1、北京邮电大学硕士学位论文机器人轨迹规划方法研究姓名：田西勇申请学位级别：硕士专业：机械电子工程指导教师：刘晓平20080226机器人轨迹规划方法研究摘 要轨迹规划对机器人高效、稳定的运行有重要影响，通过轨迹规划使机器人运动平滑、平稳，减少冲击和振动，提高机器人的稳定性、可靠性、工作效率有重要意义。本论文以实验室开发的三自由度机械臂为研究对象，深入研究了基于关节空间的轨迹规划方法。在本论文中，将组合曲线、非对称化以及连续ierk函数的概念引入到轨迹规划中来，并通过分析和研究几种具体的组合曲线，指出了关节空间轨迹规划的基本原则和衡量轨迹规划曲线特性的主要指标，提出了轨迹规划曲线的高阶导数要连续，同
2、时要保证使规划出的曲线不仅要保证位移、速度、加速度连续，而且还能保证冲击连续。本文使用ProEngineer软件对所在实验室开发的三自由度机械臂进行了三维造型设计，使用Matlab软件对轨迹规划好的机器人运动进行仿真，用Visual C+软件编写机器人控制软件，并结合三自由度机械臂实验平台验证了轨迹规划得到的组合曲线是切实可行和有效的。关键词：机器人轨迹规划组合曲线非对称冲击THE RESEARCH OF ROBOTS TRAJECTORY PLANNINGABSTRACTTrajectory Planning has quite important effects for robotS hi
3、gh efficient andstable motionThough trajectory planning，robot can not only motion stably,butalso avoid vibration and impactIt is quite significant to improve the robotSstability,reliability and work efficiencyThe robot studied in this thesis is a 3-DOFmanipulator which iS developed by our 1aboratory
4、The methods of traj ectoryplanning based on j oint space are profoundly studiedIn this paper,combined curve、asymmetry and continuous j erk curve arefirst adopted to traj ectory planningThrough research and analysis of severalcombined curves，pointed out the basic principles of trajectory planning in
5、jointspace and the key indicators to measure characteristic curve of traj ectory planningAt the same time，The higher derivative of traj ectory planning curve should becontinuedThe di splacement，velocity and acceleration of traj ectory planningcurve a】so should be continued3一DOF manipulator had been
6、developedMachinery,hardware and softwareof 3DOF manipulator had been developedMatlab was used to do simulationanalysis of the combined curve，ProEngineer was used to do mechanical design，and Visual C+was used to prepare PC contr01 softwareThe experimentalplatform which was composed of 3-DOF manipulat
