1、第五章 分子动力学 第一节 Verlet 算法 牛顿方程 iiimfdtrdvv=22记 ( )NrrrRvLvvv,21= =NNmfmfmfGvLvv,2211方程写为 2dRGdt=vv三点公式 ( )()242111122nnnnnnnRRR GRRv +=+ +=+vvvvvvr如果给出初始条件0Rv和1Rv，可求解方程，但常常给出的初始条件是00, vRvv， 那么 020012GvRR +=vvv(为什么？ 因为dvGdt=r，所以， ， 000() ()tvt v dt Gt v tG=+ +rrvnull00所以，210 0 0 0 00( )R RdtvtGR v G=+
2、+ + +rr rrrnull) 方法的优点： 保持时间反演不变性，即令 nn, 方程形式不变 （尽管误差会破坏这一对称性） 如果问题与 vv无关，计算精度相当高 方法的缺点： 必须用到nvv1nR+v（为什么是缺点？） 另一方案 ()()2221112!()2nn nnnnnnRRv Gvv GG +=+ + +=+ + +vvv缺点：失去时间反演不变性 第二节 多体问题的基本方法 （阅读材料） 全同粒子，概率分布为 ( ) ( )NrrrWRWvLvvv21,= 物理量平均值 () ()()1iiA A R W R dR dR drZZWRdR=vvv vvvv分子动力学 ()=01lim
3、 dttAA个粒子处于n( )nrrvLv,1的分布密度函数 ()()()+=NnnnrdrdRWnNNZrrrvLvvvLvv121!1,()!nNN来自 个粒子中取 个的组合数 N n例如： 是 1 Nn =是 1=n N通常记 () ()rrvv1 = ，称系统的粒子密度 定义 () ( )1Niirr=vvrv则 () ()rr=vv证明：这是显然的 () ()( )()111221 ,NiNiNNiirrrWrrZNWr r r drZ= idrvvvvvLvv v vLv)这里假设了(NrrWvLv,1是关于交换irv和jrv对称的 还可证明 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
4、2,rr r r r r r=vv v v v v v证明： ()() ()()()111NNijijrr rr rrWRdZ =vvvv vv vvR如 ()()=NiiNrdrrrrWNNZrr33,!2!1 vvLvvvvv如 ( ) ( ),rr r r =vv v v多出一项， 来自 的贡献。 ()(=Niiirrrr1vvvv )我们定义粒子对分布函数 ( )rrgvv,如下 ( ) ( ) ( ) ( )2,rrr rrgrrr r +=+ +vvv vv vvv v当系统的密度比较均匀时， ( ),gr r r +v vv退化为 ()()1Nijijgr r rN=v粒子对分布
5、函数包含体系丰富的关于平移对称性的性质 z 对固体，粒子对分布函数在晶体格距呈现尖锐峰值 z 对液体，分布函数只呈现平坦峰值，而且随距离迅速消失 类似地，还可以定义关于对称性的物理量。 第三节 分子动力学的简单应用 1二维固液相变的磁偶极子模型 Hamiltonian H=K+V K 是动能项，势能项 31()i jVrrnull r r 在实际模拟中，为了节省计算时间，可以切断相互作用的力程。但无论如何，带有相互作用的系统的模拟比硬碟模型困难多了。 我们特别关注对称性 空间关联函数 6,( ) exp( 6( ( ) (0)ij ijgr i r, =r时间关联函数 6,( ) exp( 6
6、( ( ) (0)ij ijgt i t, =数值模拟结果 与实验结果较好吻合 2二维 理论的 Hamiltonian 动力学 4假设是孤立系统， Hamiltonian 为 ()+=+iiiiiimH42222!41212121其中ddt=， Hamiltonian 方程为 ()2232123!iii i idmdt+=+ i应当指出，这里我们已经把 定义在格点上。在连续极限下，这便是Ginsburg-Landau 理论。 应用 z 场论 z 宇宙学 z 统计物理学 z 凝聚态物理学 . Verlet 算法 ()() ()2222iii idtt tdt + + 在相变点附近，由于动力学慢化
