1、1,主要内容 一阶逻辑命题符号化个体词、谓词、量词一阶逻辑命题符号化 一阶逻辑公式及其解释一阶语言合式公式合式公式的解释永真式、矛盾式、可满足式,第四章 一阶逻辑基本概念,2,4.1 一阶逻辑命题符号化,个体词所研究对象中可以独立存在的具体或抽象的客体个体常项：具体的事务，用a, b, c表示个体变项：抽象的事物，用x, y, z表示个体域(论域)个体变项的取值范围有限个体域，如 a, b, c, 1, 2无限个体域，如 N, Z, R, 全总个体域由宇宙间一切事物组成,3,谓词,谓词表示个体词性质或相互之间关系的词谓词常项 如, F(a)：a是人谓词变项 如, F(x)：x具有性质Fn（n1
2、）元谓词一元谓词(n=1)表示性质多元谓词(n2)表示事物之间的关系如, L(x,y)：x与 y 有关系 L，L(x,y)：xy，0元谓词不含个体变项的谓词, 即命题常项或命题变项,4,量词,量词表示数量的词全称量词: 表示所有的. x : 对个体域中所有的x如, xF(x)表示个体域中所有的x具有性质FxyG(x,y)表示个体域中所有的x和y有关系G存在量词: 表示存在, 有一个. x : 个体域中有一个x 如, xF(x)表示个体域中有一个x具有性质FxyG(x,y)表示个体域中存在x和y有关系GxyG(x,y)表示对个体域中每一个x都存在一个y使得x和y有关系GxyG(x,y)表示个体域
3、中存在一个x使得对每一个y,x和y有关系G,5,实例1,例1 用0元谓词将命题符号化(1) 墨西哥位于南美洲(2) 是无理数仅当 是有理数(3) 如果23，则34,解：在命题逻辑中：(1) p, p为墨西哥位于南美洲（真命题）(2) pq, 其中, p： 是无理数，q： 是有理数. 是假命题(3) pq, 其中，p：23，q：34. 是真命题,6,实例1解答,在一阶逻辑中：(1) F(a)，其中，a：墨西哥，F(x)：x位于南美洲.(2) F( )G( ), 其中，F(x)：x是无理数，G(x)：x是有理数(3) F(2, 3)G(3, 4)，其中，F(x, y)：xy，G(x, y)：xy,
4、7,实例2,例 2 在一阶逻辑中将下面命题符号化(1) 人都爱美(2) 有人用左手写字 个体域分别为(a) D为人类集合(b) D为全总个体域,解 (a) (1) xG(x), G(x)：x爱美,(2) xG(x), G(x)：x用左手写字,(b) F(x)：x为人，G(x)：x爱美,(1) x(F(x)G(x),(2) x(F(x)G(x),1. 引入特性谓词F(x) 2. (1),(2)是一阶逻辑中两个“基本”公式,8,实例3,例3 在一阶逻辑中将下面命题符号化(1) 正数都大于负数(2) 有的无理数大于有的有理数,解 注意：题目中没给个体域，一律用全总个体域(1) 令F(x)：x为正数，
5、G(y)：y为负数, L(x,y)：xy,x(F(x)y(G(y)L(x,y) 或者 xy(F(x)G(y)L(x,y),(2) 令F(x)：x是无理数，G(y)：y是有理数，L(x,y)：xy,x(F(x)y(G(y)L(x,y) 或者 xy(F(x)G(y)L(x,y),9,实例4,例4 在一阶逻辑中将下面命题符号化(1) 没有不呼吸的人(2) 不是所有的人都喜欢吃糖,解 (1) F(x): x是人, G(x): x呼吸,x(F(x)G(x),x(F(x)G(x),(2) F(x): x是人, G(x): x喜欢吃糖,x(F(x)G(x),x(F(x)G(x),10,实例5,例5 设个体域
6、为实数域, 将下面命题符号化(1) 对每一个数x都存在一个数y使得xy(2) 存在一个数x使得对每一个数y都有xy,解 L(x,y):xy,(1) xyL(x,y),注意: 与不能随意交换 显然(1)是真命题, (2)是假命题,(2) xyL(x,y),11,4.2 一阶逻辑公式及解释,定义4.1 设L是一个非逻辑符集合, 由L生成的一阶语言L 的 字母表包括下述符号： 非逻辑符号(1) 个体常项符号：a, b, c, , ai, bi, ci, , i 1(2) 函数符号：f, g, h, , fi, gi, hi, , i 1(3) 谓词符号：F, G, H, , Fi, Gi, Hi,
