1、1【案例】高二选修 2-2 第一章蔡娟2012例谈高考数学常考、易错、失分点-导数篇例 1、函数 的导数为 。1cosxye【易错点诊断】复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数，即 。xuxy解析： 1cos1cos1cos1cos1cosxx xyeee.1cosinxe si【迷津指点】掌握复合函数的求导方法关键在于分清函数的复合关系，适当选定中间变量，分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中要特别注意的是中间变量的系数。适用性练习（1）设 是函数 的一个极值点。3x23()()xfxabeR（1）求 与 的关系式（用 表示 ）答案： .a
2、b 23a（2）y=ln（x ）21x答案: y= （x ）= （1 ）= .221x2x2x21x【易错点 23】关导数的几何意义(还有一个易错题)例 2、曲线 在点 处的切线方程为 。3:yS(0,6)A【易错点诊断】此题易由 ，从而得到以 A 点为切点的/2/3,(0)3fxf切线的斜率为 3，即所求切线方程为 的错误结果，事实上要注意1y到点 A 不在曲线 S 上。解析：设过点 A 的切线与曲线 S 切于点 处，由于300,Mx由导数的几何意义可知切线的斜率 ，又/2(),fx 203kfx由两点连线的斜率公式知 ，联立得 ，从而切线3016xk的斜率 =-9，故切线方程为 。2003
3、kfx 916xy【迷津指点】在确定曲线在某点处切线的方程时，一定要首先确定此点是否在曲线上，若此点在曲线上，则曲线在该点处切线的斜率即为该点的导数值，若此点不在曲线上，则需按照上述方法即应先设切点，再求斜率，写出直线的方程的方法解答。特别的若涉及到直线与圆锥曲线相切一类问题除可采用导数知识解答外，还可采用代数方法即应用判别式的方法来解答，这一类巧借导数几何意义“传接”的各类综合题频频出现。2【适用性练习】（1）过点（1，0）作抛物线 的切线，则其中一条切线为（） 21yx（A） （B） （C） （D）20xy3010xy解： ，设切点坐标为 ，则切线的斜率为 2 ，且1yx 0(,)xy0x
4、200于是切线方程为 ，因为点（1，0）在切线上，2001()yxx可解得0 或4，代入可验正 D 正确。选 Dx（2）曲线 在点 处的切线方程是3yx1,（A） （B） （C） （D）772yx4yx2yx解：曲线 ，导数 ，在点 处的切线的斜率为 ，34yx431,31k所以切线方程是 ，选 D.（3）已知曲线 ，求过点P（2，4）的切线方程.31yx解: P（2，4）在曲线上,当切点为 P（2，4）时, ,(2)4kf切过点 P（2，4）的切线方程为 ;当切点不是 P（2，4）yx时,设切点为 ,则 ,又 ( ), 0()Txy20()kf切 0ykx切 0 ,即 ,2004yx3204
5、x又 , ,30133200即 , ,24x21x, ,又300(1)()0()02x 切点为 ,过点 P（2，4）的切线方程为 .,xT 2yx(1,)T(2,4)P3综合得过点 P（2，4）的切线方程为 或 .2yx4yx【易错点 24】有关函数的单调区间例 3、已知函数 ，求函数 单调区间。fx12f【易错点诊断】求函数的单调区间要树立定义域优先的原则，本题易由得出函数 为单调递增函数的错误结论。20fxyfx解析：据解析式可知函数定义域为 ，由于 ,|,2R230fx故函数在 和 上分别为增函数.,2,【迷津指点】单调区间的求解过程，已知 （1）分析 的)(xfy)(xfy定义域； （
6、2）求导数 （3）解不等式 ，解集在定义域内的)(xfy0部分为增区间（4）解不等式 ，解集在定义域内的部分为减区间，对于0函数单调区间的合并:函数单调区间的合并主要依据是函数 在 单调递)(xf,ba增，在 单调递增，又知函数在 处连续，因此 在 单调递),(cbbxf)( c增。同理减区间的合并也是如此，即相邻区间的单调性相同，且在公共点处函数连续，则二区间就可以合并为以个区间。 【适用性练习】（1）设函数f(x)=ax(a+1)ln(x+1)，其中a -1，求f(x)的单调区间。答案:当 时，函数 在 上单调递减.0()fx1,)当 时，函数 在 上单调递减，函数 在 上单调递增.a()
7、f, ()fx1,)a（2）已知函数 f(x)ln x，g( x) ax2b x， a0.若 b2，且 h(x) f(x)g( x)存在单调递减区间，求 a 的取值范围；解：（I） ，则hb21ln)(,2时 .121)(xaxh因为函数 h(x)存在单调递减区间，所以 0 时，则xax2+2x10 有 x0 的解.当 a0 时，y= ax2+2x1 为开口向上的抛物线，ax2+2x10 总有 x0 的解；当 a0 总有 x0 的解；则=4+4 a0,且方程 ax2+2x1=0 至少有一正根.此时，1 a0. 综上所述，4a 的取值范围为（1，0）（0，+）.【易错点 25】在解题中误将必要条件作充分条件或将既不充分与不必要条件误作充要条件使用，导致错误结论。
