1、1第十五讲 二次函数的综合题及应用【重点考点例析】考点一：确定二次函数关系式例 1 （2015牡丹江）如图，已知二次函数 y=x2+bx+c过点 A（1，0），C（0，-3）（1）求此二次函数的解析式；（2）在抛物线上存在一点 P使ABP 的面积为 10，请直接写出点 P的坐标考点二：二次函数与 x轴的交点问题例 2 （2015 苏州）已知二次函数 y=x2-3x+m（m 为常数）的图象与 x轴的一个交点为（1，0），则关于 x的一元二次方程 x2-3x+m=0的两实数根是（ ）Ax 1=1，x 2=-1 Bx 1=1，x 2=2 Cx 1=1，x 2=0 Dx 1=1，x 2=3对应训练22
2、（2013株洲）二次函数 y=2x2+mx+8的图象如图所示，则 m的值是（ ）A-8 B8C8 D6考点三：二次函数的实际应用例 3 （2015 营口）为了落实国务院的指示精神，某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克 20元，市场调查发现，该产品每天的销售量 y（千克）与销售价 x（元/千克）有如下关系：y=-2x+80设这种产品每天的销售利润为 w元（1）求 w与 x之间的函数关系式（2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？（3）如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克 28元
3、，该农户想要每天获得 150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？3 （2015武汉）科幻小说实验室的故事中，有这样一个情节：科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中，经过一天后，测试出这种植物高度的增长情况（如下表）：温度 x/ -4 -2 0 2 4 4.5 植物每天高度增长量 y/mm 41 49 49 41 25 19.75 由这些数据，科学家推测出植物每天高度增长量 y是温度 x的函数，且这种函数是反比例函数、一次函数和二次函数中的一种（1）请你选择一种适当的函数，求出它的函数关系式，并简要说明不选择另外两种函数的理由；（2）温度为多少时，这种植物每天高度增长量最大？（3）如
4、果实验室温度保持不变，在 10天内要使该植物高度增长量的总和超过 250mm，那么实验室的温度 x应该在哪个范围内选择？请直接写出结果3考点四：二次函数综合性题目例 4 （2015自贡）如图，已知抛物线 y=ax2+bx-2（a0）与 x轴交于 A、B 两点，与 y轴交于 C点，直线 BD交抛物线于点 D，并且 D（2，3），tanDBA= 12（1）求抛物线的解析式；（2）已知点 M为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B、M、C、A，求四边形 BMCA面积的最大值；（3）在（2）中四边形 BMCA面积最大的条件下，过点 M作直线平行于 y轴，在这条直线上是否存在一个以 Q点为圆心，OQ
5、 为半径且与直线 AC相切的圆？若存在，求出圆心 Q的坐标；若不存在，请说明理由44 （2015张家界）如图，抛物线 y=ax2+bx+c（a0）的图象过点 C（0，1），顶点为Q（2，3），点 D在 x轴正半轴上，且 OD=OC（1）求直线 CD的解析式；（2）求抛物线的解析式；（3）将直线 CD绕点 C逆时针方向旋转 45所得直线与抛物线相交于另一点 E，求证：CEQCDO；（4）在（3）的条件下，若点 P是线段 QE上的动点，点 F是线段 OD上的动点，问：在 P点和 F点移动过程中，PCF 的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由52（2015滨州）某高中学校
6、为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体形其中，抽屉底面周长为 180cm，高为 20cm请通过计算说明，当底面的宽 x为何值时，抽屉的体积 y最大？最大为多少？（材质及其厚度等暂忽略不计）3（2015日照）一汽车租赁公司拥有某种型号的汽车 100辆公司在经营中发现每辆车的月租金 x（元）与每月租出的车辆数（y）有如下关系：x 3O00 3200 3500 4000y 100 96 90 80（1）观察表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识求出每月租出的车辆数 y（辆）与每辆车的月租金 x（元）之间的关系式（2）已知租出的车每辆每月需要维护费 150元，未租出的车每辆每月
