1、12014-2015 学年度?学校 1 月月考卷试卷副标题1 （本题满分 10 分）如图，在半径为 2 的扇形 AOB 中，AOB=90，点 C 是弧 AB 上的一个动点（不与点 A、B 重合）ODBC，OEAC，垂足分别为 D、E（1）当 BC=1 时，求线段 OD 的长；（2）在DOE 中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；【答案】5； 存在， 2DE【解析】试题分析：（1）如图（1） ，ODBC，BD= BC= ，OD= = ；（2）如图（2） ，存在，DE 是不变的连接 AB，则 AB= =2 ，D 和 E 分别是线段 BC 和 AC 的中点，
2、DE= AB= ；（3）如图（3） ，连接 OC，BD=x，OD= ，1=2，3=4，2+3=45，过 D 作 DFOEDF= = ，由（2）已知 DE= ，在 RtDEF 中，EF= = ，OE=OF+EF= + =y= DFOE= = （0x ）考点: 1.垂径定理；2.勾股定理；3.三角形中位线定理2在 RtABC 中，ACB=90，A=30，BD 是ABC 的角平分线， DEAB 于点E3（1）如图 1，连接 EC，求证：EBC 是等边三角形；（2）点 M 是线段 CD 上的一点（不与点 C，D 重合） ，以 BM 为一边，在 BM 的下方作BMG=60，MG 交 DE 延长线于点 G
3、请你在图 2 中画出完整图形，并直接写出MD，DG 与 AD 之间的数量关系；（3）如图 3,点 N 是线段 AD 上的一点，以 BN 为一边，在 BN 的下方作BNG=60，NG交 DE 延长线于点 G试探究 ND，DG 与 AD 数量之间的关系，并说明理由【答案】 （1）证明见解析：（2）AD=DG+DM （3）AD=DG-DN理由见解析.【解析】试题分析：（1）利用“三边相等”的三角形是等边三角形证得EBC 是等边三角形；（2）延长 ED 使得 DN=DM，连接 MN，即可得出NDM 是等边三角形，利用NGMDBM 即可得出 BD=NG=DG+DM，再利用 AD=BD，即可得出答案；（3
4、）利用等边三角形的性质得出H=2，进而得出DNG=HNB，再求出DNGHNB 即可得出答案试题解析：（1）证明：如图 1 所示：在 RtABC 中，ACB=90，A=30，ABC=60，BC= AB12BD 平分ABC，1=DBA=A=30DA=DBDEAB 于点 EAE=BE= AB12BC=BEEBC 是等边三角形；（2）结论：AD=DG+DM证明：如图 2 所示：延长 ED 使得 DN=DM，连接 MN，ACB=90，A=30，BD 是ABC 的角平分线，DEAB 于点 E，ADE=BDE=60，AD=BD，又DM=DN，NDM 是等边三角形，MN=DM，在NGM 和DBM 中，NMDB
5、GNGMDBM，BD=NG=DG+DM，AD=DG+DM（3）结论：AD=DG-DN证明：延长 BD 至 H，使得 DH=DN由（1）得 DA=DB，A=30DEAB 于点 E2=3=604=5=60NDH 是等边三角形NH=ND，H=6=60H=2BNG=60，BNG+7=6+7即DNG=HNB在DNG 和HNB 中，2DNGHBDNGHNB（ASA） DG=HBHB=HD+DB=ND+AD，DG=ND+ADAD=DG-ND考点：1.等边三角形的判定与性质；2.全等三角形的判定与性质3如图，ABC 内接于O，过点 A 的直线交O 于点 P，交 BC 的延长线于点D，AB 2=APAD5（1）
6、求证：AB=AC；（2）如果ABC=60，O 的半径为 1，且 P 为 的中点，求 AD 的长AC【答案】 （1）证明见试题解析；（2）3【解析】试题分析：（1）根据 AB2=APAD，可以连接 BP，构造相似三角形根据相似三角形的性质得到APB=ABD，再根据圆周角定理得到APB=ACB，即ABC=ACB，从而由等角对等边证明结论；（2）因为有一个角是 60的等腰三角形是等边三角形，发现等边三角形 ABC，再根据点 P 为弧的中点，连接 BP，发现 30的直角三角形，且 BP 是直径，从而求得 AP 的长，AB 的长再根据已知中的条件求得 AD 的长试题解析：（1）连接 BP，AB 2=AP