7、, i 1 逻辑符号 (4) 个体变项符号：x, y, z, , xi, yi, zi, , i 1 (5) 量词符号：, (6) 联结词符号：, , , , (7) 括号与逗号：(, ), ，,12,一阶语言L 的项与原子公式,定义4.2 L 的项的定义如下： (1) 个体常项和个体变项是项. (2) 若(x1, x2, , xn)是任意的n元函数，t1, t2, , tn是任意的n个项，则(t1, t2, , tn) 是项. (3) 所有的项都是有限次使用(1),(2)得到的 如, a, x, x+y, f(x), g(x,y)等都是项,定义4.3 设R(x1, x2, , xn)是L 的
8、任意n元谓词，t1, t2, , tn 是L 的任意n个项，则称R(t1, t2, , tn)是L 的原子公式. 如，F(x, y), F(f(x1, x2), g(x3, x4)等均为原子公式,13,定义4.4 L 的合式公式定义如下：(1) 原子公式是合式公式. (2) 若A是合式公式，则 (A)也是合式公式(3) 若A, B是合式公式，则(AB), (AB), (AB), (AB)也是合式公式(4) 若A是合式公式，则xA, xA也是合式公式(5) 只有有限次地应用(1)(4)形成的符号串才是合式公式. 合式公式简称公式如, F(x), F(x)G(x,y), x(F(x)G(x)xy(
9、F(x)G(y)L(x,y)等都是合式公式,一阶语言L 的公式,14,封闭的公式,定义4.5 在公式 xA 和 xA 中，称x为指导变元，A为相应 量词的辖域. 在x和 x的辖域中，x的所有出现都称为约束 出现，A中不是约束出现的其他变项均称为是自由出现的. 例如，x(F(x,y)G(x,z)， x为指导变元，(F(x,y)G(x,z)为 x 的辖域，x的两次出现均为约束出现，y与 z 均为自由出现又如, x(F(x,y,z)y(G(x,y)H(x,y,z), x中的x是指导变元, 辖域为(F(x,y,z)y(G(x,y)H(x,y,z). y中的y是指导变元, 辖 域为(G(x,y)H(x,
10、y,z). x的3次出现都是约束出现, y的第一次出 现是自由出现, 后2次是约束出现, z的2次出现都是自由出现,15,封闭的公式,定义4.6 若公式A中不含自由出现的个体变项，则称A为封闭 的公式，简称闭式.例如，xy(F(x)G(y)H(x,y) 为闭式， 而 x(F(x)G(x,y) 不是闭式,16,公式的解释,定义4.7 设L 是L生成的一阶语言, L 的解释I由4部分组成：(a) 非空个体域 DI .(b) 对每一个个体常项符号aL, 有一个 DI, 称 为a在I 中的解释.(c) 对每一个n元函数符号fL, 有一个DI上的n元函数 , 称 为f在I中的解释.(d) 对每一个n元谓
11、词符号FL, 有一个DI上的n元谓词常项 ,称 为F在I中的解释.,设公式A, 取个体域DI , 把A中的个体常项符号a、函数符 号f、谓词符号F分别替换成它们在I中的解释 、 、 , 称 所得到的公式A为A在I下的解释, 或A在I下被解释成A.,17,实例,例6 给定解释 I 如下：(a) 个体域 D=R(b)(c)(d) 写出下列公式在I下的解释, 并指出它的真值.(1) xF(f(x,a),g(x,a),x(x+0=x0) 真,(2) xy(F(f(x,y),g(x,y)F(x,y),xy(x+y=xyx=y) 假,(3) xF(g(x,y),a),x(xy=0) 真值不定, 不是命题,
12、18,公式的类型,定理4.1 闭式在任何解释下都是命题 注意: 不是闭式的公式在解释下可能是命题, 也可能不是命题. 定义4.8 若公式A在任何解释下均为真, 则称A为永真式(逻辑 有效式). 若A在任何解释下均为假, 则称A为矛盾式(永假式). 若至少有一个解释使A为真, 则称A为可满足式.几点说明：永真式为可满足式，但反之不真 判断公式是否是可满足的(永真式, 矛盾式)是不可判定的,19,代换实例,定义4.9 设A0是含命题变项 p1, p2, , pn的命题公式，A1, A2, , An是n个谓词公式，用Ai (1in) 处处代替A0中的pi，所得公式A称为A0的代换实例. 例如， F(