7、or and vibration teachingsystem used to verification combined curveAt 1astthe experimental results showthat the means which are proposed in this paper are feasible and effectiveKey words：robot；trajectory planning；combined curve；asymmetry；jerk独创性(或创新性)声明本人声明所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加
8、以标注和致谢中所罗列的内容以外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得北京邮电大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。本人签名： 圜塑塑 日期：!塑：!：彤关于论文使用授权的说明学位论文作者完全了解北京邮电大学有关保留和使用学位论文的规定，即：研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属北京邮电人学。学校有权保留并向国家有关部lJ或机构送交论文的复印件和磁盘，允许学位论文被查N,币ll借阅；学校可以公布学位论文的全部或部分内容，可以
9、允许采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编学位论文。(保密的学位论文在解密后遵守此规定)保密论文注释：本学位论文属于保密在一年解密后适用本授权书。非保密论文注释：本学位论文不属于保密范围，适用本授权书。本人签名：导师签名：阁面岛 日期：!堡：!：丝日期：丝班：2，碰北京邮电大学硕十学位论文11引言第一章绪论随着20世纪60年代微处理器的出现，机器人进入了现代机器人时代，也让机器人步入应用阶段，使机器人学得到迅速发展，当前机器人学发展成为一门侧重于综合的工程科学，其涵盖了机械工程、计算机科学、控制理论、电子学、传感技术、人工智能、模式识别等多个学科。机器人延伸和扩展了人的手脚和大脑的功能，扩大了
10、人的活动区域，具有许多人和普通机械所不可比拟的优良特性。在制造业中采用机器人技术，可以将人类从繁重和单调的劳动中解放出来；缩短生产周期，提高产品质量，改善生产条件，非常适应现代化生产发展的需要。机器人最早应用的领域是汽车工业，其中应用最早最多的工种为焊接、喷漆和上下料。焊接包括点焊、弧焊、压焊、激光焊等。人工焊接不但劳动强度大而且质量不易保证，点焊机器人可编程，可调整空间点位，焊接质量高：喷漆工序中雾状漆料对人体有危害，喷漆环境中照明、通风等条件很差，因此在这个领域中大量使用了机器人，不仅改善了劳动条件，而且还可以提高产品的产量和质量，降低成本。如今机器人的应用范围日益扩大，机器人广泛的应用于
11、原子能工业、宇宙开发、军事领域、农业畜牧业、建筑和工矿业、医疗服务等事业，如放射性物质搬运、设备的检查与维修、星球探查、布雷、弹药装填、撒农药、开矿爆破、盲人导行与假肢等。在机器人的实际应用中，对机器人的工作精度和运动平稳度要求越来越高，工作效率和质量是衡量机器人性能的重要指标，提高机器人的工作效率，减小实际操作中的误差成为机器人应用需解决的关键性问题。因此对机器人机械系统必须进行深入的研究，这是机器人设计开发的基础。而对机器人的轨迹规划研究则是解决问题的前提和基础。12研究背景机器人轨迹规划就是讨论计算轨迹方法的研究，轨迹描述了我们希望操作臂在多维空间中的运动路线。机器人系统在运动过程中必须
12、遵循一个原则，就是运动过程中尽量平滑、平稳，也就是要避免位置、速度和加速度的突变，如果运动不平稳会产生机械部件的磨损加剧，并导致机器人系统的振动和冲击。事实上，突变的运动需要无穷大的动力实现，而电动机因受物理的限制不能提供上述动北京邮电大学硕士学位论文力。因此，我们就必须规划机器人的运动轨迹，可以用简单的技术规划机器人的运动，使其运动平滑、平稳，减少冲击和振动，能够保证整个机器人系统长期、高效、稳定的运行。但是，不能保证不产生运动的突变和抖动，以及机器人刚体的振动。所以，对机器人的轨迹规划进行深入的研究就非常重要，而且随着对机器人要求的不断提高，如何保证机器人能够高速、平稳的到达指定位置，提高
