1、盐城中学 2012 届高三年级第一次模拟考试数学试题(总分 160 分,考试时间 120 分钟)一 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 14 小 题 ,每 小 题 5 分 ,计 70 分 .不 需 写 出 解 答 过 程 ,请 把 答 案 写 在 答 题 纸的 指 定 位 置 上 .1设复数 满足 （ 是虚数单位） ，则复数 的模 =_2z()iiz2设集合 ，则 =_113,0xxABAB(1,)3若命题“ ”是假命题，则实数 的取值范围是 2,()Raa1a4等比数列 的首项为 1，若 成等差数列，则数列 的前 5 项和为 n1234,a1n_ 3165从长度分别为 2、3、4、5 的四条
2、线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是 _6一个社会调查机构就某地居民的月收入情况调查了 10000 人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图（如图所示）. 为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，再从这 10000 人中用分层抽样方法抽出 100 人作进一步调查，则在（元/月）收入段应抽出 人40250,37铁路客运部门规定甲、乙两地之间旅客托运行李的费用为：不超过 50 kg 按 0.53 元收费，超过 50 kg 的部分按 0.85 元 收费，相应收费系统的流程图如上图所示，则/kg/kg处应填 0.8516yxNY 输入 x50输出 y结束开始 xyF
3、ABO第 9 题0000500004000030000200001 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 月收入（元）频 率组 距 第 6 题 第 7 题8函数 在点 处的切线方程为 3()fxa(1,2) 42yx9已知 中，点 的坐标为 ，点 、 分别在图中抛物线 及圆FAB,0AB2的实线部分上运动，且 总是平行于 轴，那么 的周长的取值范2(1)4xyxFAB围为 (,6)10若 ，且 ，若 恒成立，则实数 的范围是 0,xy21xy2xymm 4m11已知如图，测量河对岸的塔高 时，可以选与塔底 在同一水平面内的两个测点ABB与 .测得 ， ， 米，并
4、在点 测得塔顶 的仰角为CD75oB60oDC3CA，则塔高 米60oA4212用大小一样的钢珠可以排成正三角形、正方形与正五边形数组，其排列的规律如下图所示： 正三角形阵列 正方形阵列 正五边形阵列每边 1 个钢珠每边 2 个钢珠每边 3 个钢珠每边 4 个钢珠已知 m 个钢珠恰好可以排成每边 个钢珠的正三角形数组与正方形数组各一个；若用这 mn个钢珠去排成每边 个钢珠的正五边形数组时 ， 就会多出 9 个钢珠 ， 则 m 126n13已知点 是直线 上任意一点，以点 、 为焦点的椭0,Pxy2x1,0A,B圆过点 P记椭圆离心率 关于 的函数为 ，则函数 的最大值是 e00exex1051
5、4函数 满足： ，并且当()1,)yfxR (3)(ff，则集合 中最小的元素是 13|2|x 时 ， |)(201)Mxf418第 11题二、解答题：本大题共 6 小题，计 90 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内.15已知向量 (1cosB， sinB)与向量 =（0，1）的夹角为 ，其中 A、B、C 为mn3ABC 的三个内角。（1）求角 B 的大小；（2）若 AC ，求 ABC 周长的最大值。23解：（1）cos=cos ，mn21sin|(1co)1mnB 2sin1co4B即 2cos2B+cosB-1=0， cosB= 或 cosB=
6、-1（舍）而 B（ 0， ） ， B=2 3（2）令 AB=c，BC=a，AC=b，ABC 的周长为 ，则 =a+c+l23而 a=b ， c=b , = =sinABsi()3nABl 2sin()si3bAB2234i()=sco234cos()33AAA（0 ， ） ， A- ，当且仅当 A= 时， 。(,)max23463l16在边长为 的正方形 ABCD 中，E、F 分别为 BC、CD 的中点，M、N 分别为6cmAB、CF 的中点，现沿 AE、AF 、EF 折叠，使 B、C 、D 三点重合，构成一个三棱锥（1）判别 MN 与平面 AEF 的位置关系，并给出证明；（2）求多面体 E-
