1、1导数与导函数的概念(1)函数 yf(x)在 xx 0 处的瞬时变化率是 ，我们称它为函limx 0yx lim x 0fx0 x fx0x数 yf(x) 在 xx 0 处的导数，记作 f(x 0)或 y|xx 0，即 f(x 0) limx 0 yx lim x 0.fx0 x fx0x(2)如果函数 yf(x )在开区间(a，b) 内的每一点处都有导数，其导数值在 (a，b)内构成一个新函数，这个函数称为函数 yf (x)在开区间内的导函数记作 f( x)或 y.2导数的几何意义函数 yf(x) 在点 x0 处的导数的几何意义，就是曲线 yf(x)在点 P(x0，f(x 0)处的切线的斜率
2、k，即 kf(x 0)3基本初等函数的导数公式基本初等函数 导函数f(x)c(c 为常数) f(x )0f(x)x (Q *) f(x)x 1f(x)sin x f( x)cos_xf(x)cos x f(x) sin_xf(x)e x f(x)e xf(x)a x(a0，a1) f(x) axln_af(x)ln x f(x )1xf(x)log ax(a0，a1) f(x)1xln a4.导数的运算法则若 f(x )，g(x)存在，则有(1)f(x)g(x)f(x)g(x) ；(2)f(x)g(x)f(x )g(x)f(x) g(x)；(3) (g(x)0) fxgx f xgx fxg
3、xgx25复合函数的导数复合函数 yf(g(x)的导数和函数 yf (u)，ug( x)的导数间的关系为 yxy u ux，即 y对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打 “”或“”)(1)f(x 0)与(f( x0)表示的意义相同 ( )(2)求 f(x 0)时，可先求 f(x0)再求 f(x 0)( )(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点( )(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线( )(5)函数 f(x)sin( x)的导数是 f(x) cos x( )1(教材改编)f( x)是函数 f(x) x32
4、x 1 的导函数，则 f(1)的值为( )13A0 B3 C4 D73答案 B解析 f(x) x32x 1，f(x)x 22.13f(1) 3.2如图所示为函数 yf( x)，yg(x)的导函数的图象，那么 yf (x)，yg(x )的图象可能是( )答案 D解析 由 yf (x)的图象知 yf (x) 在(0，)上单调递 减， 说明函数 yf(x )的切线的斜率在(0，) 上也 单调递减，故可排除 A，C.又由图象知 yf( x)与 yg (x)的图象在 xx 0处相交，说明 yf (x)与 yg(x )的图象在xx 0处的切线的斜率相同，故可排除 B.故选 D.3有一机器人的运动方程为 s
5、t 2 (t 是时间，s 是位移)，则该机器人在时刻 t2 时的瞬3t时速度为( )A. B . C. D.194 174 154 134答案 D4设函数 f(x)的导数为 f(x)，且 f(x)f( )sin xcos x，则 f( )_.2 4答案 2解析 因为 f(x)f( )sin xcos x，2所以 f(x) f( )cos xsin x，2所以 f( )f( )cos sin ，2 2 2 2即 f( )1 ，所以 f(x)sin xcos x.2f(x)cos xsin x.故 f( )cos sin .4 4 4 25(2015陕西)设曲线 ye x在点 (0,1)处的切线与
6、曲线 y (x0)上点 P 处的切线垂直，则1xP 的坐标为_答案 (1,1)解析 ye x，曲线 ye x在点(0,1) 处的切线的斜率 k1 e01，设 P(m，n)，y (x0)的导数1x为 y (x0)，曲线 y (x0)在点 P 处的切线斜率 k2 (m0)，因为两切线垂直，1x2 1x 1m2所以 k1k21，所以 m1，n1，则点 P 的坐标为(1,1).题型一 导数的运算例 1 求下列函数的导数：(1)y(3x 24x)(2x1)；(2)yx 2sin x；(3)y3 xex2 xe ；(4)y ；ln xx2 1(5)yln(2x5)解 (1)y(3x 24x)(2x1)6x
7、 33x 28x 24x6x 35x 24x ，y18x 210x 4.(2)y(x 2)sin xx 2(sin x)2xsin xx 2cos x.(3)y(3 xex) (2 x)e(3 x) ex3 x(ex)(2 x)3 xexln 33 xex2 xln 2(ln 31)(3e) x2 xln 2.(4)yln x x2 1 ln xx2 1x2 121xx2 1 2xln xx2 12 .x2 1 2x2ln xxx2 12(5)令 u2x5，yln u，则 y(ln u)u 2 ，12x 5 22x 5即 y .22x 5思维升华 (1)求导之前， 应利用代数、三角恒等式等变形
