1、建模方法1：,将车、人等全部作为一个质量考虑，并考虑弹性和阻尼。,要求：对轿车的上下振动进行动力学建模。,例子：轿车行驶在路面上会产生上下振动。,缺点：模型粗糙，没有考虑人与车、车与车轮之间的相互影响。,优点：模型简单；,分析：人与车、车与车轮、车轮与地面之间的运动存在耦合。,多自由度系统振动,建模方法2：,车、人的质量分别考虑，并考虑各自的弹性和阻尼。,优点：模型较为精确，考虑了人与车之间的耦合；,缺点：没有考虑车与车轮之间的相互影响。,多自由度系统振动,建模方法3：,车、人、车轮的质量分别考虑，并考虑各自的弹性和阻尼。,优点：分别考虑了人与车、车与车轮之间的相互耦合，模型较为精确.,问题：
2、如何描述各个质量之间的相互耦合效应？,多自由度系统振动,教学内容,多自由度系统的动力学方程 多自由度系统的自由振动,多自由度系统振动,作用力方程 刚度矩阵和质量矩阵 位移方程和柔度矩阵 质量矩阵和刚度矩阵的正定性质 耦合与坐标变换,多自由度系统的动力学方程,作用力方程,几个例子,例1：双质量弹簧系统，两质量分别受到激振力。,不计摩擦和其他形式的阻尼。,试建立系统的运动微分方程。,解：,建立坐标：,设某一瞬时：,上分别有位移,加速度,受力分析：,m1,m2,k3,k1,k2,x1,x2,P1(t),P2(t),建立方程：,矩阵形式：,坐标间的耦合项,例2：转动运动,两圆盘,转动惯量,轴的三个段的
3、扭转刚度,试建立系统的运动微分方程 。,外力矩,解：,建立坐标：,角位移,设某一瞬时：,角加速度,受力分析：,建立方程：,矩阵形式：,坐标间的耦合项,多自由度系统的角振动与直线振动在数学描述上相同 。,如同在单自由度系统中所定义的，在多自由度系统中也将质量、刚度、位移、加速度及力都理解为广义的。,k3,k1,k2,P1(t),P2(t),小结：,可统一表示为：,例1：,例2：,作用力方程,位移向量,加速度向量,质量矩阵,刚度矩阵,激励力向量,若系统有 n 个自由度，则各项皆为 n 维矩阵或列向量,n 个自由度系统:,质量矩阵第 j 列,刚度矩阵第 j 列,n维广义坐标列向量,刚度矩阵和质量矩阵
4、,当 M、K 确定后，系统动力方程可完全确定,M、K 该如何确定？,作用力方程：,先讨论 K,加速度为零,假设外力是以准静态方式施加于系统,准静态外力列向量,静力平衡,作用力方程：,假设作用于系统的是这样一组外力：它们使系统只在第 j 个坐标上产生单位位移，而在其他各个坐标上不产生位移.,即 ：,代入 ：,所施加的这组外力数值上正是刚度矩阵 K 的第 j 列 .,（i=1n） ：在第 i 个坐标上施加的力.,结论：刚度矩阵 K 中的元素 kij 是使系统仅在第 j 个坐标上产生单位位移而相应于第 i 个坐标上所需施加的力.,结论：刚度矩阵 K 中的元素 kij 是使系统仅在第 j 个坐标上产生
5、单位位移而相应于第 i 个坐标上所需施加的力.,第j个坐标产生单位位移,刚度矩阵第j列,系统刚度矩阵,j=1n,确定,作用力方程：,讨论 M,假设系统受到外力作用的瞬时，只产生加速度而不产生任何位移.,假设作用于系统的是这样一组外力：它们使系统只在第 j 个坐标上产生单位加速度，而在其他各个坐标上不产生加速度.,这组外力正是质量矩阵 M 的第 j 列,结论：质量矩阵 M 中的元素 是使系统仅在第 j 个坐标上产生单位加速度而相应于第 i 个坐标上所需施加的力,第j个坐标单位加速度,质量矩阵第j列,系统质量矩阵,j=1n,确定,质量矩阵 M 中的元素mij 是使系统仅在第 j 个坐标上产生单位加