13、x)G(x), xF(x)yG(y)等都是pq的代换实例. 定理4.2 重言式的代换实例都是永真式，矛盾式的代换实例都是矛盾式.,20,实例,例7 判断下列公式中，哪些是永真式，哪些是矛盾式？(1) xF(x)(xyG(x,y)xF(x),重言式 p(qp) 的代换实例，故为永真式.,(2) (xF(x)yG(y)yG(y),矛盾式 (pq)q 的代换实例，故为永假式.,(3) x(F(x)G(x),解释I1: 个体域N, F(x):x5, G(x): x4, 公式为真 解释I2: 个体域N, F(x):x5, G(x):x4, 公式为假 结论: 非永真式的可满足式,21,第四章 习题课,主要
14、内容 个体词、谓词、量词 一阶逻辑命题符号化 一阶语言L项、原子公式、合式公式 公式的解释量词的辖域、指导变元、个体变项的自由出现与约束出现、闭式、解释 公式的类型永真式(逻辑有效式)、矛盾式(永假式)、可满足式,22,基本要求,准确地将给定命题符号化理解一阶语言的概念深刻理解一阶语言的解释熟练地给出公式的解释记住闭式的性质并能应用它深刻理解永真式、矛盾式、可满足式的概念, 会判断简单公式的类型,23,练习1,1. 在分别取个体域为(a) D1=N(b) D2=R(c) D3为全总个体域 的条件下, 将下面命题符号化，并讨论真值(1) 对于任意的数x，均有,解 设G(x): (a) xG(x)
15、,(b) xG(x),(c) 又设F(x):x是实数x(F(x)G(x),真,真,假,24,练习1(续),解 设H(x)：x+7=5(a) xH(x),(2) 存在数x，使得 x+7=5,(b) xH(x),(c) 又设F(x)：x为实数x(F(x)H(x),本例说明：不同个体域内，命题符号化形式可能不同（也可 能相同），真值可能不同（也可能相同）.,真,真,假,25,练习2,2. 在一阶逻辑中将下列命题符号化(1) 大熊猫都可爱,(2) 有人爱发脾气,(3) 说所有人都爱吃面包是不对的,设F(x): x为大熊猫，G(x): x可爱x(F(x)G(x),设F(x): x是人，G(x): x爱发
16、脾气x(F(x)G(x),设F(x): x是人，G(x): x爱吃面包x(F(x)G(x) 或 x(F(x)G(x),26,练习2,(4) 没有不爱吃糖的人,(5) 任何两个不同的人都不一样高,(6) 不是所有的汽车都比所有的火车快,设F(x): x是人，G(x): x爱吃糖 x(F(x)G(x) 或 x(F(x)G(x),设F(x):x是人, H(x,y), x与y相同, L(x,y): x与y一样高x(F(x)y(F(y)H(x,y)L(x,y)或 xy(F(x)F(y)H(x,y)L(x,y),设F(x):x是汽车, G(y):y是火车, H(x,y):x比y快xy(F(x)G(y)H(
17、x,y) 或 xy(F(x)G(y)H(x,y),27,练习3,x(2x=x) 假,3. 给定解释 I 如下:(a) 个体域D=N(b) =2(c)(d) 说明下列公式在 I 下的涵义,并讨论真值(1) xF(g(x,a),x),(2) xy(F(f(x,a),y)F(f(y,a),x),xy(x+2=yy+2=x) 假,28,练习3,(3) xyzF(f(x,y),z),(5) xF(f(x,x),g(x,x),(4) xyzF(f(y,z),x),xyz(y+z=x) 假,xyz(x+y=z) 真,x(x+x=xx) 真,(3),(4)说明与不能随意交换,29,练习4,4. 证明下面公式既
18、不是永真式，也不是矛盾式:,(1) x(F(x)G(x),(2) xy(F(x)G(y)H(x,y),解释1: D1=N, F(x):x是偶数, G(x): x是素数, 真,解释2: D2=N, F(x):x是偶数, G(x): x是奇数, 假,解释1: D1=Z, F(x):x是正数, G(x): x是负数, H(x,y):xy 真,解释2: D2=Z, F(x):x是偶数, G(x): x是奇数, H(x,y):xy 假,30,练习5,5. 证明下列公式为永真式:(1) (xF(x)yG(y)xF(x)yG(y),(2) x(F(x)(F(x)G(x),(AB)AB的代换实例,设I是任意的一个解释, 对每一个xDI,F(x)(F(x)G(x)恒为真,