13、整个机器人系统的稳定性和可靠性，轨迹规划就显得越来越重要。而拾取操作的轨迹规划又是轨迹规划的基础和根本，是研究有路径约束和障碍约束的轨迹规划的前提。为了使机器人系统便于对机器人进行操作，能够高速、平稳的到达指定位置，提高整个机器人系统的稳定性和可靠性，就要求我们必须研究出复杂的时间和空间的函数才能完成指定的任务。但是，我们又希望控制系统通过简单的运算就能够完成机器人的希望运动，实现实时的机器人运动控制，这就要求我们必须寻找出合适的轨迹规划曲线，同时满足以上要求，而且还能够实现时问较短的要求。在关节空间中进行轨迹规划是指将关节变量表示为时间的函数来描述操作臂预期的运动，在关节空间直接进行轨迹规划
14、具有很好的实时性。因此通过此方法进行轨迹规划能够解决我们所面临的问题。13国内外研究现状文献18研究的是基于3次多项式的样条曲线关节轨迹规划方法。Kahn和Rothtl】早在1971年就研究过机器人作PTP运动时最优轨迹规划问题，但作了不少假设和近似。Kim KeeWhant2】和LinC hunShint31利用3次多项式关节轨迹规划方法需要解一个(n2)x(n2)的对角方程，其中n为轨迹的中间点数，这种方法的缺点是当n较大时计算量大。Bazaz和Tondut4】在3次样条函数的基础上实现了在线轨迹规划，并对轨迹进行了时间优化设计，但这种方法不能满足轨迹点之间的加速度连续性。徐向荣5】等提出
15、了采用353样条函数法对机器人轨迹进行规划。文献6对文献5进行了修正，并用仿真工具对新的样条轨迹函数进行了验证。文献910中引入5次多项式的样条曲线对机器人轨迹进行规划。文献【11】中采用分段多项式样条函数进行了机械手关节空间的轨迹规划，该方法不需要求解逆运动学方程，但分段样条函数的各项系数的计算较为复杂。文献12】提出了基于摆线运动规律的轨迹规划方式。文献13】采用3阶贝塞尔曲线进行路径规划，并给出了加速度约束条件下时间最优的轨迹规划方法。文献14基于螺旋理论和空间样条曲线生成原理提出了一种笛卡儿空间的机械手轨迹规划方法；文献15】针对机械手作两圆柱相贯线运动的特别运动轨迹，进行了有效的轨迹
16、规划；文献16】和17则基于最小时间或最小能量的最优轨迹规划问题进行了研究，文献17】2北京邮电大学硕上学位论文针对两机械手协调作业提出了一种最小时间的轨迹规划方法。文献【18】采用双曲线函数在关节空间进行了机械手轨迹规划，该方法算法简单，但是双曲线函数中参数的确定需要大量经验。文献19-30研究的是基于B样条曲线的轨迹规划方法。其中文献【19_25提出了B样条曲线的轨迹规划方法，指出B样条具有导数的连续性、分段处理性、关节位移变化率小、局部支撑性等优点。文献2627】是运用运动学方法进行了机器人时间最短轨迹规划。文献28贝1J是在用关节加速度限制近似替代最大关节转矩限制的情况下进行的时间最短
17、轨迹规划，这样就使问题得以减化，而所得的结果与实际情况则有出入。文献21-22贝1是综合考虑了关节角速度约束、角加速度约束、角加加速度约束及力矩约束。文献31-33是通过增加轨迹规划曲线上所取的节点数，来提高路径跟踪的精度，并把多项式和余弦函数进行组合寻找时间最优的轨迹规划方法。但这会导致关节轨迹分段数和关节轨迹方程数量大大增加，在线计算时控制系统的运算量大幅度增加。通过上面表述可知，目前基于关节空间的轨迹规划的方法只是停留在矩形函数加速度曲线，梯形函数加速度曲线，三次多项式插值，高阶多项式插值，抛物线过渡线的性插值，摆线运动，贝塞尔曲线以及B样条曲线这几种方法上。这几种方法只是用一种特殊的曲
18、线对机器人进行轨迹规划，虽然它们具有一些优点，但是在运动轨迹、速度曲线、加速度曲线方面存在一些问题，没有充分发挥各种曲线所独有的优点。选用多项式函数为至少五个自由度的五次多项式作为轨迹函数，其加速度函数则为三次函数，jerk函数也是连续的。这种情况是jerk函数是连续的，可以减少振动和冲击。采用加速度曲线为正弦函数的摆线运动轨迹虽然在起始位置冲击有最大值，但有光滑连续的余弦函数，要比矩形函数和梯形函数的冲击函数好，只是其加速度的理论最大值比矩形函数和梯形函数的都大。由于矩形函数的加速度曲线不连续，在开始、中间和结束处都是间断的，不符合加速度连续的轨迹规划基本要求。梯形函数的加速度曲线为有一个很