6、速度而相应于第 i 个坐标上所需施加的力.,mij、kij又分别称为质量影响系数和刚度影响系数。根据它们的物理意义可以直接写出系统质量矩阵M和刚度矩阵K，从而建立作用力方程，这种方法称为影响系数方法.,刚度矩阵 K 中的元素 kij 是使系统仅在第 j 个坐标上产生单位位移而相应于第 i 个坐标上所需施加的力.,例：写出 M 、 K 及运动微分方程,解：,先只考虑静态,令,使m1产生单位位移所需施加的力：,保持m2不动所需施加的力：,保持m3不动所需施加的力：,只使m1产生单位位移，m2和m3不动.,在三个质量上施加力,能够使得,系统刚度矩阵的第一列,例：写出 M 、 K 及运动微分方程,解：
7、,先只考虑静态,令,刚度矩阵：,使m1产生单位位移所需施加的力：,保持m2不动所需施加的力：,保持m3不动所需施加的力：,只使m1产生单位位移，m2和m3不动.,例：写出 M 、 K 及运动微分方程,解：,先只考虑静态,使m2产生单位位移所需施加的力：,保持m1不动所需施加的力：,保持m3不动所需施加的力：,只使m2产生单位位移，m1和m3不动.,在三个质量上施加力,能够使得,系统刚度矩阵的第二列,令,例：写出 M 、 K 及运动微分方程,解：,先只考虑静态,使m2产生单位位移所需施加的力：,保持m1不动所需施加的力：,保持m3不动所需施加的力：,只使m2产生单位位移，m1和m3不动.,令,刚
8、度矩阵：,例：写出 M 、 K 及运动微分方程,解：,先只考虑静态,使m3产生单位位移所需施加的力：,保持m2不动所需施加的力：,保持m1不动所需施加的力：,只使m3产生单位位移，m1和m2不动.,在三个质量上施加力,能够使得,系统刚度矩阵的第三列,令,例：写出 M 、 K 及运动微分方程,解：,先只考虑静态,使m3产生单位位移所需施加的力：,保持m2不动所需施加的力：,保持m1不动所需施加的力：,只使m3产生单位位移，m1和m2不动,令,刚度矩阵：,例：写出 M 、 K 及运动微分方程,解：,先只考虑静态,令,令,令,刚度矩阵：,只考虑动态,令,只使m1产生单位加速度，m2和m3加速度为零,
9、所需施加的力：,所需施加的力：,在三个质量上施加力,能够使得,系统质量矩阵的第一列,m1产生单位加速度的瞬时，m2和m3尚没有反应,只考虑动态,令,只使m1产生单位加速度，m2和m3加速度为零.,所需施加的力：,所需施加的力：,m1产生单位加速度的瞬时，m2和m3尚没有反应.,质量矩阵：,同理,令,同理,令,令,令,有：,令,有：,令,有：,质量矩阵：,运动微分方程：,外力列阵,矩阵形式：,小结：,刚度矩阵 K 中的元素 kij 是使系统仅在第 j 个坐标上产生单位位移而相应于第 i 个坐标上所需施加的力。,质量矩阵 M 中的元素 是使系统仅在第 j 个坐标上产生单位加速度而相应于第 i 个坐
10、标上所需施加的力。,又分别称为质量影响系数和刚度影响系数。根据它们的物理意义可以直接写出矩阵 M 和 K，从而建立作用力方程，这种方法称为影响系数方法或动静法。,刚度矩阵和质量矩阵,第j个坐标产生单位位移,刚度矩阵第j列,系统刚度矩阵,j=1n,确定,第j个坐标单位加速度,质量矩阵第j列,系统质量矩阵,j=1n,确定,位移方程和柔度矩阵,位移方程,物理意义：系统仅在第 j 个坐标受到单位力作用时相应于第 i 个坐标上产生的位移.,柔度影响系数,柔度矩阵与刚度矩阵的关系：,位移方程不适用于具有刚体自由度的系统。,若K非奇异,作用力方程,例： 求柔度阵。,解：,式中： 、 分别为广义坐标和广义速度
