1、用心 爱心 专心 121 号编辑 1高二数学二项式定理教学目标(一)教学知识点 1二项式定理及有关概念，公式 2二项式系数性质(二)能力训练要求1了解二项式定理在整除性的判断等方面的应用2掌握解决与二项式定理有关的综合问题的思想方法(三)德育渗透目标 1提高综合素质 2培养应用能力教学重点 二项式定理及有关概念，公式的应用教学难点 二项式定理与其他学科知识综合问题的分析与求解教学方法 讲练相结合法教学过程复习回顾二项式定理：( a b)nC0anC1an-1b1Crnan-rbrCnbn通项公式： Tr1 Cran-rbr二项式系数：C 二项式系数性质：CmnC，即对称性当 n 为偶数时， 2
2、最大当 n 为奇数时，1n 2且最大各项系数之和：C0C1CrnCn2 n讲授新课师请同学们结合例题掌握以上知识例 1已知( x )n展开式中第五项的系数与第三项的系数比是 101，求展开式中含 x 的项分析：先根据已知条件求出二项式的指数 n，然后再求展开式中含 x 的项因为题中条件和求解部分都涉及指定项问题，故选用通项公式解： T5C4n( x)n-4(2)4C 24 21，T3C2n( x)n-2( )2C n226nx， 1024n即：C 2210C n化简，得 n2-5n-240 n8 或 n-3(舍) Tr1 Cr( x)8-r(2)rC 82r 238用心 爱心 专心 121 号
3、编辑 2由题意：令 238r1， r2 展开式中含 x 的项为第 3 项T3C 822x112 x例 2如果 12C n2 2C 2 nC 2187，求 C1nC C 的值分析： 12C n2 2C 2 nCC0n1n2C11n-12 2C 1n-22 nC(12) n3 n解： 12C 2 2C 2 nC 3 n， 3 n21873 7 n7 C0C1C2nCn2 n， C nC C 2 n-1 原式C17C C72 7-1127评述：要注意观察二项式系数的特征例 3求(12 x-3x2)5展开式中 x5的系数分析：由于三项式的展开式无现成公式，因此应把它转化为二项式的展开式，然后再求x5的
4、系数解法一： (12 x-3x2)51(2 x-3x2) 515(2 x-3x2)10(2 x-3x2)210(2 x-3x2)35(2 x-3x2)4(2 x-3x2)515 x(2-3x)10 x2(2-3x)210 x3(2-3x)35 x4(2-3x)4 x5(2-3x)5 x5的系数为上式各项中含 x5的项系数和即：10C2321(-3)25C 1423(-3)12 592解法二： (12 x-3x2)5(1- x)5(13 x)5(1-5 x10 x2-10x35 x4-x5)(115 x90 x2270 x3405 x4243 x5) 展开式中 x5的系数为243-5405270
5、10-1090515-192课堂练习1求( x-3)9的展开式中的有理项分析：因为只需求出展开式中的有理项，所以可运用通项公式求解解： Tr1 Cr( x)9-r(-3)r(-1) rC9x 627，其中 r0，1，2，9 由题意得 应为整数，r0，1，2，9 经检验，知 r3 和 r9， 展开式中的有理项为T4-C39x4-84 x4；用心 爱心 专心 121 号编辑 3T10-C9x3- x32已知(1-2 x)7 a0 a1x a2x2 a7x7，求(1) a1 a2 a7；(2) a1 a3 a5 a7；(3) a0 a2 a4 a6分析：由(1-2 x)7 a0 a1x a2x2 a
6、7x7对于 x 而言是一个恒等式，于是通过 x 的取值可进行求解解：(1) (1-2 x)7 a0 a1x a2x2 a7x7，令 x1，得a0 a1 a2 a7-1令 x0 得 a01， a0 a1 a2 a7-2(2)令 x-1，得a0-a1 a2-a3 a6-a73 72187由上式得a1 a3 a5 a71094；a0 a2 a4 a61093评 述 ： 在 解 决 与 系 数 有 关 的 问 题 时 ， 常 用 “赋 值 法 ”， 这 种 方 法 是 一 种 重 要 的 数 学 思 想 方法 课时小结应 熟 练 掌 握 二 项 式 定 理 及 有 关 公 式 、 性 质 的 应 用
7、基 本 掌 握 解 决 与 此 有 关 的 问 题 的 思 想方 法 课后作业课本 P111习题 104 7、9、10板书设计1043 二项式定理应用例题讲解 复习回顾课时小结备课资料一、有关二项式定理的高考试题分类解析高考中二项式定理试题几乎年年有，主要是利用二项展开式的通项公式求展开式的某一项的系数，求展开式的常数项；利用二项式系数的性质，求某多项式的系数和，证明组合数恒等式和整除问题及近似计算问题，考查的题型主要是选择题和填空题，多是容易题和中等难度的试题，但有时综合解答题也涉及到二项式定理的应用(一)求多个二项式的积(和)的展开式中条件项的系数例 1(2003 年全国高考)( x2-1