7、AFNM 的体积4717某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得 10 万元到 1000 万元的投资收益。现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金 y（单位：万元）随投资收益 x（单位：万元）的增加MNFEB CA DAEFM NB而增加，且奖金不超过 9 万元，同时奖金不超过投资收益的 20%。（1） ，若建立函数 模型制定奖励方案，试用数学语言表述该公司对奖励函数()yfx模型的基本要求，并分析函数 是否符合公司要求的奖励函数模型，()fx 2150xy并说明原因；（2）若该公司采用模型函数 作为奖励函数模型，试确定最小的正整数 a3ax的值。18已知半椭圆 和半圆 组成曲线
8、，其中21(0)xyba22(0)xybC；如图，半椭圆 内切于矩形 ，且 交 轴于点 ，0a2()ABDyG点 是半圆 上异于 的任意一点，当点 位于点P22(0)xybA、 P时， 的面积最大。63(,)MAGP（1）求曲线 的方程；C（2）连 、 交 分别于点 ，求证： 为定值。PDABEF、 2AEBF解：（1）已知点 在半圆 上，63(,)M22(0)xyb所以 ，又 ，所以 ， 226()3b01当半圆 在点 处的切线与直线 平行时，点 到直线 的距离最22(xyPAGPAG大，此时 的面积取得最大值，AGP故半圆 在点 处的切线与直线 平行，22(0)bM所以 ，又 ，所以 ，又
9、 ，所以OM2Oykx2AGakb1，2a所以曲线 的方程为 或 。 C21(0)yx21(0)xy（2）点 ，点 ，设 ，则有直线 的方程为(1,),D0,PPC，02yx令 ，得 ，所以 ； 直线 的方程为0(1)2Ey02(1)xAEyPD，02()1yx令 ，得 ，所以 ； 021Fy02(1)xBFy则 ，2 2200()()xAEB20048()2y又由 ，得 ，代入上式得201xy2200y，200848()024()8y204()84y所以 为定值2AEBF19已知数列 首项 ，公比为 的等比数列，又 ，常数na3131tabnn3log15，数列 满足 ，Ntcnba（1）
10、、求证 为等差数列；nb（2） 、若 是递减数列，求 的最小值；（参考数据： ）t 42.13（3） 、是否存在正整数 ，使 重新排列后成等比数列，若存在，求 的值，k21,kkCtk,若不存在，说明理由。解：（1）由题意知， ，因为 ，3nna 1135log5nnab315log5bt数列 是首项为 ，公差 的等差数列 n1btd（2）由（1）知， ， ，n31()nnct恒成立，即 恒成立，13350ntct 351t因为 是递减函数，所以，当 n=1 时取最大值，()1fn，（ ）max356.42.1因而 ，因为 ，所以 6.ttN7t（3）记 ， ，k33()kkkcx，11133
11、(5)5kkctx 2223311(50)(0)kkctx、若 是等比中项，则由 得k 12kkc 22333)(kkkxx化简得 ，解得 或 （舍） ，2150x0x5所以 ，因而 及 nt5ntnt、若 是等比中项，则由 得1kc 21kkc化简得22333(0)kxx，显然不成立25x、若 是等比中项，则由 得2kc 21kkc 12433311(5)0kk kxx化简得 ，因为 不是完全不方数，因而，x 的值10x540是无理数，显然不成立综上：存在 适合题意。,t20已知函数 .2),(01xff（1）求函数 在定义域上的单调区间；)(xf（2）若关于 x 的方程 恰有两个不同实数解
12、，求实数 a 的取值范围；0af（3）已知实数 若不等式 在.1,1,221x且 12()lnfxxp上恒成立，求实数 p 的最小值(0,)x解：（1）当 是常数，不是单调函数；1 分53)(,fxf时当 22)1(,1)(,20 xffx 时 2)1(x函数 的单调递增区间是： ；单调递减区间是： )(xf )12,0()2,1(（2）由（1）知， 方程53),21),1)(max ffff恰有两个实数解，等价于直线 与曲线 恰有两个交点，0)(axf ay(xfy,21（3）解法一： ,56)21(,211 fxx有时当成立56)(21fxf此 时 有下面先证 x先求函数 在 处的切线方程
