1、- 1 -静安区高三第一学期数学静安区 2012 学年高三年级第一学期期末教学质量检测数学试卷（文理科合并）（试卷满分 150 分 考试时间 120 分钟） 2013.1一、填空题（本大题满分 56 分）本大题共有 14 题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分1已知函数 的最小正周期为 ，则正实数 = .)72sin(1)(axxf 4a2等比数列 （ ）中，若 ， ，则 .na*N16225a123 （理）两条直线 和 的夹角大小为 .0943:1yxl 03:yxl（文）求和： = .（ ）nnnCC3732 *Nn4 （理）设圆过双曲线 的
2、一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双169yx曲线中心的距离是 .（文）同理 35 （理）某旅游团要从 8 个风景点中选两个风景点作为当天上午的游览地，在甲和乙两个风景点中至少需选一个，不考虑游览顺序，共有 种游览选择（文）设 ， 满足条件 则点 构成的平面区域面积等于 .xy,13yx),(yx6 （理）求和： = .（ ）nnnCC321 *Nn（文）设 满足约束条件 使目标函数 的值最大的点 坐标是 .yx,403,125yxyxz56),(yx7 （理）设数列 满足当 （ ）成立时，总可以推出 成立下na2n*N21)(na列四个命题：（1）若 ，则 93164- 2 -静
3、安区高三第一学期数学（2）若 ，则 103a25（3）若 ，则 564（4）若 ，则 2)(n21na其中正确的命题是 .（填写你认为正确的所有命题序号）（文）设圆过双曲线 右支的顶点和焦点，圆心在此双曲线692yx上，则圆心到双曲线中心的距离是 .8 （理）已知曲线 的极坐标方程为 若以极点为原点，极Csin4轴为 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线 的参数方程为x l（ 为参数） ，则此直线 被曲线 截得的线段长度为 .23,tyt C（文）同理 59 （理）请写出如图的算法流程图输出的 S 值 .（文）已知 ，关于 的不等式 的解集是 .0ax04)1(2xax10 （理）已知 、 为锐
4、角，且，则 = .2sinco1sinco1 tan（文）已知 、 为锐角，且 ，则2)t1)(ta(= .ta11 （理）机器人“海宝”在某圆形区域表演“按指令行走” 如图所示， “海宝”从圆心 出发，先沿北偏西 方向行走 13 米至O132arcsin点 处，再沿正南方向行走 14 米至点 处，最后沿正东方向行走至点 处，点 、 都在圆ABCB上则在以圆心 为坐标原点，正东方向为 轴正方向，正北方向为 轴正方向的直角坐标Oxy系中圆 的方程为 .OB C北南ANS理第 11题s 1 0 0YN开 始结 束输 出 sn 0 , a 1 / 9 , s 0 s s + an n + 1a 3
5、* a理第 9 题- 3 -静安区高三第一学期数学（文）数列 的前 项和为 （ ） ，对任意正整数 ，数列 的项都满足na2nS*Nnnb等式 ，则 = .02211nbb12 （理）过定点 作直线 交 轴于 Q 点，过 Q 点作 交 轴于 T 点，延长),4(FlyTFxTQ 至 P 点，使 ，则 P 点的轨迹方程是 .QT（文）同理 1113 （理）已知直线 （其中 为实数）过定点 ，点 在函数0)1(4)()1( ayxaaPQ的图像上，则 连线的斜率的取值范围是 .xyP（文）设 是函数 （ ）的图像上任意一点，过点 分别向直线 和 轴作xy20 xy垂线，垂足分别为 、 ，则 的值是
6、 .AB14 （理）在复平面内，设点 A、P 所对应的复数分别为 、i（ 为虚数单位） ，则当 由 连续变到 时，向量 所扫过的)32sin()32cos(tt it124AP图形区域的面积是 .（文）设复数 （ 为虚数单位） ，若对任意实数 ， ，则iaaz)sn()co( 2z实数 的取值范围为 .a二、选择题（本大题满分 20 分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得 5 分，否则一律得零分. 15 （理）若复数 ，则 是 成立的（ ）021z21z1z(A) 充要条件 (B) 既不充分又不必要条件 (C) 充分不必要条件 (D
7、) 必要不充分条件（文）某地区的绿化面积每年平均比上一年增长 10.4%，经过 x 年，绿化面积与原绿化面积之比为 y，则 y=f(x)的图像大致为 （ ）- 4 -静安区高三第一学期数学16 （理）等差数列 中，已知 ，且 ，则数列 前 项和na10573a1na（ ）中最小的是（ ）nS*N(A) 或 (B) (C) (D)7812S13S14S（文）同理 1517 （理）函数 的值域为（ ）)5,(6)(2xxf(A) (B) (C) (D) 3,2,3,74,37（文）函数 的值域为 （ ）)3,1(42)(xxf(A) (B) (C) (D) 3,25,3,74,3718 （理）已知