7、需要维护费 50元用含 x（x3000）的代数式填表：租出的车辆数 未租出的车辆数 租出每辆车的月收益 所有未租出的车辆每月的维护费 （3）若你是该公司的经理，你会将每辆车的月租金定为多少元，才能使公司获得最大月收益？请求出公司的最大月收益是多少元64 （2015枣庄）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y=x2+bx+c的图象与 x轴交于A、B 两点，A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0） ，与 y轴交于 C（0，-3）点，点 P是直线 BC下方的抛物线上一动点（1）求这个二次函数的表达式（2）连接 PO、PC，并把POC 沿 CO翻折，得到四边形 POPC，那么是否存在点 P，使四边
8、形 POPC 为菱形？若存在，请求出此时点 P的坐标；若不存在，请说明理由（3）当点 P运动到什么位置时，四边形 ABPC的面积最大？求出此时 P点的坐标和四边形 ABPC的最大面积75 （2015潍坊）为了改善市民的生活环境，我市在某河滨空地处修建一个如图所示的休闲文化广场，在 RtABC 内修建矩形水池DEFG，使定点 D，E 在斜边 AB上，F，G 分别在直角边BC，AC 上；又分别以 AB，BC，AC 为直径作半圆，它们交出两弯新月（图中阴影部分），两弯新月部分栽植花草；其余空地铺设瓷砖，其中 AB=24 米，BAC=60，设 EF=x米，DE=y 米3（1）求 y与 x之间的函数解析
9、式；（2）当 x为何值时，矩形 DEFG的面积最大？最大面积是多少？（3）求两弯新月（图中阴影部分）的面积，并求当 x为何值时，矩形 DEFG的面积及等于两弯新月面积的 ？1386 （2015烟台）如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC是边长为 2的正方形，二次函数 y=ax2+bx+c的图象经过点 A，B，与 x轴分别交于点 E，F，且点 E的坐标为（- ，0） ，3以 0C为直径作半圆，圆心为 D（1）求二次函数的解析式；（2）求证：直线 BE是D 的切线；（3）若直线 BE与抛物线的对称轴交点为 P，M 是线段 CB上的一个动点（点 M与点 B，C 不重合） ，过点 M作 MNBE
10、交 x轴与点 N，连结 PM，PN，设 CM的长为 t，PMN 的面积为S，求 S与 t的函数关系式，并写出自变量 t的取值范围S 是否存在着最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由9107 （2015泰安）如图，抛物线 y= x2+bx+c与 y轴交于点 C（0，-4） ，与1x轴交于点 A，B，且 B点的坐标为（2，0）（1）求该抛物线的解析式（2）若点 P是 AB上的一动点，过点 P作 PEAC，交 BC于 E，连接 CP，求PCE 面积的最大值（3）若点 D为 OA的中点，点 M是线段 AC上一点，且OMD 为等腰三角形，求 M点的坐标118 （2015威海）如图，在平面直角坐
11、标系中，直线 y= x+ 与直线 y=x交于点 A，点123B在直线 y= x+ 上，BOA=90抛物线 y=ax2+bx+c过点 A，O，B，顶点为点 E123（1）求点 A，B 的坐标；（2）求抛物线的函数表达式及顶点 E的坐标；12（3）设直线 y=x与抛物线的对称轴交于点 C，直线 BC交抛物线于点 D，过点 E作 FEx 轴，交直线 AB于点 F，连接 OD，CF，CF 交 x轴于点 M试判断 OD与 CF是否平行，并说明理由139 （2015潍坊）如图，抛物线 y=ax2+bx+c关于直线 x=1对称，与坐标轴交与 A，B，C 三点，且 AB=4，点 D（2， ）在抛物线上，直线