13、)20(1)(2f 1x切线方程为,54k )8(254)(546xyy下面证明： 成立07932)8(2)( xxxf 1,021令 ，则)10(7294)(3xxg )10(29641)(2xxg易得 递增，在 单调递减， )1,0在 , .)mag成立0(7294)8(25)( 3xxxxf ),8)5(4 21211 当且仅当 时取等号，36)22)()()25421 121x,536)(max1fx min)l(px设 令 当,1)(,ln)hph 且则 ,1,0)( pxg得单调递减；当 时， 单调递,0)(,1xgpx时 px)(,g此 时半.1)()(minph要使不等式 时恒
14、成立),()ln(21 pxxfx在只需 ， 251,36,)(min 得 251的 最 小 值 为实 数解法二： 1)(221 xxf 212121212121 367)(365036)(36 55)(5 xxxx （*）722令 4,0()2(, 1211 txxxt 时 取 等 号函数 上单调递减，4,0736)(2在ttg（*）成立， 2914t 2536)(max21fx以下同解法一解法三： 21212121)( xxxfx 21211)(xx 21x令 )(, 2122121 时 取 等 号t41,0t0)(6)()(2221 tttxf令 610,4921 sxsxfsts上单调
15、递减，,210在sy349miny以下同解法一。.253641)(max21 fx盐城中学 2012 届高三年级第一次模拟考试数学附加题部分（本部分满分 40 分，考试时间 30 分钟）21选做题 在 A、B、C 、 D 四小题中只能选做 2 题,每小题 10 分,计 20 分.请把答案写在答题纸的指定区域内.A.（选修 41：几何证明选讲）如图，在梯形 中， BC，点 ， 分别在边 ， 上，设 与 相EFABCDEAF交于点 ，若 ， ， ， 四点共圆，求证：GBF AFDE21A、解：证明：连结 EF， 四点共圆，BCFE, 2 分BCEFD ， 180， 180 ABADEFG F E
16、DCB A（第 21A 题） 6 分 四点共圆8 分 交 于点ADFE, EDAFG， 10 分 GB （选修 42：矩阵与变换）求使等式 成立的矩阵 01 35-MB.解：设 ，mnpq则 5 分2 4 01 35-2npq则 ，5npq3即 10 分123MC （选修 44：坐标系与参数方程）已知直线 的参数方程： （ 为参数）和圆 的极坐标方程：l12xtyC)4sin(2（）将直线 的参数方程化为普通方程，圆 的极坐标方程化为直角坐标方程；l（）判断直线 和圆 的位置关系CC解：（）消去参数 ，得直线 的普通方程tl为 3 分12xy即 ，两边同乘以 得)4(sin)cos(in2，c
17、o2消去参数 ，得 的直角坐标方程为： C2)1()(2x6 分（）圆心 到直线 的距离 ，所以直线 和 相l 512| dlC交10 分D.（选修 45：不等式选讲）已知函数 . 若不等式 恒成()1fxx=-+()abafx+-0,)abR立，求实数 的范围. D解：由 |，且 a0，()abafx-得 3 分|()abfx又因为 ，则有| |2|abab2 6 分()fx解不等式 ，12x得 10 分15 一投掷飞碟的游戏中，飞碟投入红袋记 2 分，投入蓝袋记 1 分，未投入袋记 0 分经过多次试验，某人投掷 100 个飞碟有 50 个入红袋，25 个入蓝袋，其余不能入袋（1）求该人在
18、4 次投掷中恰有三次投入红袋的概率；（2）求该人两次投掷后得分 的数学期望 E解（1） “飞碟投入红袋” ， “飞碟投入蓝袋” ， “飞碟不入袋”分别记为事件 A，B，C则 41025)(,2105)( CPBAP因每次投掷飞碟为相互独立事件，故 4 次投掷中恰有三次投入红袋的概率为-4 分)()3(344C（2）两次投掷得分 的得分可取值为 0，1，2，3，4 则： 16)()0(CP842)()1(2PB 5)(12BAPC；3CA4(-10 分2513658160E23 （本小题满分 10 分） 现有三种卡片：一种写有数字 ，一种写有数字 ，一种写有数字 ，从上述三种1010卡片中选择若干张，使得这些卡片上的数字总和为 .m当 ，试求相应的选法种数；0m对于正整数 ，数字总和为 对应的选法种数为 ，试用数学归纳法归纳猜想 并n10nnana证明答：（1）12 种（2） 从而得1na2561na