11、； T、U 分别为系统的动能和位能； D 能量散失函数； Q 广义干扰力。,拉格朗日法:采用拉格朗日方程式来建立系统的运动方程式，这种方法比较规格化，不易出错。而矩阵这一数学工具，则不仅提供了一种简明的表示方法，而且矩阵计算的程序比较成熟，可以利用电子计算机来完成复杂的计算工作。这样，无论在理论探讨上和分析计算上都给我们带来很大的方便。,按拉格朗日方法，系统的振动方程式可以通过动能T、位能U、能量散失函数D来表示。即,下图所示为三自由度的弹簧质量系统，P1、P2、P3 为分别作用于各质量上的干扰力。,取各自质量偏离其平衡位置的位移x1、x2、x3为广义坐标，则广义速度为,系统的动能即为质量m1
12、、m2 、m3 的动能之和，即：,系统的势能即为弹簧1、2、3的变形势能之和。而弹簧的势能可通过计算弹性力所作之功来求得。当质量从平衡位置移动距离后，弹簧的弹性恢复力对质量所作的功为,所以系统的势能为：,系统的能量散失函数即为系统在振动过程中为克服阻尼c1、c2、c3所作的功。,在振动速度从0到 的整个过程中，阻尼力对振动质量所作的功为：,广义干扰力就是激振力，在这一系统中就是分别作用在各质量上的干扰力 P1、P2、P3。故,所以系统的能量散失函数为：,将上式各式再代入（1）式，即可求得质量m2的振动方程为:,将上列各式代入（1）式，即可求得质量m1的振动方程为：,又,又,将上列各式仍代入（1
13、）式，即可求得质量m3的振动方程为:,综合以上的计算结果，将上述三式式组成下列微分方程组， 即得图所示系统的运动微分方程式：,上式可用矩阵形式表达为：其中各列阵及系数矩阵分别为： 位移列阵 速度列阵,若在上述系统中忽略阻尼，又无干扰力的作用，则系统的无阻尼自由振动方程式可根据（2）式用矩阵形式直接写出：其中，零列阵（null column matrix）为： 若系统的自由度数为n，则位移列阵x、速度列阵 、加速度列 阵 ，以及干扰力列阵P均为n阶列阵。而质量矩阵 m 、阻尼矩阵 c ，以及刚度矩阵 k 则均为n阶对称的方阵。还必须注意，当我们将弹性体离散化成有限自由度系统时，得到的质量矩阵m不
14、一定都是前例那样的对角阵（diagonal matrix）。因此，以后我们按为一般非对角阵进行讨论。,解：拉格拉日方程的形式为：,其中：T动能；U势能；D能量耗散函数（阻尼功率）,广义力；,广义坐标；t时间。,例：用拉格拉日方程求图示系统作用力方程。,对于m1,所以方程为：,同理：对于m2和m3分别有：,所以，系统的运动方程为：,耦合与坐标变换,矩阵中非零的非对角元元素称为耦合项。,质量矩阵中出现耦合项称为惯性耦合。,刚度矩阵或柔度矩阵中出现耦合项称为弹性耦合。,以两自由度系统为例:,不存在惯性耦合,如果系统仅在第一个坐标上产生加速度,不出现惯性耦合时，一个坐标上产生的加速度只在该坐标上引起惯
15、性力.,同理，不出现弹性耦合时，一个坐标上产生的位移只在该坐标上引起弹性恢复力；而出现弹性耦合时，一个坐标上产生的位移还会在别的坐标上引起弹性恢复力.,耦合的表现形式取决于坐标的选择,耦合,非耦合,出现惯性耦合时，一个坐标上产生的加速度还会在别的坐标上引起惯性力.,例：研究汽车上下振动和俯仰振动的力学模型。,表示车体的刚性杆AB的质量为m，杆绕质心C的转动惯量为Ic。,悬挂弹簧和前后轮胎的弹性用刚度为 k1 和 k2 的两个弹簧来表示。,写出车体微振动的微分方程。,选取D点的垂直位移 和绕D点的角位移 为坐标。,简化形式,首先求刚度矩阵,令：,对D点取矩：,力平衡：,车体所受外力向D点简化为合
