公共点 外一个圆上所有的点都在另一个圆的内部相交：两圆只有两个公共点。设两圆的半径分别
12、为 r1、r 2，圆心距（两圆圆心的距离）为 d，则有两圆的位置关系，d 与 r1和r2之间的关系外离 dr1+r2外切 d=r1+r2相交 r1r 21+3，外离（2）设 B（x，0）x2，则 AB= 29x，B 半径为x+2，设B 与 A 外切，则 2=x+2+1，当 x2 时， 29=x+3，平方化简得：x=0 符题意， B（0，0） ，当 x2（舍） ，设B 与 A 内切，则 2=x+21，当 x2 时， 29=x+1，得 x=42，B（4，0） ，当 xEB，即大树必位于欲修建的水池边上，应重新设计方案当 x=2.4 时，DE=5 AD=3.2，由圆的对称性知满足条件的另一设计方案，
13、如图所示:.cFD ECBAG此时，AC=6 ，BC=8 ，AD=1.8，BE=3.2，这样设计既满足条件，又避开大树知识点八、弧长和扇形、圆锥侧面积面积重点：n的圆心角所对的弧长 L= 180nR，扇形面积 S 扇=2360nR、圆锥侧面积面积及其它们的应用难点：公式的应用1n 的圆心角所对的弧长 L= 180nR2圆心角为 n的扇形面积是 S 扇形=2363.全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的，所以全面积= rL+r2例 1操作与证明：如图所示，O 是边长为 a 的正方形 ABCD 的中心，将一块半径足够长，圆心角为直角的扇形纸板的圆心放在 O 处，并将纸板绕 O 点旋转，求证：正方形
14、ABCD 的边被纸板覆盖部分的总长度为定值 a解题思路：如图所示，不妨设扇形纸板的两边与正方形的边 AB、AD 分别交于点 M、N，连结OA、OD 四边形 ABCD 是正方形OA=OD， AOD=90，MAO=NDO，又MON=90 ，AOM=DON AMODNOAM=DN AM+AN=DN+AN=AD=a特别地，当点 M 与点 A（点 B）重合时，点 N 必与点 D（点 A）重合，此时 AM+AN 仍为定值a故总有正方形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值 a例 2已知扇形的圆心角为 120，面积为 300cm2（1）求扇形的弧长；（2）若将此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的轴截面面积为多少？解题
15、思路：（1）由 S 扇形 =2360nR求出 R，再代入 L= 180nR求得 （2）若将此扇形卷成一个圆锥， 扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长，就可求圆的半径，其截面是一个以底是直径， 圆锥母线为腰的等腰三角形来源:学。科。网 Z。X。X。K解：（1）如图所示：300=2036RR=30弧长 L= 18=20（cm）（2）如图所示：20=20 r r=10，R=30 AD= 901=20 2S 轴截面 = 12BCAD= 21020 =200 2（cm 2）因此，扇形的弧长是 20cm 卷成圆锥的轴截面是 200 2cm21、理解圆的基本概念与性质。2、求线段与角和弧的度数。3、圆与相似三角形
16、、全等三角形、三角函数的综合题。4、直线和圆的位置关系。5、圆的切线的性质 和判定 。6、三角形内切圆以及三角形内心的概念。7、圆和圆的五种位置关系。8、两圆的位置关系与两个圆半径的和或差与圆心距之间的关系式。两圆相切、相交的性质。9、掌握弧长、扇形面积计算公式。10、理解圆柱、圆锥的侧面展开图。11、掌握圆柱、圆锥的侧面积和全面积计算。考查目标一、主要是指圆的基础知识，包括圆的对称性，圆心角与弧、弦之间的相等关系，圆周角与圆心角之间的关系，直径所对的圆周角是直角，以及垂径定理等内容。这部分内容是圆的基础知识，学生要学会利用相关知识进行简单的几何推理和几何计算例 1、如图，AB 是O 的直径，
17、BC 是弦，ODBC 于 E，交BC于 D(1)请写出五个不同类型的正确结论；(2)若 BC=8，ED2，求O 的半径解题思路：运用圆的垂径定理等内容解：(1)不同类型的正确结论有：BE=CE ;弧 BD=弧 CD BED=90BOD=A;ACOD，ACBC;OE2+BE2=OB2;SABCBC OE;BOD 是等腰三角形，BOEBAC;(2)ODBC， BECE= 1BC=4设 O 的半径为 R，则 OE=ODDE=R 2 在 RtOEB 中，由勾股定理得OE2BE 2=OB2，即(R2) 24 2=R2解得 R5 O 的半径为 5例 2.已知：如图等边 ABC 内接于O，点 P是劣弧 PC
18、 上的一点（端点除外） ，延长 BP至 D，使 BDAP，连结 （1）若 过圆心 ，如图 ，请你判断 DC 是什么三角形？并说明理由（2）若 不过圆心 ，如图 ， 又是什么三角形？为什么？解题思路：（1） DC 为等边三角形 理由： AB 为等边三角形ACB ，又 在O 中 PDBC又 来源:Zxxk.Com又 A 过圆心 ， A， 60132BPCB 30BAPC ， 30PBAC0DP D 为等边三角形 （2） 仍为等边三角形理由：先证 AD （过程同上） 60BPC 又 BACP ， ABC60D又 P 为等边三角形例 3. (1)如图 OA、OB 是O 的两条半径，且 OAOB，点 C
19、 是 OB 延长线上任意一点：过点 C作 CD 切 O 于点 D，连结 AD 交 DC 于点 E求证：CD=C E (2)若将图中的半径 OB 所在直线向上平行移动交 OA 于 F，交O 于 B，其他条件不变，那么上述结论 CD=CE 还成立吗?为什么?解题思路：本题主要考查圆的有关知识，考查图形运动变化中的探究能力及推理能力解答：(1)证明：连结 OD 则 ODCD， CDE+ODA=90在 RtAOE 中，AEO+ A=90在 O 中，OA=OD A=ODA， CDE=AEO 来源:Z|xx|k.Com又AEO=CED， CDE=CED CD=CE(2)CE=CD 仍然成立 原来的半径 OB 所在直线向上平行移动 CFAO 于 F，在 RtAFE 中， A+AEF=90连结 OD，有ODA+ CDE=90，且 OA=OD A= ODAAEF=CDE 又AEF=CED CED=CDECD=CEAOCDPB图AOCDPB图