12、l是3一次函数 y=kx-2（k0）的图象，点 O是坐标原点（1）求抛物线的解析式；（2）若直线 l平分四边形 OBDC的面积，求 k的值；（3）把抛物线向左平移 1个单位，再向下平移 2个单位，所得抛物线与直线 l交于 M，N 两点，问在 y轴正半轴上是否存在一定点 P，使得不论k取何值，直线 PM与 PN总是关于 y轴对称？若存在，求出 P点坐标；若不存在，请说明理由14158（2015乌鲁木齐）某公司销售一种进价为 20元/个的计算机，其销售量 y（万个）与销售价格 x（元/个）的变化如下表：价格 x（元/个） 30 40 50 60 销售量 y（万个） 5 4 3 2 同时，销售过程中
13、的其他开支（不含造价）总计 40万元（1）观察并分析表中的 y与 x之间的对应关系，用所学过的一次函数，反比例函数或二次函数的有关知识写出 y（万个）与 x（元/个）的函数解析式（2）求出该公司销售这种计算器的净得利润 z（万个）与销售价格 x（元/个）的函数解析式，销售价格定为多少元时净得利润最大，最大值是多少？（3）该公司要求净得利润不能低于 40万元，请写出销售价格 x（元/个）的取值范围，若还需考虑销售量尽可能大，销售价格应定为多少元？169（2015达州）今年，6 月 12日为端午节在端午节前夕，三位同学到某超市调研一种进价为 2元的粽子的销售情况请根据小丽提供的信息，解答小华和小明
14、提出的问题11.（2015湛江）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（3，4）的抛物线交 y轴于 A点，交 x轴于 B、C 两点（点 B在点 C的左侧），已知 A点坐标为（0，-5）（1）求此抛物线的解析式；（2）过点 B作线段 AB的垂线交抛物线于点 D，如果以点 C为圆心的圆与直线 BD相切，请判断抛物线的对称轴 l与C 有什么位置关系，并给出证明；（3）在抛物线上是否存在一点 P，使ACP 是以 AC为直角边的直角三角形？若存在，求出点 P的坐标；若不存在，请说明理由171812 （2013曲靖）如图，在平面直角坐标系 xOy中，直线 y=x+4与坐标轴分别交于 A、B 两点，过 A、B 两
15、点的抛物线为 y=-x2+bx+c点 D为线段 AB上一动点，过点 D作 CDx 轴于点 C，交抛物线于点 E（1）求抛物线的解析式（2）当 DE=4时，求四边形 CAEB的面积（3）连接 BE，是否存在点 D，使得DBE 和DAC 相似？若存在，求此点 D坐标；若不存在，说明理由1913 （2013钦州）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线 y= x2+2x与 x轴相交于 O、B，顶点为1A，连接 OA（1）求点 A的坐标和AOB 的度数；20（2）若将抛物线 y= x2+2x向右平移 4个单位，再向下平移 2个单位，得到抛物线 m，1其顶点为点 C连接 OC和 AC，把AOC
16、沿 OA翻折得到四边形 ACOC试判断其形状，并说明理由；（3）在（2）的情况下，判断点 C是否在抛物线 y= x2+2x上，请说明理由；1（4）若点 P为 x轴上的一个动点，试探究在抛物线 m上是否存在点 Q，使以点O、P、C、Q 为顶点的四边形是平行四边形，且 OC为该四边形的一条边？若存在，请直接写出点 Q的坐标；若不存在，请说明理由212015扬州）如图，ABC 内接于O ，弦 ADAB 交 BC 于点 E，过点 B 作O 的切线交 DA 的延长线于点 F，且ABF=ABC（1）求证：AB=AC；（2）若 AD=4，cos ABF= ，求 DE 的长4522例 2 （ 2015自贡）如
17、图，点 B、C、D 都在O 上，过点 C 作 ACBD 交 OB 延长线于点 A，连接 CD，且CDB=OBD=30，DB=6 cm3（1）求证：AC 是O 的切线；（2）求由弦 CD、BD 与弧 BC 所围成的阴影部分的面积 （结果保留 ）2 （ 2015玉林）如图，以ABC 的 BC 边上一点 O 为圆心的圆，经过 A，B 两点，且与 BC 边交于点 E，D 为 BE 的下半圆弧的中点，连接 AD 交 BC 于 F，若 AC=FC（1）求证：AC 是O 的切线：（2）若 BF=8，DF= ，求 O 的半径 r404 （ 2015泰安）如图，已知 AB 是O 的直径，AD 切O 于点 A，点