16、力 PD 和合力矩 MD 。,微振动，杆质心的垂直位移、杆绕质心的角位移：,令：,对D点取矩：,力平衡：,刚度矩阵：,求质量矩阵,令：,质心C所受的惯性力：,力平衡：,力矩平衡：,令：,质心C所受的惯性力矩：,力平衡：,对D点取矩：,质心C所受的惯性力：,质量矩阵：,质量矩阵,刚度矩阵,运动微分方程,：作用在D点的外力合力和合力矩,如果D点选在这样一个特殊位置，使得：,只存在惯性耦合，而不出现弹性耦合,如果D点选在质心C：,只存在弹性耦合，而不出现惯性耦合。,问：能否找到这样一种坐标使得系统的运动微分方程既不出现惯性耦合，也不出现弹性耦合？,即：,若能够，则有：,方程解耦，变成了两个单自由度问
17、题。,使系统运动微分方程的全部耦合项全部解耦的坐标称为主坐标。,讨论：能对同一个系统选取两个不同的坐标，它们所描述的运动微分方程之间有着怎样的联系？,选取D点的垂直位移及角位移作为坐标;,选取质心C点的垂直位移及角位移作为坐标;,令：,令：,D点和C点的坐标之间的关系：,写成矩阵形式：,坐标变换矩阵,D点和C点的坐标之间的关系：,写成矩阵形式：,坐标变换矩阵,和 的关系,在C点加一对大小相等、方向相反的力,得：,写成矩阵形式：,D点和C点的坐标之间的关系：,写成矩阵形式：,坐标变换矩阵,和 的关系,在C点加一对大小相等、方向相反的力,得：,写成矩阵形式：,T 非奇异，因此：,验证：,代入，并左
18、乘 ：,结论：,假设对同一个系统所选择的两种不同的坐标X 和Y 有如下的变换关系：,其中T 是非奇异矩阵，如果在坐标X下系统的运动微分方程为：,那么在坐标Y 下的运动微分方程为：,如果恰巧Y 是主坐标：,对角阵,这样的T 是否存在？如何寻找？,当T 矩阵非奇异时，称矩阵A 与矩阵（TTAT） 合同。,对于质量矩阵也如此。,线性代数知， 合同矩阵具有相同的对称性质与相同的正定性质。,对称性质：,若矩阵A 对称，则（TTAT）对称。,证明：,矩阵A 对称，AAT,则有：(TTAT)TTTAT(TT)TTTAT,正定性质：,若原来的刚度矩阵K 正定，则（TTKT）仍正定。,因此坐标变换X TY 不改
19、变系统的正定性质。,小结：耦合与坐标变换,质量矩阵中出现耦合项称为惯性耦合。,刚度矩阵或柔度矩阵中出现耦合项称为弹性耦合。,不出现惯性耦合时，一个坐标上产生的加速度只在该坐标上引起惯性力.,耦合的表现形式取决于坐标的选择,不出现弹性耦合时，一个坐标上产生的位移只在该坐标上引起弹性恢复力.,同一个系统选择两种不同的坐标X 和Y 有变换关系：,坐标X下系统：,坐标Y 下系统：,其中T 是非奇异矩阵,4-4 多自由度体系的固有频率与主振型,主要问题,4-4-1 多自由度系统的固有频率与主振型,4-4-3 主坐标与正则坐标,4-4-2 主振型的正交性,第四章 多自由度系统振动 / 4.4 多自由度系统