8、对函数进行化简，然后求导， 这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量(2)复合函数求导时，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元(1)f (x)x(2 016 ln x)，若 f(x 0)2 017，则 x0 等于( )Ae 2 B1Cln 2 De(2)若函数 f(x) ax4bx 2c 满足 f(1)2，则 f(1) 等于( )A1 B2C2 D0答案 (1)B (2)B解析 (1)f(x)2 016ln xx 2 017ln x，故由 f( x0)2 017 得 2 017ln x02 1x017，则
9、 ln x00，解得 x01.(2)f(x) 4ax 32bx，f(x )为奇函数，且 f(1) 2，f(1) 2.题型二 导数的几何意义命题点 1 已知切点的切线方程问题例 2 (1)函数 f(x) 的图象在点(1，2) 处的切线方程为 ( )ln x 2xxA2xy40 B2xy0Cx y30 Dxy10(2)曲线 ye 2x 1 在点(0,2)处的切线与直线 y0 和 yx 围成的三角形的面积为_答案 (1)C (2)13解析 (1)f(x) ，则 f(1)1，1 ln xx2故该切线方程为 y( 2)x1，即 xy 30.(2)y2e 2x ，曲线在点(0,2)处的切线斜率 k2，切线
10、方程为 y2x 2，该直线与直线 y0 和 yx 围成的三角形如图所示，其中直线 y2x 2 与 yx 的交点为 A( ， )，23 23三角形的面积 S 1 .12 23 13命题点 2 未知切点的切线方程问题例 3 (1)与直线 2xy40 平行的抛物线 yx 2 的切线方程是( )A2xy30 B2xy30C2x y10 D2xy10(2)(2015威海质检)已知函数 f(x)xln x，若直线 l 过点(0，1)，并且与曲线 yf (x)相切，则直线 l 的方程为( )Axy10 Bxy10Cx y10 Dxy10答案 (1)D (2)B解析 (1)对 yx 2 求导得 y 2x .设
11、切点坐标为( x0，x )，则切线斜率为 k2x 0.20由 2x02 得 x01，故切线方程为 y12(x1)，即 2xy10.(2)点(0 ，1)不在曲线 f(x)x ln x 上，设切点为(x 0，y0)又f(x) 1ln x ，Error!解得 x01，y 00.切点为(1,0)，f(1) 1ln 11.直线 l 的方程为 yx1，即 xy10.故选 B.命题点 3 和切线有关的参数问题例 4 已知 f(x)ln x ，g( x) x2mx (m0，所以 ex 2 2(当且仅当 ex ，即 x0 时取等号)，则1ex ex1ex 1exex 24，1ex故 y 当(x0 时取等号) 1
12、ex 1ex 2 14当 x0 时，曲 线的切线斜率取得最小值，此时切点的坐标为(0， )，12切线的方程为 y (x0)，12 14即 x4y20.故选 A.7在平面直角坐标系 xOy 中，若曲线 yax 2 (a，b 为常数) 过点 P(2，5)，且该曲线在bx点 P 处的切线与直线 7x2y30 平行，则 ab 的值是_答案 3解析 yax 2 的导数为 y 2ax ，bx bx2直线 7x2y30 的斜率为 .72由题意得Error!解得Error! 则 ab3.8已知函数 f(x)x 33x ，若过点 A(0,16)且与曲线 yf(x) 相切的直线方程为 yax16，则实数 a 的值
13、是_答案 9解析 先设切点为 M(x0，y0)，则切点在曲线上有 y0x 3x 0，30求导数得到切线的斜率 kf( x0)3x 3，20又切线 l 过 A、M 两点，所以 k ，y0 16x0则 3x 3 ，20y0 16x0联立可解得 x02，y 02，从而实数 a 的值为 ak 9. 2 16 29已知曲线 yx 3x 2 在点 P0 处的切线 l1 平行于直线 4xy10，且点 P0 在第三象限(1)求 P0 的坐标；(2)若直线 ll 1，且 l 也过切点 P0，求直线 l 的方程解 (1)由 yx 3x 2，得 y3x 21，由已知令 3x214，解之得 x1.当 x1 时，y0；
14、当 x1 时， y4.又点 P0 在第三象限，切点 P0 的坐标为( 1，4) (2)直线 ll 1，l1 的斜率为 4，直线 l 的斜率为 .14l 过切点 P0，点 P0 的坐标为(1， 4)，直线 l 的方程为 y4 (x1) ，14即 x4y170.10设函数 f(x)ax ，曲线 yf (x)在点(2，f(2) 处的切线方程为 7x4y120.bx(1)求 f(x)的解析式；(2)证明：曲线 yf(x )上任一点处的切线与直线 x0 和直线 yx 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值解 (1)方程 7x4y120 可化为 y x3.74当 x2 时，y .又 f(x )a ，12