19、大的缺点就是冲击函数不连续，而且方向不同、大小不同的冲击函数会使机器人系统受到冲击、产生振动，抛物线插值与梯形函数相似。通过对现有的各种轨迹规划方式的分析，我们可以知道，现有的各种轨迹规划方式虽然能够满足一定的需要，但是也存在着一些问题，如何充分发挥它们的优点，尽量减少它们不利的影响，设计出性能优越的、符合要求的轨迹规划曲线北京邮电大学硕士学位论文就是本文研究的重点和核心。14本文研究内容本文针对关节空间的轨迹规划进行研究，力求发现新的满足快速性、准确性和实时性要求的基于关节空间的轨迹规划的一般规律，以本实验室的三自由度机械臂为基础，通过搭建试验平台来验证轨迹规划的准确性，以用来指导和应用于实
20、践。本文的主要结构和具体工作如下：第一章：绪论。对基于关节空间的轨迹规划进行简单的概述，介绍了本课题的研究背景和国内外的研究现状、本论文研究内容。第二章：对称化的机器人轨迹规划方法研究。本章主要分析了轨迹规划曲线特性的几个指标，进行轨迹规划时应该注意的问题，并针对具体的组合曲线轨迹规划方法进行公式推导，展开研究并进行分析和对比，分析不同曲线的几个特性指标的优缺点。最后总结得出进行组合曲线的轨迹规划时的注意事项。第三章：非对称化的机器人轨迹规划方法研究。在第二章研究的基础上开展研究，第二章主要是针对对称曲线展丌的，而本章则是把对称曲线非对称化，在加速与减速曲线2：3的比例下这个特殊情况下进行公式
21、推导，展丌研究并进行仿真分析和对比，分析不同曲线的几个特性指标的优缺点。并指出进行组合曲线非对称化的研究意义。第四章：机器人机械结构三维造型建模设计。本章主要介绍实验室三自由度机械臂三维造型建模设计过程中碰到的问题和注意事项。使用ProEnginee“进行建模设计时需要注意的问题以及使用ProEngineer时预防再生失败的经验总结。第五章：机器人控制系统及软件设计。本章主要介绍了实验室三自由度机械臂控制系统的搭建、工作流程和软件设计。涵盖了控制系统中的PC机、运动控制卡、驱动器和伺服电机以及传感器等硬件和控制软件的实现以及使用说明。第六章：搭建测试系统实验平台及实验验证。本章主要介绍了搭建测
22、试实验平台和使用本测试实验平台来对前面第二章和第三章的理论研究进行验证和分析。总结和展望。对本论文所研究的内容进行归纳总结，分析研究工作的不足，并对下一步的研究工作作出了构想。4北京邮电大学硕士学位论文第二章对称化的机器人轨迹规划方法研究21轨迹规划综述通常将操作臂的运动看作是工具坐标系T)相对于工作坐标系S)的运动。这种描述方法即适用于各种机械手，也适用于同一机械手上装夹的各种工具。对于移动的工作台也适用，工作坐标系S)的位姿随时间而变化。对拾放操作的机器人，需要描述它的起始状态和目标状态，即工具坐标系的起始值T0)和目标值T口)。本文用“点”这个词表示工具坐标系的位置和姿态，例如起始点和目
23、标点等。在关节空间进行轨迹规划，机械手运动路径点一般用工具坐标系T)相对于工作坐标系S)的位姿来表示。为了求得在关节空间形成所求轨迹，首先用运动学反解将路径点转换成关节矢量角度值，然后对每个关节拟合一个光滑函数，使之从起始点开始，依次通过所有路径点，最后到达目标点。对于每一段路径，各个关节运动时间均相同，这样保证所有关节同时到达路径点和终止点，从而得到工具坐标系fT应有的位置和姿态。尽管每个关节在同一段路径中的运动时间相同，但各个关节函数之间却是相互独立的。在关节空间进行轨迹规划，需要给定机器人在起始点和终止点手臂的位形。对关节进行插值时，应满足一系列的约束条件如：各个关节位移、速度、加速度在
24、整个时间间隔内的连续性要求等。在满足所要求的约束条件下，我们就可以选择不同类型的插值函数，生成不同的轨迹。关节空间中拾取操作的轨迹规划，只是限定轨迹函数的启动和终止两个极限位置，对于函数曲线没有强制性，因此，我们也就有很大的自由度选择轨迹函数。但要使执行拾取操作的机器人能够更快、更精确、更稳定的从起始位姿到达终止位姿，就要求机器人在运行和停止时必须是平缓的，而不能猛然加速、骤然降速，因此就需要最大速度、加速度、冲击要非常小，也就对运动轨迹、速度曲线、加速度曲线提出了更高的要求，甚至对冲击(加速度对时间的一阶导数)曲线也要加以限制，以减小振动。所以轨迹规划首先应该在轨迹函数、速度函数、加速度函数
