1、第三章 线性方程组1本章结构 0 mnnAxb 矩 阵 表 示 消 元 法非 齐 次 向 量 表 示 向 量 与 向 量 组 的 线 性 组 合线 性 方 程 组 矩 阵 表 示 消 元 法齐 次 向 量 表 示 向 量 组 的 线 性 相 关 性 向 量 组 的 极 大 无 关 组 、 秩 齐 次 线 性 方 程 组 非 齐 次 线 性 方 程 组 解 的 性 质 、 基 础 解 系 、 全 部 解 解 的 性 质 、 全 部 解 常用方法： 1 初 等 行 变 换 初 等 行 变 换 初 等 行 变 换 非 零 首 元 上 面 元 素 消 成 零 非 零 首 元 消 成 “”相 应 矩 阵
2、 阶 梯 形 简 化 阶 梯 行 最 简 阶 梯1、矩阵 化等价标准形A，求出矩阵 的秩 ，则标准形 初 等 行 变 换 阶 梯 形 Ar rIOD2、求矩阵 的逆 1I3、消元法求线性方程组 的解Axb增广矩阵 行最简阶梯Ab4、求矩阵 的秩 阶 梯 形5、判断向量 能否由向量组 线性表示12,s以 为列向量的矩阵 行最简阶梯s6、求向量组 的秩和一个极大无关组，并将其它向量用该极大无关组线性表示12,s以 为列向量的矩阵 行最简阶梯12,s 7、用基础解系表示(非)齐次线性方程组的全部解增广矩阵 行最简阶梯Ab一、用消元法求解非齐次线性方程组 mnx1、 ，进而求出 和 Ab初 等 行 变
3、 换 阶 梯 形 矩 阵 ()r,)2、观察 和 的关系： (1) ，方程组无解； (2) ，方程组有解：()r,)(),rAb(=,)rAb、 ，方程组有唯一解； 、 ，方程组有无穷多个解.=n()=,rbn3、在有解的情况下，将阶梯形矩阵继续进行初等行变换，从最后一个非零首元开始将非零首元上面的元素消成零；4、写出相应的同解方程组，令自由未知量取任意常数，可得方程组的全部解。第三章 线性方程组2定理 3.1 线性方程组 有解 ，且mnAxb()=,rAb当 时方程组有唯一解；当 ，方程组有无穷多个解.()=,r (),rAn二、用消元法求解齐次线性方程组 ：0mnx1、 ，进而求出 ； A
4、初 等 行 变 换 阶 梯 形 矩 阵 ()r2、观察 ： (1) ，方程组有唯一解，即只有零解；(2) ，方程组有无穷多个解，即有非零解；()r()rn()rAn3、在有解的情况下，将阶梯形矩阵继续进行初等行变换，从最后一个非零首元开始将非零首元上面的元素消成零；4、写出相应的同解方程组，令自由未知量取任意常数，可得方程组的全部解。定理 3.2 齐次方程组 有非零解0mnAx()rn推论 当 ，即当方程个数小于未知元个数时，齐次线性方程组 有非零解 0mnAx三、 维向量的概念及线性运算（看作特殊的矩阵） 书 P121123n四、向量与向量组的线性组合（向量由向量组线性表示）对非齐次线性方程
5、组 ，设 ， ，121212nmmnaxaxb 12(,)jjmjan 12mb则线性方程组可表示 ，从而xx.121212,nn nkkk 非 齐 次 线 性 方 程 组 有 解存 在 一 组 数 ， ， ， ， 使 得 成 立向 量 可 由 向 量 组 线 性 表 示 且 线 性 表 示 的 系 数 即 为 线 性 方 程 组 的 一 组 解定义 3.5 （P124） 对于给定向量 ，如果存在一组数 ，使,s 12,s 12skk成立，则称向量 是向量组 的线性组合，或称向量 可由向量组 线性表示。12,s 12,s线性组合的判别定理 设向量 ，向量 ，则12mb 12(,)jjmjan1
6、2 1212, (3.1) , () n nn xx 向 量 可 由 向 量 组 线 性 表 示 非 齐 次 线 性 方 程 组 有 解以 为 列 向 量 的 矩 阵 与 系 数 矩 阵 的 秩 等 于 增 广 矩 阵 的 秩 定 理 以 为 列 向 量 的 矩 阵 有 相 同 的 秩 定 理 3.五、向量组的线性相关性第三章 线性方程组3对齐次线性方程组 ，设 ， ，1212120nmmnaxax 12(,)jjmjan 0则齐次线性方程组可表示为 .它一定有零解，考虑其是否有非零解：120nxx 211212 0, n nnkkk 齐 次 线 性 方 程 组 有 非 零 解存 在 一 组