8、 是 外接圆的圆心， 、 、 为 的内角，若OABCABC，则 的值为 （ ）mCB2sincosi(A) 1 (B) (C) (D) sicosAtan（文）已知向量 和 满足条件： 且 .若对于任意实数 ，恒有abab0，则在 、 、 、 这四个向量中，一定具有垂直关系的两个向bta量是（ ）(A) 与 (B) 与 (C) 与 (D) 与baabba三、解答题（本大题满分 74 分）本大题共 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .- 5 -静安区高三第一学期数学19 （理） （本题满分 12 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 7 分，第 2 小题满
9、分 5 分某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施该设施的下部 ABCD 是矩形，其中 AB=2 米，BC=1米；上部 CDG 是等边三角形，固定点 E 为 AB 的中点 EMN 是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风） ，MN 是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和 AB 平行的伸缩横杆 （1）设 MN 与 AB 之间的距离为 x米，试将EMN 的面积 S（平方米）表示成关于 x 的函数； （2）求EMN 的面积 S（平方米）的最大值（文） （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分已知数列 的递推公
10、式为na. ),(,31 *aNnn（1）令 ，求证：数列 为等比数列；bnnb（2）求数列 的前 n 项和 .a20 （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 7 分，第 2 小题满分 7 分（理）已知 a，b，c 分别为 三个内角 、 、 所对的边长，a，b，c 成等比数ABCBC列（1）求 B 的取值范围；（2）若 x = B，关于 x 的不等式 cos2x4sin( )sin( )+m0 恒成立，求实数 m 的取24x值范围（文）已知 分别为 三个内角 、 、 所对的边长，且cba,ABCBCa53osc（1）求： 的值；tan（2）若 ， ，求 、 06AcabE
11、A BGNDMC（理 19 题）- 6 -静安区高三第一学期数学21 （理） （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分已知数列 的各项均为非零实数，且对于任意的正整数 ，都有na n3321221)( na（1）当 时，求所有满足条件的三项组成的数列 、 、 ；3 1a23（2）试求出数列 的任一项 与它的前一项 间的递推关系.是否存在满足条件的无nann穷数列 ，使得 ？若存在，求出这样的无穷数列 的一个通项公式；若不na20113n存在，说明理由（文） （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 8 分，第 2 小题满
12、分 6 分某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施该设施的下部 ABCD 是正方形，其中 AB=2 米；上部 CDG 是等边三角形，固定点 E 为 AB 的中点EMN 是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风） ，MN 是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和 AB 平行的伸缩横杆 （1）设 MN 与 AB 之间的距离为 x米，试将EMN 的面积 S（平方米）表示成关于 x 的函数； （2）求EMN 的面积 S（平方米）的最大值22 （本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 5 分，第 3 小题满分 7 分已知椭
13、圆 的两个焦点为 、 ， 是 与 的等差中项，其12byax)0,(1cF),(22ca2bGEA BND M C（文 21 题）- 7 -静安区高三第一学期数学中 、 、 都是正数，过点 和 的直线与原点的距离为 abc),0(bA),(aB23（1）求椭圆的方程；（2） （理）点 是椭圆上一动点，定点 ，求 面积的最大值；P)2,(11PAF（文）过点 作直线交椭圆于另一点 ，求 长度的最大值；AM（3）已知定点 ，直线 与椭圆交于 、 相异两点证明：对任意的)0,1(EtkxyCD，都存在实数 ，使得以线段 为直径的圆过 点0tkCDE23 （理） （本题满分 18 分）本题共有 3 个