25、连续的基础上，从加速度函数入手，选取适当的加速度曲线函数。22轨迹规划曲线的特性指标分析通常在进行轨迹规划时，不仅要考虑机器人的运动学要求，同时还要综合考北京邮电大学硕十学位论文虑机器人的工作转速、质量以及载荷的大小等多种因素。因此深入了解反映轨迹规划曲线特性的参数的含义，对于机器人系统的轨迹规划，以及分析这些参数对机器人的运动及动力特性的影响分析，具有重要的意义。1最大速度：机器人运动的速度，其最大值是反映运动特性的一个重要指标。对于具有一定质量的机器人，最大速度值越大，则机器人系统的动量也大。在机器人系统质量较大时，为减小动量，应选择最大速度值较小的轨迹规划曲线。若机器人在工作中遇到需要紧
26、急停车的情况，由于机器人系统动量过大，会出现操控失灵，造成机构损坏等安全事故。因此希望机器人系统速度的最大值在满足要求的情况下越小越好。2最大加速度：机器人运动加速度最大值的大小，是影响机器人动力特性的主要因素。也是反映机器人运动特性的重要指标，最大加速度值的大小，会直接影响机器人系统的惯性力的大小。因此希望机器人系统加速度的最大值越小越好。3最大冲击：机器人冲击最大值的大小对机器人系统的动力特性有很大的影响，会直接影响机器人系统的残余振动，影响机器人的动力学特性。因此希望机器人系统冲击的最大值越小越好。4轨迹规划曲线的高阶导数：通常根据加速度曲线在运动过程中是否连续，定义了该种轨迹规划曲线是
27、否有刚性冲击、柔性冲击。而加速度的导数曲线一一冲击曲线是否连续，或者其突变值的大小对机器人动力特性有很大的影响。连续的冲击曲线或者冲击突变值较小的轨迹规划曲线，可以改善机器人系统的动力学特性，减小系统的残余振动。因此，轨迹规划曲线高阶导数是否连续是衡量轨迹规划曲线特性的主要指标。高阶导数连续性好的轨迹规划曲线，其最大速度和最大加速度的值一般也比较大。反之，具有较小的最大速度和最大加速度值的轨迹规划曲线，其高阶导数往往是不连续的。可见轨迹规划曲线的选取和设计存在相互矛盾的制约因素，不可能同时取得各指标参数的最佳值。因此，这就要求我们在进行轨迹规划时，要根据需要，综合权衡各项特性指标的基础上做具体
28、的分析。23轨迹规划方法研究多项式类型和三角函数类型的轨迹规划曲线是机器人系统常用的最基本，最普遍曲线。但是随着生产技术的发展，对机器运动特性的要求不断提高，对于轨迹规划曲线的要求也就越来越严格。机器人系统在一些场合下，对其轨迹规划曲线不仅要求高阶导数连续，同时也要求具有良好的综合特性指标，如要求具有较小的速度、加速度、冲击等。单一型的轨迹规划曲线已经不能满足要求。因此，6北京邮电大学硕士学位论文这就需要综合几种不同轨迹规划曲线的特点，把几种基本的轨迹规划曲线组合在一起构成组合型轨迹规划曲线，设计出一种具有良好综合特性的轨迹规划曲线，以便发扬各自的优点和克服其缺点。通过几种不同函数组合在一起而
29、设计出的轨迹规划曲线，就是组合型的轨迹规划曲线。组合型的轨迹规划曲线是由分段函数组成的。在各段函数的连接点处，需要建立临界条件，以保证各分段函数在临界点处具有相同的位移、速度、加速度(甚至是冲击)。构造这种组合函数的难点在于：选取什么样的分段函数，才能使设计出的轨迹规划曲线具有良好的综合指标。231加速度函数为连续分段函数的轨迹规划方法由于矩形函数的加速度曲线不连续，在开始、中间和结束处都是问断的，不符合加速度联系的轨迹规划基本要求。梯形函数的加速度曲线为有一个很大的缺点就是冲击函数不连续，而且方向不同、大小不同的冲击函数会使机器人系统受到冲击、产生振动，抛物线插值与梯形函数相似。采用加速度曲
30、线为正弦函数。虽然在起始位置冲击有最大值，但有光滑连续的余弦函数，要比矩形函数和梯形函数的冲击函数好，只是其加速度的理论最大值比矩形函数和梯形函数都大。为此提出了一种加速度函数为连续分段函数的轨迹规划方法，就是将梯形的斜边用周期相同的14周期的正弦函数代替，这样就能够融合梯形函数和正弦函数的优点，使加速度最大值增加不多，而加速度曲线函数又能够平滑过渡，因此就可以减小惯性力，使机器人的各关节能够快速、平稳、精确的到达指定位置。我们在起始和终止位姿机器人位形的关节变量分别用矢量研和啡表示，以时间t为变量，从起始位姿开始，令t=0，工作时间为T，到达终止位姿时为t=T。为了保证机器人运动的平滑，可以