7、不 全 为 零 的 数 ， ， ， ， 使 得向 量 组 线 性 相 关 ， 且 系 数 即 为 齐 次 线 性 方 程 组 的 一 组 非 零 解定义 3.7（P128） 对于向量组 ，如果存在一组不全为零的数 使,s 12,s 120sk成立，则称向量组 线性相关；否则称向量组 线性无关.12,s 12,s注 ：（1） 线性无关 .,s 120skk（2）一个零向量线性相关；一个非零向量线性无关.（3）包含零向量的任何向量组都是线性相关的.（4）仅含两个向量的向量组线性相关的充分必要条件是这两个向量的分量对应成比例。线性相关性的判定：设 ，则12(,)jjmjan12121212, ()
8、(2) =0 (3.51)1nnnnaamn 向 量 组 线 性 相 关以 为 列 向 量 的 矩 阵 的 秩小 于 向 量 的 个 数 定 理 3.5向 量 维 数 小 于 向 量 个 数 定 理 .的 推 论 定 理 的 推 论其 中 至 少 有 一 个 向 量 可 以 由 其 余 个 向 量 线 性 表 示 （ 定 理 .7） 120(3.2)()nxxm齐 次 线 性 方 程 组 有 非 零 解系 数 矩 阵 的 秩 小 于 未 知 元 的 个 数 定 理方 程 个 数 小 于 未 知 元 个 数 定 理 .的 推 论系 数 行 列 式 等 于 0定 理 1.8总结：验证向量组 的线性
9、相关性主要有以下两种方法：12,n（1） 、对于抽象向量组或比较特殊的向量组，可采用定义法：设 ，去验证要使得等式成立， 是否必须全为零；120nkk 12,nk（2） 、对于具体的向量组， 以 为列向量的矩阵 ，12,n 初 等 行 变 换 阶 梯 形将矩阵的秩 与向量个数 作对比rr线 性 无 关线 性 相 关第三章 线性方程组4定理 3.6（P131） 如果向量组中有一部分向量（部分组）线性相关，则整个向量组线性相关推论 线性无关的向量组的任何部分组都线性无关定理 3.7（P132） 向量组 线性相关 其中至少有一个向量可以由其余 个向量线性表示。12,s 1s定理 3.8 若有向量组
10、线性相关，而向量组 线性无关，则向量 可由向量组s 12,s 12,s线性表示且表示法唯一。六、向量组间的线性组合与线性相关性(了解)定义（P125） 设有两个向量组 与 ，若向量组 中的每一个向量都能由向量组 线性12:,sA 12:,tB BA表示，则称向量组 能由向量组 线性表示。B定义 3.6（P126） 若向量组与向量组能相互线性表示，则称这两个向量组等价。向量组间线性关系的判定：定理 3.4（P126） 若向量组 可由向量组线性表示，向量组 可由向量组 线性表示，则AC向量组 可由向量组 线性表示。AC定理 3.9（P133） 设有两个向量组 与 ，向量组 能由向量组 线性表示，如
11、果12:,sA 12:,tB BA，则向量组 线性相关.stB另一种说法：向量组 能由向量组 线性表示，且向量组 线性无关，则 .ts推论（P134） 设向量组 与向量组 可以相互线性表示，且 与 都是线性无关的，则 .ABABst定理 3.12 设有两个向量组 与 ，如果向量组 与 等价，则12:,s 12:,t 12,strr 七、向量组的秩1、极大无关组定义 设有向量组 ，若在 能选出 个向量 满足：12:,sA Ar12,jjr（1）部分组 线性无关；0jjr（2）向量组 中任意 个向量（若有的话）都线性相关，则称向量组 是向量组 的一个极大线性无关组（简称极大无关组）0A注：（1）一
