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类型高数下第九章例题及答案.doc

  • 上传人:天天快乐
  • 文档编号:1093073
  • 上传时间:2018-06-11
  • 格式:DOC
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    高数下第九章例题及答案.doc
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    1、1高数下第九章例题及答案复习三 重积分 1了解二重的几何意义? 会交换二次积分的次序? 例 1设 D 为闭圆域 x2?y2?R2? 则?R2?x2?y2d? ? D 解? 此积分表示以半径为 R 的半球体的体积? 即 例 2改变二次积分?dx?01x0212?43?R?3233?R? f(x,y)dy 的积分次序得( )? 1y1x2 (A)?0dy?0f(x,y)dx? (B)?0dy? (C)?0dy?01yx211f(x,y)dx? f(x,y)dx? (D)?dy?01f(x,y)dx? 解? 积分区域为 D?(x? y)|0?x?1? 0?y?x2? 积分区域又可表示为 D?(x,

    2、y)|0?y?1, y?x?1? 所以 ?01dx?x20f(x,y)dy?dy?011yf(x,y)dx? 2会利用直角坐标和极坐标计算二重积分? 会利用直角坐标、柱面坐标和球面坐标计算三重积分? 例 1计算?x2e?yd? 其中 D 由 x?0? y?1? y?x 围2成? 2D 解? 因为 D?(x? y)|0?x?1? x?y?1? 所以 ?Dx2e?yd?x2dx?e?ydy0x2112? 计算无法进行? 因为 D?(x? y)|0?y?1? 0?x?y? 所以 ?xD2?y2ed?e021?y2dy?y0113?y2112?y22xdx?yedy?yedy 30602222111?

    3、y11?y1122?edy?e|?(1?)? ?1?y2de?y?1y2e?y|100?606606e66e 例 2计算I?Dsinydxdyy? 其中 D 由曲线 y?x、直线 y?x 围成? 解? 积分区域可表示为 D?(x? y)|0?y?1? y2?x?y? 于是 I?D1ysiny1sinydxdy?dy?2dx?(1?y)sinydy0y0yy1x?x20?1?sin1. 例 3将?dx?0f(x,y)dy 化成极坐标形式的二次积分 ? 解? 积分区域为 D?(x, y)|0?x?1, 0?y?x?x2? 在极坐标下 D?(r,?)|0?, 0?r?cos? 所以 2 ?0dx?0

    4、1x?x2?f(x,y)dy?d?202co?s0f(rco?s,rsin?)rdr? 例 4计算二重积分?e?xD?y2dxdy?其中 D 为x2?y2?1 所围成的闭区域? 31?r2 解? ?eD?x2?y2dxdy?2?0d?e01?r2rdr?2?e0rdr?e?rdr2012 ? ?e?r|10?2e 例 5计算三重积分?dxdydz(1?x?y?z)3? 其中?为平面 x?0? y?0? z?0? x?y?z?1 所围成的四面体 ? 解? 积分区域可表示为 ?(x? y? z)| 0?z?1?x?y? 0?y?1?x? 0?x?1? 于是 ?(1?x?dxdydzy?z)3?1?

    5、10dx?1?x0dy?1?x?y1(1?x?y?z)30dz ? ?101dx?1?x02(1?x?y)?38?182?18dy 12(ln2?58)?12(1?x)0xdx? 例 6计算三重积分?(x2?y2)dv 其中?为 x2?y2?2z 及 z?2 所围成的闭区域? ? 解? 在柱面坐标下积分区域可表示为 ? 0?2? 0?r?2? 1r2?z?2? 2 于是 ?(x2?y2)dv?2?0d?dr?1022r2r2?rdz?2?r3(2?2021216?r)dr?23? 例 7计算三重积分?(x2?y2?z2)dv? 其中?是由球4面 x2?y2?z2?1 所围?成的闭区域? 解?