31、有以下的起始条件1】：0(0)=已，01(0)=0，0”(0)=0 (21)p(D=oF，0。(D=0，0”(D=0 (22)设关节运动轨迹插值函数为s(f)且满足0s1 0f1 f=二，r将s(f)作为自变量，则可以用机器人各个关节变量臼，在其值域范围内变化来描述机器人的运动，从而有Oj(t)=科+(等一掣)s(f) (2-3)7北京邮电大学硕上学位论文用纠和鳟表示第J个关节变量的起始位姿和终止位姿。用矢量表示的形式为秒(f)=岛+(酢一岛)s(f)眇(f)=(oF一岛)s(r)f，(t)=(啡一岛)s(r)0(f)=可1(纬一w(f)(f)=亍1(OF一(f)所以由式(21)、(22)带入
32、式(24)-一(27)可以得到s(f)应该满足的条件J(o)=0，(o)=0，s”(o)=os(1)=1，(1)=0，J“(1)=0上述公式引用于文献35100。所以由加速度函数入手令J”(f)为s”(f)=k sin(4xr)k sin(47rr一万1一后of1813一f一8 8(2-4)(25)(26)(27)(28)3 5：r= (29)8 8三f三8 8一七sin(4xr-3；r)詈f1所以积分可得Jp)和s(r)分别为I一kcos(47rr)+k of!I 韧4x 8I打+k一一k 一1f一3l 4；r 8 8 8荆=争酬切刮t每专 协I一打+2尼+土 一5s_一7l 8 4x 8
33、8b+cos(4万r捌，8北京邮电人学硕上学位论文J南叫铡陟)r斗lk8一面ks(刊石kr+等一南s试4而一力一话kI脬+扣笔+志一篙【笔+刍蛳4而-3x)+专因此由(2-8)x-s(1)=l可得 尼=墨所以可以很容易求出J(f)的最大值。(f)为J二(垆“三)=2即由式(25)可得第J个关节的最大速度为(g)。=(砟一B)N样gN s7(丁)的最大值。(f)为妇垆肛墨即由式(26)可得第J个关节的最大加速度为(巧)。2石车乞F(绵一谚)另外可得s-)的最大值J：为，”，、 32xzs一(f)_而即由式(2-7)可得第J个关节的最大je伙为(吼。，2两32而7r2(啡一岛)如果我们限定电机的最
34、大转速，可由式(213)求出第j个关节完成给定的操作的最短时间Z为95 7一f一8 87二f18(211)(212)(213)(214)(215)(216)(217)18381一、E。83。858fr一VI晒。电838北京邮电大学硕士学位论文z：掣(2-18)1厂(口：)。轨迹规划曲线的位移、速度、加速度、冲击图形如图21所示：图2-1加速度函数为连续分段函数的曲线这种曲线既保留了梯形加速度曲线最大加速度值较小的优点，又克服了其不连续的缺点。232组合正弦函数的轨迹规划方法组合正弦函数的轨迹规划方法，加速度曲线是由两种不同频率的正弦曲线组合而成。运用公式(21)(28)推理得到本曲线的式(21
35、9)(221)。J”(f)=k sin(4zr)s了4xr一詈)ksin(4xr2x)所以积分可得s7(f)和J(r)分别为10、J9tl-2kl一8781一rf一一一01878北京邮电人学硕上学位论文f石k【l-删=去叶3晦专，l去一蝴一冽I每掣，刮乏p峙专，钥I争弓堂，O1一8281一87-Q (2-20)Olof!芍1 7：fi (221)8 8 一 77f1因此由(28)式s(1)：l可得七：!笔，由式(25)，(26)，(27)可求出 石十斗机器人的最大速度、加速度、冲击。由式(218)可以求出第i个关节完成给定的操作的最短时问。轨迹规划曲线的位移、速度、加速度、冲击图形如图22所示
36、：加速度由线图 谏序盥线图50徊曼0-500 5时间图2-2组合正弦函数曲线组合正弦函数的轨迹规划曲线既保持了余弦加速度曲线最大速度、加速度两者都比较小的特点，又克服了其两端加速度不连续的缺点。该曲线的优点是最大速度、加速度两者都比较小，最大冲击也不太大，综合性能好。北京邮电大学硕士学位论文233优化等速的轨迹规划方法优化等速的轨迹规划方法就是在速度函数为梯形函数的基础上，将速度函数中梯形的斜边用两个频率为1：3的余弦函数进行拟合得到的轨迹规划曲线。运用公式(21)(28)推理得到本曲线的式(222)(225)。J”(f)=s，(r)s7(f)=8zk cos(8zr)詈万尼c。sc詈万r+詈
37、，0一；万尼c。sc詈万f， 3 、387rk cos(8xr)k sin(8zr)酬兰所+；，O一露sin(8xr)k sin(8zr)k cos(8xr)上k七+8x 8x后2x3七Cos(了8xr) 后_8it 8xk cos(8xr)+k87r 8万12of土1 6土f11 6 4f了3(2-22)4 4三f堕4 1 6堕f1l 60f一116土f!16 4乙1f五3 (225)4 4 L z。 ，三f堕4 16堕_116Of一1 16三f116 41f三 (224)4 4三f堕4 16堕fl16北京邮电大学硕士学位论文sp)=!r一三i(8xr)sinr一_8x (8x)29k ，8