12、个向量组 的极大无关组 要满足以下几个条件：12:,s 12,jjr、向量组 是向量组 的一个线性无关的部分组；jjr :sA、向量组 的其余向量均可由向量组 线性表示12:,sA 12,jjr或 向量组 与向量组 等价（能够互相线性表示） s 12,jjr2、向量组的秩第三章 线性方程组5定义 向量组 的极大无关组所含向量的个数称为该向量组的秩，记为12,s 12,sr定理 2 设 为 矩阵，则 的充分必要条件是： 的列(行)秩为 .AmnrAA推论 1 矩阵 的行秩等于列秩求一个向量组的极大无关组或秩，并将其余向量用此极大无关组线性表示的方法由该向量组构造矩阵 ，要求各向量作为 的列向量，
13、并将该矩阵化为行最简阶梯形矩阵，则非零行的行数即为向量组的秩，非零首元所在的列对应的列向量组成一个极大无关组，其余列向量的各分量即为由极大无关组线性表示的系数.八、线性方程组解的结构1、齐次线性方程组 解的性质0mnAx（1）如果 是方程组 的两个解，则 也是它的解；12,n12（2）如果 是方程组 的解， 为常数，则 也是它的解；mxcc（3）如果 是方程组 的解，则其线性组合 也是它的解。12,s 0nA12sc基础解系：解向量组的一个极大无关组（解+线性无关+其它解可由它们线性表示） ；基础解系的向量个数 ；r未 知 元 个 数 系 数 矩 阵 的 秩基础解系的线性组合表示齐次线性方程组
14、的一个解（向量）.2、用基础解系表示齐次线性方程组 的全部解的步骤：0mnAx（1） 、将其系数矩阵通过初等行变换化为简化的阶梯形矩阵（化为阶梯形+回代） ，并判断方程组是否有非零解；（2） 、在有非零解的情况下，写出与原方程组同解的方程组，并注明自由未知量 ； 12,rnxx（3） 、1212 12, ,r nr nrnx 对 自 由 未 知 量 向 量 取 值 ,得 到 方 程 组 的 基 础 解 系（4） 、 ，12nrcc原 方 程 组 的 全 部 解 可 表 示 为 ： 12nrc其 中 ,为 任 意 常 数3、非齐次线性方程组 解的结构mnAxb（1）如果 是非齐次方程组 的一个解
15、， 是其导出组 的一个解，则 是 的解； 0mnAxmnAxb（2）如果 是非齐次方程组 的两个解，则 是其导出组 的解.12, mnx12n定理 如果 是非齐次方程组 的一个解， 是其导出组 的全部解，则 是 的全部解.Abmnx mnx4、用基础解系表示非齐次线性方程组 的全部解的步骤：mnx（1） 、将其增广矩阵通过初等行变换化为行最简阶梯形矩阵，并判断方程组是否有解；（2） 、在有解的情况下，写出与原方程组同解的方程组，并注明自由未知量；第三章 线性方程组6（3） 、 让自由未知量向量 取值 ，得方程组的一个特解 ；12rnx 0 （4） 、写出与原方程组的导出组（对应的齐次线性方程组
16、）同解的方程组，让自由未知量1212,r nrnx 取 值得到导出组的基础解系 ；12,nr（5） 、 ， .12nrcc原 方 程 组 的 全 部 解 可 表 示 为 ： 12nrc其 中 ,为 任 意 常 数要点：1、 （非）齐次线性方程组的消元解法 例：书 P116119 例 2例 4；P120 例 52、 （非）齐次线性方程组解的情况的充分必要条件例：P164 第 1、2、3 题3、向量与向量组的线性组合的定义、与非齐次线性方程组是否有解的关系、判定例：书 P124125 例 2例 5； P159 第 7 题； P164 第 4 题4、向量组线性相关、线性无关的定义、与齐次线性方程组是
17、否有非零解的关系、判定及相关定理例：书 P129131，例 1例 6； P160 第 10、13、14 题； P164166 第 49 题5、向量组的极大无关组、秩的概念，求向量组的一个极大无关组与秩，及将其它向量用该极大无关组线性表示 例：P138 例 1 方法一； P161 第 17 题； P165 166 第 1014 题6、基础解系的定义、向量个数、线性组合例：书 P166167 第 18、19 题7、(非)齐次线性方程组解的结构，用基础解系表示（非）齐次线性方程组的全部解 例：书 P144 例 1、2； P148 例 4； P161 第 20、23 25 题； P166 第 16 题