7、，求 解方程到平衡态比较困难。点阵太小，存在有限点阵效应。点阵太大，关联时间长，难以达到平衡态，误差难以控制。 如果我们已经非平衡态动力学，这一困难不存在。 假设初始状态是高温态， 即随机态。我们测量宏观物理量， 如磁化等，随时间的演化，可以确定相变点以及相关的临界指数。 物理量的测量，例如，磁化强度和它的二次矩 2()1kkiiML= ， k=1,2 自关联函数 21() (0) ()iiiA ttL= 磁化的标度行为 ()( )0001, 1, ,xzzzM tm t Mt tm =( ) ztFtmm100 ) (small从这式子我们可以测量相变点（即相变能量） ，指数 和 1/ z
8、从时间自关联函数和磁化的二次矩可以测量指数 z 和 / 结果可以和 Ising 模型以及 Monte Carlo 动力学比较 键是 Lorentz 不变性被破坏，所以，1 .25 2.165(10) .191(1) Ising .95(5) .24(3)2.148(20).176(7) Z421z 关 现在人们对它又感兴趣，一方面是纳米材料的兴起，产生能量的 定向流动，由能量守恒，我们得到热传导方程 3 一维热传导的简单模型 热传导已经是一个古老的物理问题。另一方面是低维热传导有些不同于高维的特点，如热传导系数发散等。 在环境温度差的驱动下，(,)df x tj(,)xtdt=r r其中 f(
9、x,t) 是能量密度分布函数， (,)j xtr是能流密度矢量。在稳态时，Fourier 定律假设 () ()j xk=rTxr热传导系数。对 维系统， k 发散。 最简单情形， 是一些半园。管子两端分别射出一些粒子，可以看到能量从高温端向低常数 k 称 一一个简单模型 一根空心管， 管内壁设置一些障碍物，出射粒子的速度由两端的温度决定。温度高的粒子速度快，温度低的速度慢。 用分子动力学方法模拟粒子的运动，温端 传递。按照温度是平均动能的概念， 21()Tx mv=2ii密度， 再测量能流221jmv=而计算热传导系数。一般地， 从kLnull 其中 L 是体 尺系的 寸， 是正数，其数值与体
10、系有关。 . A参考文献： D. Alonso, R rtuso, G. Casati, I. Guarneri， Phys. Rev. Lett. 82, 1859 (1999) 结： 动力学方法 统的基本微观运动方程 误差有时不易控制 统的平衡态或非平衡态问题 较节省时间 小z 分子求解多粒子系广泛应用 比较耗时，z Monte Carlo 方法 求解多粒子系处于微观或介观层次 较广泛应用 简单实用，比z 有限元方法 求解宏观 或介观运动方程 例如，静电势的 Poisson 方程 24(),dxx= 20,1dx把空间分割成许多小块，每块用坐标 ix标记。设 niii 1() ()nx a
11、u x= =其中 定义于 ()iuxix附近的局域函数。 然 n 显 ，如果 足够大，()nx可以逼 ()x近方程的解 。如果 nx有限，记方程的误差为 () ()nnrx x 4 ()=+ 我们的目标是选取恰当的 使 极小。例如，引入 ini其中 是一个权重函数，然后取 使 为零。这样，条件 ) (ijj ijxx便等价于一个 n 元的线性方程组 阵，而 ()iiwx现在，ia ()nrx1() ()gdxrxwx=0()iwxiaig1 ( ) 4 ( ) 0ngdxaux w=+=0Aa b a是ia的列矩14()bdx x=0)()(10xwxudxAijij=例如， Galerkin
12、 方法 设 ，取() 0iux () ()iiwx ux= ， 111()/ ,( / 0iii i() ) ,iix xh xxxx x h x xotherwise+= 这里1试题： I （ 50 分） 1）设积分 dx，试证明 u x x10,0,ii nhx x x x+= = =()baSfx=()10()nkkSh fx h=+ ， ()121x+01( ) ( )2nkkkS h fx f h=+ ， 其中 。 2） 设 10,kk nhx x x a x b+= = =( )xfx e=，具体写出上述两个表达式。 II （ 50 分） 1）设积分 SfxWxdx=， 假设我们可以按照分布 W(x)得到()()balM x个点，则 ()1() 1/llSfxM=1MM=+， 如果用 Markov 过程产生lx，转移矩阵应当满足什么条件？ 2）设 ( )xWx e=，写出相应的 Metropolis 算法的转移矩阵。