8、)9展开式中 x9的系数是_分析：此题体现抓“通项”的思路解： Tr1 Cr9(x2)9-r(- )r(-1) r2-rC9x18-2rx-r(-1) r2-rC x18-3r当 18-3r9 时，得 r3，用心 爱心 专心 121 号编辑 4所以 x9系数为(-1) 32-3C9-1例 2(1998 年全国高考题)( x2) 10(x2-1)展开式中含 x10的系数为_(用数字作答)分析：( x2) 10(x2-1)展开式中含 x10的项由( x2) 10展开式中含 x10的项乘以-1 再加上(x2) 10展开式中含 x8的项乘以 x2得到，即C01x10(-1)C 10x822x2，故所求
9、的 x10的系数为：C 0(-1)C222179例 3(1998 年上海高考题)在(1 x)5(1-x)4的展开式中， x3的系数为_分析：(1 x)5(1-x)4(1 x)(1-x2)4，其中(1- x2)4展开的通项为 Cr(-x2)r，故展开式中 x3的系数为-C 14-4例 4(1990 年全国高考题)( x-1)-(x-1)2( x-1)3-(x-1)4( x-1)5的展开式中 x2的系数等于_分析：求较复杂的代数式的展开式中某项的系数，常需对所给代数式进行化简，减小计算量原式 )1(5x x6)1(只需求( x-1)6展开式中 x3的系数即可，Tr1 Crx6-r(-1)r令 r3
10、 得系数为-20(二)求多项式系数和例 5(1999 年全国高考题)若(2 x )4 a0 a1x a2x2 a3x3 a4x4，则( a0 a2 a4)2-(a1 a3)2的值为( )A1 B-1 C0 D2分析：涉及展开式的系数和的问题，常用赋值法解：欲求式可变为：( a0 a2 a4)2-(a1 a3)2( a0 a1 a2 a3 a4)(a0-a1 a2-a3 a4)实际上， a0 a1 a2 a3 a4和 a0-a1 a2-a3 a4分别为已知式在 x1， x-1 的值令 x1 得，(2 )4 a0 a1 a2 a3 a4，令 x-1 得，(2- 3)4 a0-a1 a2-a3 a4
11、 ( a0 a2 a4)2-(a1 a3)2(2 )4(2- )4(2 )(2- ) 4(4-3) 41(三)求幂指数 n例 6(1995 年上海高考题)若( x1) n xn ax3 bx21( nN)，且 a b31，那么 n_分析： x3的系数 aC n， x2的系数 bC2，依题意 a b31，即 CnC231，解得 n11用心 爱心 专心 121 号编辑 5即 n11 满足题意(四)求二项式中有关元素此类问题一般是根据已知条件列出等式，进而解得所要求的元素例 7(1997 年全国高考题)已知( 2xa)9的展开式中 x3的系数为 49，则常数 a 的值为_分析：通项 Tr1 Cr9(
12、a)9-r(- 2)rC 9a9-r(- 2)rx923令 23r-93，解得 r8，故 C9a9-r(- 2)r 4916a解得 a4例 8(1998 年上海高考题)设 nN，(1x)n的展开式中 x3的系数为 16，则 n_分析： Tr1 Cr( )rxr令 x3的系数为：C3n1 6展开整理得：)2(，解得 n4(五)三项式转化成二项式问题例 9(1997 年全国高考题)在( x23 x2) 5的展开式中， x 的系数为( )A160 B240 C360 D800分析：原式写成二项式( x22)3 x 5，设第 r1 项为含 x 的项则 Tr1 Cr5(x22) 5-r(3x)r(0 r
13、5)要使 x 指数为 1，只有 r1 才有可能，即 T2C (x22) 43x15 x(x842 x664 x448 x22 4) x 的系数为 1524240答案：B(六)求整除余数例 10(1992 年“三南”高考题)91 92除以 100 的余数是_分析：91 92(901) 92C0929092C1929091C91290C92由此可见，除后两项外均能被 100 整除而 C190C 82818210081故 9192被 100 整除余数为 81(七)利用二项展开式证明不等式例 11(2001 年全国高考题)已知 i， m， n 是正整数，且 1 i m n用心 爱心 专心 121 号编
14、辑 6(1)证明： niAm miAn；(2)证明：(1 m)n(1 n)m证明：(1)略(2)由二项式定理知(1 m)n i0miCn， (1 n)m i0niC 由(1)知 niA miA ，又 Ci !，Cin !i， niCm miCn(1 i m n)， 故mi2niC ni2miCin，又 n0Cm m0Cn， nC1 mn mC1n i0niC i0miCn，即(1 n)m(1 m)n(八)求近似值例 12某地现有耕地 10000 公顷，规划 10 年后粮食单产比现在增加 22%，人均粮食占有量比现在提高 10%，如果人口年增长率为 1%，那么耕地平均每年至多只能减小多少公顷(精确到 1 公顷)？(粮食单产 耕 地 面 积总 产 量，人均粮食占有量 总 人 口 数总 产 量)分析：此类试题是利用二项式定理的展开式求近似值，主要考查利用二项式定理进行近似计算的能力解：设耕地平均每年至多只能减少 x 公顷(hm 2)，又设该地区现有人口为 P 人，粮食单产为 M 吨/公顷(t/hm 2)依题意得不等式%)1(04P PM41(110%)，化简得：x10 31- 2.10 ， 10 31- 2.1)0(110 31- .1(1C100.01C2100.012)10 31- .1.10454.1， x4(公顷)