18、 C 是 的中点，EB23则下列结论不成立的是（ ）AOCAE BEC=BC CDAE=ABE DACOE4 D5 （ 2015济宁）如图，以等边三角形 ABC 的 BC 边为直径画半圆，分别交 AB、AC 于点E、D，DF 是圆的切线，过点 F 作 BC 的垂线交 BC 于点 G若 AF 的长为 2，则 FG 的长为（ ）A4 B3 C6 D2 36 （ 2015日照）如图（a） ，有一张矩形纸片 ABCD，其中 AD=6cm，以 AD 为直径的半圆，正好与对边 BC 相切，将矩形纸片 ABCD 沿 DE 折叠，使点 A 落在 BC 上，如图（b） 则半圆还露在外面的部分（阴影部分）的面积为
19、 7 （ 2015滨州）如图，在ABC 中，AB=AC ，点 O 在边 AB 上，O 过点 B 且分别与边AB、BC 相交于点 D、E，EF AC ，垂足为 F求证：直线 EF 是O 的切线248 （2015济南）如图，已知O 的半径为 1，DE 是O 的直径，过点 D 作O 的切线AD，C 是 AD 的中点，AE 交O 于 B 点，四边形 BCOE 是平行四边形（1）求 AD 的长；（2）BC 是 O 的切线吗？若是，给出证明；若不是，说明理由11 （ 2015烟台）如图，AB 是O 的直径，BC 是O 的切线，连接AC 交O 于点 D，E 为 上一点，连结 AE，BE，BE 交 AC 于点
20、A25F，且 AE2=EFEB（1）求证：CB=CF；（2）若点 E 到弦 AD 的距离为 1，cosC= ，求O 的半径3512 （ 2015潍坊）如图，四边形 ABCD 是平行四边形，以对角线 BD 为直径作O，分别与 BC，AD 相交于点 E，F26（1）求证：四边形 BEDF 为矩形；（2）BD 2=BEBC，试判断直线 CD 与O 的位置关系，并说明理由19 （2015巴中）若O 1和 O 2的圆心距为 4，两圆半径分别为 r1、r 2，且 r1、r 2是方程组 的解，求 r1、r 2的值，并判断两圆的位置关系1263-57r20 （2015凉山州）在同一平面直角坐标系中有 5 个点
21、： A（1，1） ，B （-3，-1） ，C （-3，1） ，D（-2，-2） ，E （0，-3） （1）画出ABC 的外接圆P，并指出点 D 与P 的位置关系；（2）若直线 l 经过点 D（-2 ， -2） ，E（0，-3） ，判断直线 l 与P 的位置关系2721 （ 2015永州）如图，AB 是O 的切线，B 为切点，圆心在 AC 上，A=30，D 为BC 的中点（1）求证：AB=BC；（2）求证：四边形 BOCD 是菱形22 （ 2015株洲）已知 AB 是O 的直径，直线 BC 与O 相切于点 B，ABC的平分线 BD 交O 于点 D，AD 的延长线交 BC 于点 C28（1）求BA
22、C 的度数；（2）求证：AD=CD23 （ 2015天津）已知直线 I 与O，AB 是O 的直径，ADI 于点 D（）如图，当直线 I 与 O 相切于点 C 时，若DAC=30，求BAC 的大小；（）如图，当直线 I 与 O 相交于点 E、F 时，若DAE=18，求BAF 的大小24 （ 2015苏州）如图，在 RtABC 中，ACB=90 ，点 D 是 AB 边上一点，以 BD 为直径的O 与边 AC 相切于点 E，连接 DE 并延长 DE 交 BC 的延长线于点 F（1）求证：BD=BF；（2）若 CF=1，cosB= ，求 O 的半径352925 （2015湛江）如图，已知 AB 是O
23、的直径，P 为O 外一点，且OPBC，P=BAC （1）求证：PA 为O 的切线；（2）若 OB=5，OP= ，求 AC 的长2533026 （ 2015莆田）如图，ABCD 中，AB=2，以点 A 为圆心，AB 为半径的圆交边 BC 于点 E，连接 DE、AC 、AE （1）求证：AED DCA；（2）若 DE 平分 ADC 且与A 相切于点 E，求图中阴影部分（扇形）的面积28 （ 2015泸州）如图，D 为O 上一点，点 C 在直径 BA 的延长线上，且CDA=CBD（1）求证：CD 2=CACB；（2）求证：CD 是O 的切线；（3）过点 B 作O 的切线交 CD 的延长线于点 E，若BC=12，tanCDA= ，求 BE 的长321 （ 2013重庆）已知，如图，在 ABCD 中，AE BC，垂足为