15、bx2于是Error! 解得 Error!故 f(x)x .3x(2)设 P(x0，y0)为曲线上任一点，由 y1 知曲线在点 P(x0，y0)处的切线方程为3x2yy 0 (xx 0)，(1 3x20)即 y (xx 0)(x0 3x0) (1 3x20)令 x0，得 y ，6x0从而得切线与直线 x0 的交点坐标为 .(0， 6x0)令 yx，得 yx 2x 0，从而得切线与直线 yx 的交点坐标为(2x 0,2x0)所以点 P(x0，y0)处的切线与直 线 x0，yx 所围成的三角形的面积为 S |2x0|6.12| 6x0|故曲线 yf(x) 上任一点处的切线与直线 x0， yx 所围
16、成的三角形的面 积为定值，且此定 值为 6.B 组 专项能力提升(时间：20 分钟)11已知函数 f(x) 1，g(x)aln x，若在 x 处函数 f(x)与 g(x)的图象的切线平行，则x14实数 a 的值为( )A. B. C1 D414 12答案 A解析 由题意可知 f(x ) x ，g( x) ，12 12 ax由 f( )g ( )，得 ( ) ，14 14 12 14 12 a14可得 a ，经检验，a 满足题意14 1412曲边梯形由曲线 yx 21，y 0，x1，x2 所围成，过曲线 yx 21 (x1,2 )上一点 P 作切线，使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的普通梯
17、形，则这一点的坐标为( )A. B.(32，2) (32，134)C. D.(52，134) (52，2)答案 B解析 设 P(x0，x 1) ，x01,2，则易知曲线 yx 21 在点 P 处的切线方程为 y(x 1)20 202x 0(xx 0)，y 2x 0(xx 0)x 1，设 g(x)2x 0(xx 0)x 1，则 g(1)g(2)2(x 1)20 20 202x 0(1x 02x 0)，S 普通梯形 1x 3 x01 2 ，P 点坐g1 g22 20 (x0 32) 134标为 时，S 普通梯形 最大(32，134)13若函数 f(x) x2ax ln x 存在垂直于 y 轴的切线
18、，则实数 a 的取值范围是_12答案 2，)解析 f(x) x2ax ln x， f(x)xa .12 1xf(x)存在垂直于 y 轴的切线， f(x)存在零点，即 x a0 有解，ax 2.1x 1x14已知曲线 f(x)x n1 (nN *)与直线 x1 交于点 P，设曲线 yf (x)在点 P 处的切线与 x轴交点的横坐标为 xn，则 log2 016x1log 2 016x2log 2 016x2 015 的值为_答案 1解析 f(x) (n1)x n，kf (1) n1，点 P(1,1)处的切线方程为 y1(n1)( x1) ，令 y0，得 x1 ，即 xn ，1n 1 nn 1 n
19、n 1x 1x2x2 015 ，12 23 34 2 0142 015 2 0152 016 12 016则 log2 016x1log 2 016x2 log2 016x2 015log 2 016(x1x2x2 015)1.15已知函数 f(x)ax 33x 26ax 11，g( x)3x 26x 12 和直线 m：ykx 9，且 f( 1)0.(1)求 a 的值；(2)是否存在 k，使直线 m 既是曲线 yf(x)的切线，又是曲线 yg( x)的切线？如果存在，求出 k 的值；如果不存在，请说明理由解 (1)由已知得 f( x)3ax 26x6a，f(1) 0，3a66a0， a2.(2
20、)存在由已知得，直线 m 恒过定点(0,9)，若直线 m 是曲线 yg(x)的切线，则设切点为(x0,3x 6x 012)20g(x 0)6x 06，切线方程为 y(3 x 6x 0 12)20(6x 0 6)(xx 0)，将(0,9)代入切线方程，解得 x01.当 x01 时，切 线方程为 y9；当 x01 时，切 线方程为 y12x9.由(1)知 f(x) 2x33x 212x11，由 f(x) 0 得6x 26x 120，解得 x1 或 x2.在 x1 处，yf(x )的切线方程为 y18；在 x2 处，yf(x )的切线方程为 y9，yf(x) 与 yg(x )的公切线是 y9.由 f(x) 12 得6x 26x 1212，解得 x0 或 x1.在 x0 处，yf(x )的切线方程为 y12x11；在 x1 处，yf(x )的切线方程为 y12x10；yf(x) 与 yg(x )的公切线不是 y12x9.综上所述，y f(x)与 yg(x )的公切线是 y9，此时 k0.