38、xr万、 k k一丽sin(了+了)+一8x什萨kr k 3k2x 8x2 32x9k ，8册、 k k3k一(8x)2 sin(了)+18x+一8x2+面生f一志siill(8n8x 砷嘉+堕16xf一i 16刀7 J+了+(8万)2、 4万4Of一1 16l 1一f一16 41f三 (2一-25)一f一 ( )4 43 15一f4 1615f1因此由(2-8)式s(1)=l可求得尼=黑，由式(2-5)(2-6)，(2-7)可求 、口J-4出机器人的最大速度、加速度、冲击。由式(218)可以求出第J个关节完成给定的操作的最短时间。轨迹规划曲线的位移、速度、加速度、冲击图形如图2-3所示：加速
39、度曲线图 速度曲线图醚到 声IIII图2-3优化等速曲线这种轨迹规划曲线既保留了等速曲线最大速度值小的优点，又克服了两端速度不连续的缺点。24轨迹规划方法比较摆线运动曲线、345插值曲线、4567插值曲线图形如图2-4，图25，图26所示。北京邮电大学硕士学位论文甘壬加速度曲线田时同冲击曲线匣澎21 6簧，0 5速度曲线田 、7j r r一卜 ， 图2-4摆线运动曲线加速度曲线圈时可冲击曲线图速度曲线圈时间位移曲线图图2-5 3-4-5插值曲线加速度曲线图时间冲击曲线图320速度曲线图丁 Y夕 一0 0 5时间位移曲线图图2-6 4-5-6-7插值曲线14螂聊翼相爱潍掣醚剃醚蝌最潍攀北京邮电大
40、学硕上学位论文把摆线运动曲线、345插值曲线、4-5-67插值曲线、加速度函数为连续分段函数、组合正弦、优化等速这六种轨迹规划曲线进行对比可以得到图27，图28，图29，图210。图2-7 Jerk比较图2-8 加速度比较北京邮电大学硕士学位论文图2-9速度比较图2-10 位移比较等速运动曲线从运动线图以及运动方程的形式来看，这种运动规律是最简单，它的最大速度最小。在行程的起始和终止位置由于速度发生突变，所以加速度在理论上趋向无穷大，从而导致从动件产生非常大的冲击惯性力，这种惯性力能够使机器人系统产生强烈的冲击和振动。通常称这种冲击为刚性冲击。虽然实16北京邮电大学硕士学位论文际上，机器人系统
41、有一定的弹性，机器人不会产生理论上无穷大的惯性力，但对于机器人系统来说，仍会产生很大的冲击和振动。当载荷较大，速度较高时，很容易使机器人系统的工作性能变差，使用寿命降低。等加速度曲线的起始和终止位置速度不再发生突变，因而加速度也不是无穷大，而是一个有限值，这时从动件仍会产生冲击，只是这种惯性力的有限变化所产生的冲击和振动对机器人系统造成的影响，要比等速运动曲线的刚性冲击的影响小的多，一般称为柔性冲击。其最大特点是：加速度的最大值在所有规划曲线中最小的。梯形加速度曲线是由具有一定加速度的加速曲线、等速曲线，具有一定加速度的减速曲线等连接而成，该曲线的加速时间等于减速时间。345插值曲线、4567
42、插值曲线的加速度与速度曲线均连续，不产生刚性和柔性冲击。它们都是一条完整连续平滑的曲线，但随着多项式运动规律次数的增加，最大速度和最大加速度的值也有所增加。余弦加速度运动规律的特点是其加速度与位移成正比而反向。虽然其曲线是光滑的，但在起始点不连续，在开始与结束的瞬间，理论上存在加速度的有限突变，会引起两个柔性冲击。摆线运动的加速度与速度曲线均连续，不产生刚性和柔性冲击，按正弦曲线变化的加速度在机器人的起始位置和终止位置都为零，因此加速度不会发生突变。即这种运动曲线即没有刚性冲击，也没有柔性冲击，而且在中问部分的加速度变化也比较平滑，故运动比较平稳。在相同的技术条件下，摆线运动的最大加速度约为加
43、速度函数为连续分段函数的曲线的13倍，而两者的最大速度是相同的，但加速度函数为连续分段函数的曲线的冲击曲线高低不平，有较大的波动，不如摆线运动的冲击曲线平滑。345插值曲线的最大速度比其它几种曲线较小，只是其冲击曲线不太好，峰值较大。这几种函数的位移曲线几乎相同，差别不大。组合正弦函数的最大加速度和最大速度都是最小的，具有好的加速度曲线，但其冲击曲线高低不平，有较大的波动，峰值最大，不如摆线运动的冲击曲线平滑，这四种函数的位移曲线几乎相同，差别不大。如果限定电机的最大转速，则组合正弦函数完成给定的操作所用的时问最短，也是时间最优轨迹。机器人的时间最优轨迹规划是指以时间最短作为性能。同时组合正弦