20、自由振动,4-4-1 多自由度系统的固有频率与主振型, 主振动,n个自由度系统的自由振动方程,设系统存在某种同步运动,非负数，令,正定系统,半正定系统,解方程,a、b、积分常数,以上同步运动均称为主振动, 固有频率与主振型,假设方程的通解为,展开行列式为一个关于 2 的n次多项式，称之为特征方程,为特征根（特征值）,半正定系统（K为半正定矩阵）,正定系统（K、M均为正定矩阵）,取,归一化,n个自由度系统的第i 阶主振动,特征向量 A(i)中的各元素为系统作第i 阶主振动时各广义坐标上振幅的相对比值,系统作第i 阶主振动时具有一定的振动形态,特征向量 A(i),振动问题中，特征向量 A(i)称为
21、第i 阶主振型,(固有振型、主模态), 确定系统的振动形态, 未确定系统各坐标的振幅绝对值, 仅取决于系统的物理参数（质量、刚度）,n个自由度系统具有n阶主振型！,n阶主振动！,系统振动方程的通解为,其中的2n个积分常数有初始条件确定,对于位移振动方程,固有频率,讨论,k,k,2k,m,2m,系统振动方程,设主振动,特征根,令,令,k,k,2k,m,m,2k,m,系统的质量矩阵和刚度矩阵,特征矩阵,令,特征根,由特征矩阵的伴随矩阵求主振型,系统的质量矩阵与柔度矩阵,振动方程,令主振动为,令,由特征矩阵行列式为零，得特征方程,4-4-2 主振型的正交性,设系统固有频率 1和 2对应的主振型为A(
22、1) 和 A(2),对于主振型,对角矩阵！,同理,主振型正交性的物理意义,设系统同时存在主振动,系统的位移,系统的动能,同理,Ti 、Vi 分别是仅存在第i 阶主振动时系统动能和势能,另外,可见，由于主振型的正交性，不同阶的主振动之间不存在动能的转换，或者说不存在惯性耦合。同样可以证明第i阶固有振动的广义弹性力在第j阶固有振动的微小位移上的元功之和也等于零，因此不同阶固有振动之间也不存在势能的转换，或者说不存在弹性耦合。对于每一个主振动来说，它的动能和势能之和是个常数。在运动过程中，每个主振动内部的动能和势能可以互相转化，但各阶主振动之间不会发生能量的传递。因此，从能量的观点看，各阶主振动是互
23、相独立的，这就是主振动正交性的物理意义。,振型矩阵与谱矩阵, 振型矩阵（模态矩阵）, 主质量矩阵与主刚度矩阵, 谱矩阵,正则振型,取,令,由定义,正则振型矩阵,在一般情况下，具有有限个自由度振动系统的质量矩阵和刚度矩阵都不是对角阵。因此，系统的运动微分方程中既有动力耦合又有静力耦合。对于n自由度无阻尼振动系统，有可能选择这样一组特殊坐标，使方程中不出现耦合项亦即质量矩阵和刚度矩阵都是对角阵，这样每个方程可以视为单自由度问题，称这组坐标为主坐标或模态坐标。由前面的讨论可知，主振型矩阵U与正则振型矩阵 ，均可使系统的质量矩阵和刚度矩阵转换成为对角阵。因此，可利用主振型矩阵或正则振型矩阵进行坐标变换
24、，以寻求主坐标或正则坐标。,4-4-3 主坐标与正则坐标,4-4-3 主坐标与正则坐标,n个自由度系统,设一组常数,而,n维空间的一组“基”,n个主振型的线性组合,振型展开定理,新坐标,以正则振型矩阵为坐标变换矩阵,k,k,2k,m,m,2k,m,写出图示系统的主振型矩阵和正则振型矩阵，以及用正则坐标表示的系统运动方程。,由质量矩阵 ，可求出主质量矩阵,解：将各阶主振型依次排列成方阵，得到主振型矩阵,例 题,于是，可得各阶正则振型,以各阶正则振型为列，写出正则振型矩阵,由刚度矩阵,可求出谱矩阵,可写出以正则坐标表示的运动方程,展开式为,1,2,3,k1,k2,k3,固定点,弹簧k1的势能为,系统总的势能,系统动能,利用Lagrange方程,特征方程,本例质量矩阵与单位阵成比例，因此,主振型同时几何正交,主坐标的两根轴正交,
