1、- 1 -第 13 练 以函数为背景的创新题型题型一 新定义函数名称的问题例 1 定义在(，0)(0，)上的函数 f(x)，如果对于任意给定的等比数列 an，f(an)仍是等比数列，则称 f(x)为“保等比数列函数” 现有定义在(，0)(0，)上的如下函数： f(x) x2； f(x)2 x； f(x) ；|x| f(x)ln | x|.则其中是“保等比数列函数”的 f(x)的序号为_破题切入点 准确把握严格按照“保等比数列函数”的概念逐个验证答案 解析 等比数列性质， anan2 a ，2n 1 f(an)f(an2 ) a a ( a )2 f2(an1 )；2n 2n 2 2n 1 f(
2、an)f(an2 )2 2 2 f2(an1 )； f(an)f(an2 ) 2|anan 2| |an 1| f2(an1 )； f(an)f(an2 )ln | an|ln |an2 |(ln | an1 |)2 f2(an1 )题型二 新定义函数的性质或部分性质问题例 2 设函数 f(x)的定义域为 D，如果对于任意的 x1 D，存在唯一的 x2 D，使得 C 成立(其中 C 为常数)，则称函数 y f(x)在 D 上的均值为 C.现在给出下列 4fx1 fx22个函数： y x3； y4sin x； ylg x； y2 x.则在其定义域上的均值为 2 的所有函数是_破题切入点 如何求均
3、值？按定义，能否使均值为 2?答案 解析 经验证，是符合题意的；对于， x2不唯一；对于，若满足题中的定义，则f(x1) f(x2)4， f(x2)4 f(x1)，由 x1的任意性，知 f(x2)需满足能取到负值，而这是不可能的- 2 -总结提高 有关以函数为背景的创新题型，一般是先叙述或新规定一些条件，若满足这些条件则该函数为该类函数或具有该性质，解决办法是根据我们所学过的其他函数的有关意义和性质来逐个验证加以解决，注意严格准确把握新定义1设 D( x， y)|(x y)(x y)0，记“平面区域 D 夹在直线 y1 与 y t(t1,1)之间的部分的面积”为 S，则函数 S f(t)的图象
4、的大致形状为_答案 解析 如图，平面区域 D 为阴影部分，当 t1 时， S0，排除；当 t 时， S Smax，排除12 14.2设函数 f(x)与 g(x)是定义在同一区间 a， b上的两个函数，若对任意的 x a， b，都有| f(x) g(x)| k(k0)，则称 f(x)与 g(x)在 a， b上是“ k 度和谐函数” ， a， b称为“k 度密切区间” 设函数 f(x)ln x 与 g(x) 在 ，e上是“e 度和谐函数” ，则 mmx 1x 1e的取值范围是_答案 1，e1解析 设 h(x) f(x) g(x)ln xmx 1x m ln x，1xh( x) ，1x2 1x x
5、1x2故当 x ，1)时， h( x) 1，1e所以 h( )h(e)，1e故函数 h(x)的最大值为 h( ) me1.1e故函数 h(x)在 ，e上的值域为 m1， me11e由题意，得| h(x)|e，即e h(x)e，所以Error! 解得1 m1e.3(2014苏州模拟)对于函数 f(x)，若任意的 a， b， cR， f(a)， f(b)， f(c)为某一三角形的三边长，则称 f(x)为“可构造三角形函数” 已知函数 f(x) 是“可构造三角形ex tex 1函数” ，则实数 t 的取值范围是_答案 ，212解析 因为对任意的实数 x1， x2， x3R，都存在以 f(x1)， f
6、(x2)， f(x3)为三边长的三角形，故 f(x1) f(x2)f(x3)对任意的 x1， x2， x3R 恒成立由 f(x) 1 ，ex tex 1 t 1ex 1设 ex1 m(m1)，则原函数可化为 f(m)1 (m1)，t 1m当 t1 时，函数 f(m)在(1，)上单调递减，所以 f(m)(1， t)，此时 2f(x3)对任意的x1， x2， x3R 恒成立，需 t2，所以 1f(x3)对任意的 x1， x2， x3R 恒成立，需满足 2t1，所以 t0，1x 2x2即函数 f(x)在(0，)上单调递增由 f(2)ln 210，2e知 x0(2，e)， x02.6(2014辽宁改编
7、)已知定义在0,1上的函数 f(x)满足： f(0) f(1)0；对所有 x， y0,1，且 x y，有| f(x) f(y)|g(x)恒成立，则实数 b 的取值范围是_答案 (2 ，)10解析 由已知得 3 x b，所以 h(x)6 x 2b .h(x)g(x)恒成立，即hx 4 x22 4 x26x2 b ，3 x b 恒成立4 x2 4 x2 4 x2在同一坐标系内，画出直线 y3 x b 及半圆 y (如图所示)，可得 2，即4 x2b10b2 ，故答案为(2 ，)10 1011若两个函数的图象经过若干次平移后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数，给出四个函数： f1(x)2log
8、2 x， f2(x)log 2 (x2)， f3(x)(log 2 x)2， f4(x)log 2(2x)则“同形”函数是_答案 f2(x)与 f4(x)解析 f4(x)log 2(2x)1log 2x，将其向下平移 1 个单位得到 f(x)log 2x，再向左平移2 个单位，即得到 f2(x)log 2(x2)的图象故根据新定义得， f2(x)log 2 (x2)与 f4(x)log 2 (2x)为“同形”函数12已知集合 A1,2,3，2 n(nN *)对于 A 的一个子集 S，若 S 满足性质 P：“存在不大于 n 的正整数 m，使得对于 S 中的任意一对元素 s1， s2，都有| s1
9、 s2| m”，则称 S 为理想集对于下列命题：当 n10 时，集合 B x A|x9是理想集；当 n10 时，集合 C x A|x3 k1， kN *是一个理想集；当 n1 000 时，集合 S 是理想集，那么集合 T2 001 x|x S也是理想集其中的真命题是_(写出所有真命题的序号)- 8 -答案 解析 根据元素与集合的关系，根据理想集的定义逐一验证，集合的元素是否具有性质 P，并恰当构造反例，进行否定(1)当 n10 时， A1,2,3，19,20， B x A|x910,11,12，19,20因为对任意不大于 10 的正整数 m，都可以找到该集合中两个元素 b110 与 b210
10、m，使得|b1 b2| m 成立因而 B 不具有性质 P，不是理想集，故为假命题(2)对于 C x A|x3 k1， kN *，因为可取 m110，对于该集合中任意一对元素c13 k11， c23 k21， k1， k2N *，都有| c1 c2|3| k1 k2|1.故 C 具有性质 P，为真命题；(3)当 n1 000 时，则 A1,2,3，1 999,2 000，因为 T2 001 x|x S，任取t2 001 x0 T，其中 x0 S， SA，所以 x01,2,3， ，2 000，从而 12 001 x02 000，即 t A，所以 TA.由 S 具有性质 P，就是存在不大于 1 000 的正整数 m，使得对 S 中的任意一对元素 s1， s2，都有| s1 s2| m.对于上述正整数 m，从集合 T2 001 x|x S中任取一对元素 t12 001 x1， t22 001 x2，其中 x1， x2 S，则有|t1 t2| x1 x2| m，所以集合 T2 001 x|x S具有性质 P，为真命题故填.