14、小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3小题满分 8 分函数 ， ，其中 若对任意 ， ，则称)(xfyDDx)(xff在 内为对等函数f（1）指出函数 ， ， 在其定义域内哪些为对等函数；xy3xy2（2）试研究对数函数 （ 且 ）在其定义域内是否是对等函数？若是，alog01a请说明理由；若不是，试给出其定义域的一个非空子集，使 在所给集合内成为对等xyalog函数；（3）若 ， 在 内为对等函数，试研究 （ ）的奇偶性D0)(xfy)(fD（文） （本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6
15、分已知 ，当点 在 的图像上运动时，点 在函数xf21log)(),(yxM)(xf),(nyxN的图像上运动（ ） xgyn *Nn（1）求 的表达式；)(n（2）若方程 有实根，求实数 的取值范围；)21axga- 8 -静安区高三第一学期数学（3）设 ，函数 （ ）的值域为)(2xgnnH)()(11xgHFbxa0，求实数 ， 的值lo,lg4252abab- 9 -静安区高三第一学期数学高三年级 文理科数学试卷答案及评分标准说明1.本解答列出试题的一种解法,如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中评分标准的精神进行评分.2.评阅试卷,应坚持每题评阅到底,不要因为考生的解答中出现错误
16、而中断对该题的评阅,当考生的解答在某一步出现错误,影响了后继部分,但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时,可视影响程度决定后面部分的给分,这时原则上不应超过后面部分应给分数之半,如果有较严重的概念性错误,就不给分.3.第 19 题至第 23 题中右端所注的分数,表示考生正确做到这一步应得的该题的累加分数. 4.给分或扣分均以 1 分为单位.答案及评分标准1 ； 264； 3 （理） ；（文）4a 653arcos14n4 （理） ；（文）同理 3 5 （理）13；（文） 2 6 （理） ；（文）36 12n),2(7 （理） （2） （3） （4） ；（文） 8 （理）4；（文）同理 5
17、9 （理） ；（文）316 03),(a10 （文理）1； 11 （理） ；（文） ； 12 （理）252yx142nb；（文）同理 11xy6213 （理） ；（文）1 14 （理） ；（文）),36.5,15 （文理）D； 16 （理）C ；（文）D ； 17 （文理）A ；18 （文理）B 19（理）解：（1）如图 1 所示，当 MN 在矩形区域滑动，即 0x1 时， EMN 的面积 S= = ； 1 分x2ENGDMA BC图 1- 10 -静安区高三第一学期数学如图 2 所示，当 MN 在三角形区域滑动，即 1x 时，3如图，连接 EG，交 CD 于点 F，交 MN 于点 H， E
18、为 AB 中点， F 为 CD 中点，GFCD ，且 FG .3又 MNCD， MNGDCG ，即 4 分GHDCMN213x故EMN 的面积 S ； 6 分x)1(32综合可得： 7 分203113xSx， （2） 当 MN 在矩形区域滑动时， ，所以有 ； 8 分xS10S当 MN 在三角形区域滑动时，S= .x)(2因而，当 （米）时，S 得到最大值，最大值 S= （平方米）. 231x 32 ， S 有最大值，最大值为 平方米. 12 分3（文）解：（1） ，1111 3)(332 nnnnn baaab2n又 ，所以 （ ） ，11ab0n*N)2(1bn所以，数列 是以 1 为首项
19、 3 为公比的等比数列 6 分n（2） ， 8 分3bn所以数列 的前 n 项和 = a )21()(21 nbSn 213nEA BGNDMC图 2HF- 11 -静安区高三第一学期数学14 分20（理）解：（1）a、b、c 成等比数列，b 2=ac 1 分则 cosB= = 3 分b2ac2而 a2+c22ac cosB= ，等号当且仅当 a=c 时取得，即 cosB1，得212到 7 分30（2）cos2x 4sin( )sin( )=cos2x4sin( )cos( 24x)24xx=2cosx22cosx1=2(cosx )2 11 分13x=B cos x12(cosx )2 3则
20、由题意有：m 即 m 14 分（说明：这样分离变量 参照评分）1cos22cosxx（文）解：（1）由正弦定理 得 ，2CBbAainiin CABAsin53coini 分又 ，所以 ，5 分BACscos)sin(i i8si52可得 7 分4coita（2）若 ，则 ， ， ，得 ，可得0623sin21cosA3tan43tanB， 10 分194cosB19B，38195sincosin)i(in BAC由正弦定理 得CBbaiisi， 14 分19nc 2sinc21（理）解：（1）当 时， ，由 得 1 分312a011a- 12 -静安区高三第一学期数学当 时， ，由 得 或
21、当 时，2n3221)(a022a123n，若 得 或 ；若 得 ； 5 分33)1(a32a1综上讨论，满足条件的数列有三个：1，2，3 或 1，2，2 或 1，1，1 6 分（2）令 ，则 （ ） nnaaS21 33212naaS *N从而 7 分332)( n两式相减，结合 ，得 8 分01n 1n当 时，由（1）知 ；当 时， = ，a)(1nnSa )()(212nnaa即 ，所以 或 12 分)(1nna1又 ， ，所以无穷数列 的前 2012 项组成首项和公差均为 1 的等差数列，1203 n从第 2013 项开始组成首项为2012，公比为1 的等比数列故 14 分)()nna