    6、在球面坐标下积分区域?可表示为 0?2? 0? 0?r?1? ?d? 于是 ?(x2?y2?z2)dv?r4?sin?drd? ?2?0d?sin?d?rdr?00?1445? 3会计算立体的体积? 会计算曲面的面积? 会计算质心或形心? 例 1求由抛物柱面 z?2?x2 及椭圆抛物面 z?x2?2y2所围成的立体的体积? 解? V?(2?x2)?(x2?2y2)dxdy?0d?0(2?2r2)rdr?2?r2?1r410? 22?1D 例2求锥面 z?x2?y2 被柱面 z2?2x 所割下的部分的曲面面积 ? 解? 曲面 z?x2?y2 与 z2?2x 的交线在 xOy 面上的投影为 ?x2

    7、?y2?2x?z?0? 所求曲面在 xOy 在上的投影区域为 D?(x? y)|x2?y2?2x? A?1?z?x2?z?y2dxdy?2?dxdy?2? DD 例 3求由曲线 ay?x2? x?y?2a(a?0)所围成闭区域的形心? 解? 闭区域可表示为 D?(x,y)|?2a?x?a, 1x2?y?2a?x? a 因为 所以 5?xdxdy?xdxD?2aaa?1xaax22a?x2dy?a?2ax(2a?x?12273x)dx?a? a12 ?DDydxdy?dx?1?2aa2a?xydy?a1a1436322(4a?4ax?x?x)dx?a? 2?2a5a2(2a?x?129x)dx?

    8、a2? a2?dxdy?dx?1?2a2a?xx2ady?2a x? ?xdxdy?27a3D?dxdyD?1292a21?a? 2363a85Dy?aa22?dxdy92D?ydxdy? 练习三 1? 设区域 D 为 x2?y2?a2? 且?a2?x2?y2dxdy? a?_? D 2? 设 D 由 y2?x 及 y?x?2 所围成? 则 I?xyd?( )?D (A)I?dx?04y2y?2xxydy? (B)I?dy?12y?2y2xydx? 2y?2y2 (C)I?dx?01?xxydy?dx?14xx?2xydy? (D)I?dx?12xydy? 3? 交换下列二次积分的顺序? 并画

    9、出积分区域草图? 6(1)?dx?0aa2?x2a?xf(x,y)dy? (2)?dx?1Delnx0f(x,y)dy? (3)?dx?x2?642?x?1f(x,y)dy. 4? 设 D? |x|?1? 0?y?1? 则?(x3?y)yd?_? 5? 曲面 x2?y2?z2?R2(z0)和 z?R 所围成的立体的体积可表为二重积分2_? 6? 计算二次积分 I?dx?011xy1?y10x23dy? x02222?x20 7? 利用极坐标计算积分I?dx?Dx?ydy?1dx?x2?y2dy? 8? 计算二重积分?(x?y)dxdy? 其中 D? x2?y2?2x ? 9? 计算二重积分?c

    10、os(x?y)d? D 是以点(0? 0),(0? ?)? (?, ?) 为顶点的三D 角形区域. 10? 计算二重积分?xy2dxdy? 其中 D 为直线 y?x 和抛物线 y?x2 所围成的D 平面区域. 11? 计算二重积分2222?Dx?yd?22? 其中 D 是圆环形闭区域(x? y)| 7a?x?y?b? 12? 计算二重积分?f?(x2?y2)dxdy? 其中 D 为圆域? x2?y2?R2 ? D 13? 求 I?(x?y?z)dv? ?22?y2?2z 其中? 是由曲线?x?0 绕 z 轴旋转一周的曲面与平面 z?4 所围立体 ? 14? 计算?(x?z)dV? 其中 ?是由曲面 z?x2?y2 与z?1?x2?y2 围成? ? 15? 求旋转椭球面2x224?2y242?z292?1 所围成的旋转体的体积. 16? 求半圆域 x?y?a? x?0 的形心? 17? 求圆锥面 z?2?x?y 含于圆柱面 x2?y2?2x 内部的曲面面积? 百度搜索“就爱阅读”,专业资料、生活学习,尽在就爱阅读网 ,您的在线图书馆!

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