44、函数完成给定的操作所用的时间最短，可以提高机器人的工作效率。前面的几种基本运动规律虽然都有各自的优点，但同时在上面也提到某些不足，甚至严重的缺点。根据各种具体的设计要求，组合型轨迹规划曲线是由几种不同的、简单的、基本的轨迹规划曲线拼接而成，从而得到运动特性值优良的一17北京邮电大学硕二b学位论文系列曲线，因而避免在运动的始、末位置发生刚性冲击或柔性冲击。通过对具体的组合曲线轨迹规划方法的分析和研究，可以得出进行组合曲线轨迹规划时必须遵循的几个原则：(1)选择一种基本的轨迹规划曲线作为主体轨迹规划曲线，然后在用其他类型的基本轨迹规划曲线与之组合，达到避免冲击，改善动力性能的目的。(2)在轨迹规划
45、曲线的起始点有较好的边界条件。在各段不同的轨迹规划曲线的连接点上，要满足位移、速度、加速度甚至是冲击的连续，即其运动曲线应平滑过渡。(3)各段不同的轨迹规划曲线要有较好的动力性能。当然，我们不仅可以使用简单的、基本的曲线进行组合，还可以使用复杂的、特性值优良的已有曲线进行组合。如前一部分使用摆线曲线，而后一部分使用组合正弦曲线等等，这样我们就可以根据不同运动要求规划我们需要的曲线。因此，就可以完全释放出每种曲线的优点，也为我们进行轨迹规划找到一种便捷和稳定可靠的途径。通过对以上九种曲线的分析和对比可以得到选择关节轨迹曲线的基本原则应该是：(1)速度和加速度的曲线一定要连续。(2)对于速度低质量
46、大的机器人速度的最大值应该小。(3)对于速度大质量小的机器人其加速度的最大值应该小。25轨迹规划注意的问题分析机器人常用轨迹规划曲线的特点和应用场合是进行机器人运动控制设计的基础。通常在轨迹规划曲线的选取或设计中，不仅要考虑满足运动学的要求，同时还要综合考虑机器人的工作转速、质量以及载荷的大小等多种因素，进行具体的分析。1根据工作要求选择或设计轨迹规划曲线当工作场合对机器人轨迹规划有特殊要求，且机器人转速不太高时，机器人轨迹规划曲线的选择或设计，应在满足工作要求的基础上，考虑动力特性等其他因素。如避免刚性冲击，改善系统的动力特性等。2兼顾运动学和动力特性两方面要求当工作场合对机器人轨迹规划有特
47、殊要求，且机器人转速比较高时，应兼顾运动学和动力特性两方面要求。3综合考虑轨迹规划曲线的各项特性指标在满足机器人系统工作要求的前提下，还应在仔细权衡轨迹规划曲线的各项特性指标优劣的基础上，选择或设计合理的机器人的轨迹规划曲线。对于高速运北京邮电大学硕士学位论文动的机器人系统，为了获得较好的动力学特性和控制系统的的残余振动，应选取冲击连续或冲击突变值较小的轨迹规划曲线；但同时必须兼顾最大速度值、最大加速度值不易过大。对于转速不太高的机器人系统，应选取加速度最大值较小的轨迹规划曲线，但同时要兼顾最大速度等相关指标不易过大。总之，在实际的工作中需要针对具体的问题，在综合考虑运动学、动力学等多方面因素
48、的基础上来选择或设计机器人系统的轨迹规划曲线。26本章小结本章丌展轨迹规划的理论研究，进行曲线的公式推导、对比、分析。主要分析了轨迹规划曲线特性的几个指标，进行轨迹规划时应该注意的问题，并针对具体的组合曲线轨迹规划方法进行公式推导，展开研究并进行仿真分析和对比，分析不同曲线的几个特性指标的优缺点。最后总结得出进行组合曲线的轨迹规划时的注意事项。本章的所有研究都是针对对称曲线展开的。19北京邮电火学硕士学位论文第三章非对称化的机器人轨迹规划方法研究由于机器人比较长，而且机器人末端要快速的实现某个动作。但是由于机器人关节具有比较低的共振频率，要实现动作而又要不引起冲击，不产生残留振动，为此对轨迹曲线进行非对称化。对轨迹规划曲线非对称化的目的：控制输入停止后的振动，控制残留振动，即快速运动，缓慢停止，把曲线后半部分进行平缓扩大，后半部分的加速度最大值得到大大的降低。因此它们的各项数据介于对称化的曲线之间，能够很好降低振动，但是曲线特别复杂，算法实现比较繁琐。非对称化的轨迹规划曲线有多种非对称化的比例可以选择，但大都比较复杂，加速与减速曲线2：3的比例具有一定的代表性，我选择这个比例进行分析和推理。当然，还可以把加速与减速曲线3：7的比例进行分析等等。31非