22、（说明：本题用余弦定理，或者正弦定理余弦定理共同使用也可解得，请参照评分）（文）解：（1）如图 1 所示，当 MN 在正方形区域滑动，即 0x2 时， EMN 的面积 S= = ； 2 分x2如图 2 所示，当 MN 在三角形区域滑动，即 2x 时，3如图，连接 EG，交 CD 于点 F，交 MN 于点 H， E 为 AB 中点， F 为 CD 中点，GFCD ，且 FG .3又 MNCD， MNGDCG ，即 5 分GFHDCMN3)2(x故EMN 的面积 S )(1 E NGDMA BC图 1EA BGNDMC图 2HF- 13 -静安区高三第一学期数学 ； 7 分xx)321(综合可得：
23、 8 分32,)321(0, xxS说明：讨论的分段点 x=2 写在下半段也可（2） 当 MN 在正方形区域滑动时， ，所以有 ； 10 分S20S当 MN 在三角形区域滑动时，S= .xx)31(2因而，当 （米） ，S 在 上递减，无最大值， 231x,(20S所以当 时，S 有最大值，最大值为 2 平方米. 14 分22解：（1）在椭圆中，由已知得 1 分2bac过点 和 的直线方程为 ，即 ，该直线与原点的距离),0(bA),(aB1yx0yx为 ，由点到直线的距离公式得： 3 分23 232ba解得： ；所以椭圆方程为 4 分1,2ba 13yx（2） （理） ，直线 的方程为 ，
24、，当椭圆上的点 到)0,(1F1AF261AFP直线 距离最大时， 面积取得最大值 6 分AP设与直线 平行的直线方程为 ，将其代入椭圆方程 得：1 dxy2132yx， ，即 ，解得 ，当02372dx0283872d时，椭圆上的点 到直线 距离最大为 ，此时 面积为dP1AF71PAF9 分21437261- 14 -静安区高三第一学期数学（文）设 ，则 ， ，其中),(yxM)1(322y 42)1(22 yyxAM6 分1当 时， 取得最大值 ，所以 长度的最大值为 9 分2y2A923（3）将 代入椭圆方程，得 ，由直线与椭圆有两个交tkx 06)31(2tkx点，所以 ，解得 11
25、 分0)(12)6(2tkt 312设 、 ，则 ， ，因为以 为直径的圆),(1yxC),(2yxD22136ktx221)(ktx CD过 点，所以 ，即 ， 13 分E0 0)(2121y而 = ，所以)(2121tkxty2txtkx，解得 14 分01363)( 22 ttk tk32如果 对任意的 都成立，则存在 ，使得以线段 为直径的圆过 点12t0t CDE，即 所以，对任意的 ，都存在 ，9)(3)( 222 ttt 312tk0tk使得以线段 为直径的圆过 点 16 分CDE23（理）解：（1） ， 是对等函数； 4 分xy3（2）研究对数函数 ，其定义域为 ，所以 ，又
26、，alog),0(xaalogl0la所以当且仅当 时 成立所以对数函数 在其定义域0lxa)(xff y内不是对等函数 6 分),0(当 时，若 ，则 ，此时 是对等函数；11,(x0logxaxyalog- 15 -静安区高三第一学期数学当 时，若 ，则 ，此时 是对等函数；1a),x0logxaxyalog总之，当 时，在 及其任意非空子集内 是对等函数；当 时，在01,( 1a及其任意非空子集内 是对等函数 10 分),xyal（3）对任意 ，讨论 与 的关系Dx)(f)f1）若 不关于原点对称，如 虽是对等函数，但不是奇函数或偶函数； 11 分xy2）若 ，则 当 时， 既是奇函数又
27、是偶函数；当00)(ff 0)(f)(xf时， 是偶函数 13 分)(f)(x3）以下均在 关于原点对称的假设下讨论D当 时， ；0x0)()(xfff当 时， ，若 ，则有 ；此时，当x)(xff)(xff时， ，令 ，则 ，且 ，由前面讨论知， ，从而xttxtf；)(f综上讨论，当 时，若 ，则 是偶函数 15 分0x0)(xf)(xf若当 时， ，则 ；此时，当 时，)(f )(xf0x，令 ，则 ，且 ，由前面讨论知， ，从而xtxt)(tft；)()(ff若 ，则对任意 ，都有 0Dx)()(xff综上讨论，若当 时， ，且 ，则 是奇函数若 ，则0)(f00)(f不是奇函数也不是偶函数 18 分)(xf（文）解：（1）由 得 ，所以)2(,xgnyf xnfxn 21log)(- 16 -静安区高三第一学期数学， （ ） 4 分)2(log)(1xnx（2） ，即 （ ） 6 分)(l212aax202，令 ，所以 ，当 时， 即xa0xt 49t7x49a实数 的取值范围是 10 分49,(（3）因为 ，所以 nxnnH)2(12)log1)2(log1)(1xxF在 上是减函数 12 分)(xF,所以 即 ，所以 16 分2log)(542ba2log)2(log1ll51421bbaa3,2ba