7、AD， ，又BAD=PAB，ABDPABDAPB，ABC=APB，APB=ACB，ABC=ACB，AB=AC；（2）由（1）知 AB=AC，ABC=60，ABC 为等边三角形，BAC=60，P 为 的中点，ABP=PAC= ABC=30，BAP=BAC+PAC=90，BPAC12为直径，BP 过圆心O，BP=2，AP= BP=1， ，AB 2=APAD，AD= =3122ABP2ABP考点：1圆周角定理；2相似三角形的判定与性质4如图，已知ABC 内接于O，AB 是O 的直径，点 F 在O 上，且满足 ，ABCF过点 C 作O 的切线交 AB 的延长线于 D 点，交 AF 的延长线于 E 点（
8、1）求证：AEDE；（2）若CBA60，AE3，求 AF 的长【答案】(1)证明见解析；（2）2【解析】试题分析：（1）首先连接 OC，由 OC=OA， ，易证得 OCAE，又由 DE 切OABCF于点 C，易证得 AEDE；（2）由 AB 是O 的直径，可得ABC 是直角三角形，易得AEC 为直角三角形，根据AE=3 求得 AC 的长，然后连接 OF，可得OAF 为等边三角形，知 AF=OA= AB，在ACB12中，利用已知条件求得答案试题解析：（1）证明：连接 OC，OC=OA，BAC=OCA， ABCFBAC=EAC，EAC=OCA，OCAE，DE 切O 于点 C，OCDE，AEDE；（
9、2）解：AB 是O 的直径，ABC 是直角三角形，CBA=60，BAC=EAC=30，AEC 为直角三角形，AE=3，AC=2 ，3连接 OF，OF=OA，OAF=BAC+EAC=60，OAF 为等边三角形，AF=OA= AB，12在 RtACB 中，AC=2 ，tanCBA= ，33BC=2，AB=4，AF=2考点：切线的性质5 （1）如图，在正方形 ABCD 中，AEF 的顶点 E，F 分别在 BC，CD 边上，高 AG 与正方形的边长相等，求 的度数EAF（2）如图，在 RtABD 中， ， ，点 M，N 是 BD 边上的任意两90BDA点，且 ，将ABM 绕点 A 逆时针旋转 至ADH
10、 位置，连接 ，试判45MN H断 MN，ND，DH 之间的数量关系，并说明理由（3）在图中，连接 BD 分别交 AE，AF 于点 M，N，若 ，4EG7， ，求 AG，MN 的长6GF23BM【答案】 （1） 45 （2） MN 2=ND2+DH2理由见解析；（3）5 .2【解析】试题分析：（1）根据高 AG 与正方形的边长相等，证明三角形全等，进而证明角相等，从而求出解（2）用三角形全等和正方形的对角线平分每一组对角的知识可证明结论（3）设出线段的长，结合方程思想，用数形结合得到结果试题解析：（1）在 RtABE 和 RtAGE 中，AB=AG，AE=AE，RtABERtAGE（HL） B
11、AE=GAE同理，GAF=DAFEAF= BAD=452（2）MN 2=ND2+DH2BAM=DAH，BAM+DAN=45，HAN=DAH+DAN=45HAN=MAN又AM=AH，AN=AN，AMNAHNMN=HNBAD=90，AB=AD，ABD=ADB=45HDN=HDA+ADB=90NH 2=ND2+DH2MN 2=ND2+DH2（3）由（1）知，BE=EG，DF=FG设 AG=x，则 CE=x-4，CF=x-6在 RtCEF 中，CE 2+CF2=EF2，（x-4） 2+（x-6） 2=102解这个方程，得 x1=12，x 2=-2（舍去负根） 即 AG=12 （8 分）在 RtABD 中，BD= 221AGABD在（2）中，MN 2=ND2+DH2，BM=DH，MN 2=ND2+BM2设 MN=a，则 a2=（12 -3 -a） 2+（3 ） 2即 a 2=（9 -a） 2+（3 ） 2，a=5 即 MN=5 .考点：1.正方形的性质；2.全等三角形的判定与性质；3.勾股定理
